Об условиях для существования частных интегралов Стеклова - Бобылева

Издавна важный научный интерес представляют механические автономные консервативные системы, описывающие вращение твердого тела вокруг неподвижной точки [1-4]. Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки записываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

'A^p = ⁽ B - C ) qr + Mg ( у ₀ / з ^- z о Y 2 ), Y & i = r Y 2 ^- q / 3 ,

‘ B^q = ⁽ C ^- A ) rp + Mg ⁽ z 0 Y 1 ^- x o Y 3 ), У - = P Y з ^- r Y i ,       ⁽¹⁾

. Cr =(A - B)pq + Mg(xо Y2 - уoYiX Y&3 = CYi - PY2, где A, B, C — моменты инерции твердого тела относительно главных осей Ox, Oy, Oz; p, q, r — проекции мгновенной угловой скорости на подвижные, связанные с телом оси; x0, у0, z0 — координаты центра масс в подвижных осях; Y1, Y2, Y3 — проекции ортов подвижных осей на неподвижную вертикальную ось OZ , направленную вертикально вниз (углы Пуассона).

Для системы (1) известны три общих интеграла [4]:

• V , = Ap ² + Bq ² + Cr ² + 2( x ₀ Y j + z ₀ Y ₃) = c ₀ = const (интеграл энергии),

• V = Ap Y 1 + Bq Y ₂ + Cr Y i = С = const (интеграл кинетического момента),

V 2 = Y \ + Y ₂ + Y з = 1 (интеграл Пуассона).

В [4] приведено существование дополнительных частных интегралов Стеклова — Бобылева для системы (1) при заданных значениях x0 = 0; z0 = 0; B = 2 A.                              (2)

Первые два равенства (2) сомнения не вызывают: как отмечено в [4], они выражают условие существования однозначных интегралов . В последнем условии B = 2 A содержится неопределенность:

• 1.    по необъяснимым причинам не имеется дополнительных ограничений на момент инерции C ,

• 2.    в ранее известных случаях существования дополнительных первых интегралов конкретные значения B / A и C / A участвуют в построении первых интегралов.

Поэтому задача здесь состоит в выяснении соотношений между моментами инерции твердого тела в системе (1) при условиях (2).

1 Об известных решениях и первых интегралах

Введем для краткости обозначения x = ( p , q , r , Y 1 , Y ₂, Y ₃) — фазовые переменные, m = Mgy ₀/ A , k 1 = B / A , k ₂ = C / A ( m * 0, k 1 >  0, k ₂ >  0). Тогда система (1) запишется:

p =(k 1 -k2)qr + mYз,    Y1 = rY2 -qYз, q =(k2 -1)rp /k 1,       Y2 = pY3 - rY1,              (1.1)

. r" = [(1 - k 1 ) pq - m Y 1 ]/ k 2 , Y 3 = q Y 1 - p Y 2 .

В [4] предложен практичный способ получения нетривиальных частных решений системы (1.1), состоящий в обращении в нуль выражения для q . В заданной форме для получения таких решений предоставляется три возможности: 1. r = 0; 2. p = 0; 3. к ₂ = 1.

Во всех перечисленных случаях имеется общий интеграл

• V₃ ( x ) = q = q ₀ = const .

В первом случае, когда r ^ 0, выполняется так же т = 0. Фактически это задает частный интеграл

• ^V 41 ⁽ x ) = r = ^0.

В выражении для т = 0 системы (1.1) можно рассмотреть две ситуации:

• 1)    к 1 * 1; 2) k 1 = 1.

mγ

Для первой ситуации при q ₀ ^ 0 находится p =----- ¹—. Из системы

⁰                       (1 - k J q 0

• (1.1)    для выражений Y 1 =- q ₀ Y ₃ и Y ₂ = P Y ₃ можно составить дифферен

циальное равенство m Y 1 Y 1 + (1 - k 1 ) q 2 Y ₂ = 0.

Интегрированием последнего выражения получается общий интеграл

V ₄₂ ( x ) = m Y 2 + 2(1 - к 1 ) q ₀ ² y ₂ = c ₄ = const .

(1.2)

Таким образом, к изучаемому частному интегралу V ₄₁ ( x ) = r = 0 системы (1.1) относится набор первых интегралов:

• V ₃ ( x ) = q = q ₀ = const ( q ₀ ^ 0); V ₍₂ ( x ) = m Y 2 + 2(1 - k 1 ) q ₀ ² Y ₂ = const .

Такой дополнительный набор первых интегралов позволяет составить частные решения системы (1.1) даже без интегрирующего множителя [34]. Для этого из общего интеграла Стеклова — Бобылева (1.2) по схеме [4] при соответствующей константе интегрирования c4 можно выразить mY2 -c                             _

• Y₂ =----¹---4у . Далее из интеграла Пуассона находится

• ²    2(1 - к 1 ) q 2

Y 3 =± 4 ^{1 -} Y 12 ^- Y 2 ²⁽ Y 1 ) =±     \ 2 4 Ш) ,

²⁽ k 1 ^- 1) q 0

где ф 1 = - m ² y 1 + 2 y² [ mc ₄ - 2( k 1 - 1)² q ₀⁴] + 4( k 1 - 1)² q ₀ ⁴ - c ₄².

Тогда выражение для Y 1 системы (1.1) будет таким

^{2( к} 1 ^- 1) q 0 ^Y 1 ± 4 ^ф < 7 1 ) = ^0.

Разделение переменных в последнем дифференциальном уравнении приводит к эллиптическому интегралу

m ⁽ t ^- t g ) = ± ⁽ k 1 ^- 1) q of ,d ^{( Y 1} ) , 4 m 1 Y ²) где M 1 ( Y 1 ²) = Y 1 ² { - [ m Y 1 ² - ( mc 4 - 2( k 1 - 1)² q o ⁴) / m ]² +

(1.3)

+ ^{4 q} ° ⁽ k 1 ¹) [ mi - mc ^ + ( k 1 - 1) 2 q 4 ]} . m

Обратная к переменной t функция из (1.3) запишется / ₁ = F ( t - t ₀), обращающаяся в нуль при t = t ₀. Окончательно, частные решения при k ₁ ^ 1, q ₀ ^ 0 в первом случае имеют вид:

mF ( t - t n)

( A. 1) p = /1 ¹ , x ⁰ ; q = q 0 * 0 ( параметр ); r = 0; у = F ( t - t 0 );

^{(1 - k} 1 ) q 0

_ mF ⁽ t ^- t 0 ) ^- c 4          г ², у™ ², .

У 2 = —™—; ^Y 3 -y^{1 -} F 1 ⁽ t ^- t 0 ) ^{- Y} 2 ^{( Y} 1 ) .

²⁽ k 1 ^{- 1)} q 0

Выбор допустимых значений константы интегрирования c ₄ производится из условий | y J <  1 ( i = 1,2,3) и существования вещественных решений эллиптического интеграла (1.3): m ² - mc ₄ + ( k ₁ - 1)² q 4 >  0 . Множество допустимых значений c ₄ задается интервалом ( L₁ , L ₂), где его границы зависят от m и q ₀. При m >  0 область является такой

- 2 q 2 k - 11 <  L₁ <  L ₂ <  min[ m + 2 k - 11 q 2 , m + —— ) q ⁰ ].

m

При m < 0 границы области имеют вид max[m -2k -11 q2,m + ——) q0 ] < L1 < L2 < 2k -1 |q2 .

m

В другой ситуации при k ₁ = 1 удается составить частные решения системы (1.1):

( A .2) p = ±^2 m y 2 + c 0 ; q = q 0 = 0; r = 0; у = 0; у 2 - параметр (| у 2 1 <  1);

у ₃ = ±^ 1 - у 2 ; c ₀ - константа интегрирования .

( A .3) p = 0; q = q ₀ = const ; r = 0; / ₁ = 0; у ₂ = ± 1; у ₃ = 0.

В последнем частном решении допускается q ₀ = 0 . Отсюда видно, что дополнительный частный интеграл Стеклова — Бобылева V₄₂(x ) = const возможен только при значениях k ₁ ^ 1; q ₀ ^ 0 . Отметим, что здесь допускаются осевые симметрии при k ₁ = 1 или k ₁ = k ₂. При F 1 ( t - 1 ₀) = 0; q ₀ ^ 0; у ₂ = 1 решение ( A .1) формально совпадает с ( A .3) при | c 4 = 2| k 1 - 1| q 2| .

Во втором случае частных решений системы (1.1) при p = 0, как и в предыдущем случае существует частный интеграл V51(x) = p = 0 . Опуская выкладки так же при k1 ^ k2, q0 ^ 0 дополнительно имеет место другой общий интеграл

V ₅₂( x ) = m y ₃ ² - 2( k ₁ - k ₂) q ₀ ² у ₂ = c 5 = const . (1.4)

Константа интегрирования c ₅ здесь имеет соответствующие допустимые значения, подобно предыдущему случаю для c ₄. Неавтономный интеграл строится из уравнений Y ₂ и Y ₃ системы (1.1) и сводится к эллиптическому интегралу вида

m ⁽ t - t о ) = ± ⁽ k 1 - 1) q of , d ^{( Y 3}\ ,               ^(1.5)

• ³    M 2 < Y 2 )

где M ₂ ( y ₃²) = у ₃² { — [ m Y ₃ ² — ( mc₅ - 2( k 1 — k ₂)² q ₀⁴) / m ]² +

4 q 4 ( k 1 - k ₂)²     2                  _{7 3}2 4-n

⁺-------₂----- ^{[ m} - ^mc 5 ^{+ (} k i ^{- k} 2 ) ^q 0 ^]}.

m

Обратная к времени t функция здесь имеет вид у ₃ = F ₂( t - t ₀), обращающаяся в нуль при t = t ₀.

Частные решения при k1 Ф k2, q0 Ф 0 в этом случае аналогично имеют вид:

• ( B .1)    p = 0; q = q ₀ Ф 0 ( параметр );

  r =

  
  

  mF , ( t — t ₀) ^{( k} 2 ^{- k} 1 )

  
  

  ^{; Y} 1 = ±V ¹ - F 22 ⁽ t - t 0 ) - ^Y 22 ⁽ t ^);

  
  

  Y 2 =

  
  

  m F 2 ( t — t 0 ) —

  2( k 1 - k 2 ) q 2

  
  

  ; y 3 = F 2 ⁽ t ^— t 0 ).

  
  

При k 1 = k ₂ интегралы вида (1.4) не существуют, но тогда возможны решения в элементарных функциях:

• ( B .2)    p = 0; q = q₀ = 0; r = ± ² m ^{Y 2 +} c ⁰⁰ ; y =± 1 - - Y ₂²; Y - параметр

⁰                              k 2            -¹                -² -²

(| y ₂ ^ 1); I Y ₃ = 0; c ₀₀ — константа интегрирования .

• ( B .3)    p = 0; q = q ₀ = const ; r = 0; Y 1 = 0; y ₂ = ± 1; Y ₃ = 0.

Последнее частное решение совпадает с ( A .3), и так же допускается q 0 = ^0.

Здесь частный интеграл (1.4) существует только в предположении k 1 Ф k ₂, q ₀ Ф 0. При этом возможны осевые симметрии твердого тела при k 1 = 1 и k ₂ = 1 в отдельности, но k 1 Ф k ₂.

При F ₂( t — 1 ₀) = 0, q 0 Ф 0, Y ₂ = ± 1 решения ( B .1) для ( y ₃, r ) получаются такие же, как и ( A . 1) для ( Y 1 , p ).

В последнем случае при k ₂ = 1 могут допускаться частные решения видов ( A .1) и ( B .1) системы (1.1). Для них в отдельности возможны частные интегралы Стеклова — Бобылева видов (1.2) и (1.4). Одновременное их выполнение приводит решения к положению:

p = 0; q = q ₀ = const ; r = 0; Y 1 = 0; y ₂ = ± 1; Y ₃ = 0 .

При q ₀ = 0 оно является состоянием покоя.

Можно видеть, что при k ₂ = 1 для эллиптических интегралов (1.3) и (1.5) получается F 1 (t - t ₀) = F ₂( t - t ₀), и при этом решения ( A.1) и ( B .1) одинаковы с точностью до перестановки объектов ( p , / 1 ) и ( r , у ₃).

Самый общий случай возможных решений содержится при p ф 0; r ф 0; k2 ф 1. Здесь не обязательно q обращается в нуль, но в частности возможны и решения (A.1) и (B.1).

Окончательно для существования в системе (1.1) двух частных интегралов Стеклова — Бобылева видов (1.2) и (1.4) соответственно необходимо выполнение для моментов инерции:

B ф A ; B ф C .                         (1.6)

Такое соотношение на моменты инерции не совсем очевидно: в других случаях существования четвертого интеграла, таких как интеграл Лагранжа, Ковалевской, Горячева — Чаплыгина, дополнительный интеграл имеет место только в случае совпадения хотя бы двух моментов инерции. А здесь возникает иная ситуация, когда дополнительные автономные интегралы могут существует и для несимметричного твердого тела.

Условимся называть выражения V₄₂ ( x ) = m / 2 + 2(1 - k 1 ) q ₀ ² у ₂ = const и V ₅₂( x ) = m y 2 + 2( k ₂ - k 1 ) q ₀ ² у ₂ = const частными интегралами Стеклова — Бобылева, так как они не всегда выполняются, а только при определенных обстоятельствах. Хотя V ₃ = q = const , V ₄₂ ( x ) = m / 2 + 2 (1 - k 1 ) q ₀ ² у ₂ = const записываются с константами интегрирования, тем не менее они считаются частными как существующими только при r = 0, B ф C . Несомненно система (1.1) имеет более общие решения и при r ф 0, что видно хотя бы на решениях    ( B . 1)    и    ( B .2).    Поэтому совокупность

V ₃( x ) = const , V ₄₁( x ) = r = 0, V ₍₂( x ) = const составляет один набор частных интегралов. При этом частный интеграл V ₃( x ) = const рассматривается дополнительным.

Точно так же совокупность V ₃ ( x ) = const , V ₅₁( x ) = p = 0, V ₅₂ ( x ) = const составляет второй набор частных интегралов.

В ситуации A = C не зависимо от фазовых переменных из уравнения q = 0 следует общий интеграл V ₃ = q = const . По существу он относится к общему случаю интегрирования Лагранжа [1-4], только записанным в других осях.

Изучим далее вопрос о существовании возможно большего количества допустимых первых интегралов в зависимости от динамических характеристик твердого тела. При A ф B ф C , A ф C для несимметричного твердого тела еще могут допускаться дополнительные интегралы

V ₃( x ) = const , V ₄₁( x ) = r = 0, V ₄₂( x ) = const . При тех же условиях могут возникать дополнительные интегралы V ₅₁( x ) = p = 0, V ₅₂ ( x ) = const .

В совокупности они составляют решение ( A.3) или эквивалентное ему ( B .3). В общей сумме наибольшее число дополнительных интегралов достигает пяти.

Далее рассмотрим твердое тело, имеющее динамическую симметрии. При B = C ^ A , как ранее упоминалось, не может существовать интеграл вида (1.2). Но в этом случае могут участвовать остальные дополнитель-ные интегралы: V₃ ( x ) = const , V ₅₁ ( x ) = p = 0, V ₅₂ ( x ) = const . Тогда наибольшее число дополнительных интегралов будет менее пяти.

Аналогично при B = A ^ C не участвует частный интеграл Стеклова-Бобылева вида (1.4), и наибольшее количество дополнительных интегралов будет как в предыдущем случае, равно четырем.

При A = C ^ B вместе с общим интегралом Лагранжа V ₃ = q = const могут допускаться возможные частные интегралы:

V ₄₁ ( x ) = r = 0, V ₄₂ ( x ) = const , и так же V ₅₁( x ) = r = 0, V ₅₂ ( x ) = const , и даже одновременно. Следовательно, в этом случае возможно наибольшее число дополнительных интегралов, равное пяти.

Легко показать для шара при A = B = C существование только общего интеграла Лагранжа V ₃ = q = const , а частные интегралы Стеклова-Бобылева не принимают участия.

Заключение

Проведенный анализ показал, что достаточным условием существования хотя бы одного из частных интегралов Стеклова — Бобылева в твердом теле является выполнение хотя бы одного из (1.6). Приведенное в [4] соотношение B = 2 A является приемлемым для существования хотя бы одного из частных интегралов. При условии (1.6) возможны дополнительные частные интегралы Стеклова — Бобылева.

Наибольшее возможное число дополнительных интегралов, в том числе два из них Стеклова — Бобылева, допускается для несимметричного твердого тела, а также для динамически симметричного тела, у которого центр масс смещен относительно начала координат вдоль оси симметрии. Для динамически симметричного твердого тела, имеющего смещение центра масс относительно начала координат не по оси симметрии, число дополнительных интегралов будет меньшим, притом только один из них будет частным интегралом Стеклова — Бобылева. Наименьшее число возможных дополнительных интегралов возникает для шара, где нет частных интегралов Стеклова — Бобылева.