Об устойчивости одного стационарного движения механической системы с частным интегралом Гесса

Издавна научный интерес вызывают механические автономные консервативные системы, описывающие вращение твердого тела вокруг неподвижной точки [1-5]. В этой задаче для трех известных случаев существования четырех общих интегралов Эйлера, Лагранжа, Ковалевской [4] хорошо изучены основные динамические свойства. К ним, в частности, относится выявление стационарных движений [6-8] и их исследование устойчивости [9-15], в том числе и на границах области устойчивости [16-17]. Наиболее успешным способом исследования устойчивости движений является второй метод Ляпунова [9], основанный на построении знакоопределенных функций.

Аналогично ставится цель возможности исследования устойчивости стационарных движений в механических системах, когда существует частный интеграл Гесса [4; 5].

1    Постановка задачи

Изучаемая механическая система описывается дифференциальными уравнениями:

Ap = ( B ^- C ) qr ^- z о Y 2 ,      Y 1 = r Y 2 ^- q Y з ,

‘ B^q = ⁽ C ^- A ) rp ^- x о Y з + z о Y 1 , Y & 2 = P Y з ^- Y            ^(1.1)

Cr = (A - B)pq + x0Y2,     i&3 = CY1 - PY2, где x0 ^ 0 ^ z0; y0 = 0; A, B, C — моменты инерции твердого тела относительно главных осей Ox, Oy, Oz; p, q, r — проекции мгновенной угловой скорости на подвижные, связанные с телом оси; x0, z0 — координаты центра масс в подвижных осях; Y1, Y2, Y3 — проекции ортов подвижных осей на неподвижную вертикальную ось OZ, направленную вертикально вниз (углы Пуассона).

Для системы (1.1) известно три общих интеграла [4]:

• V , = Ap ² + Bq ² + Cr ² + 2( x ₀ Y 1 + z ₀ Y ₃) = c ₀ = const (интеграл энергии),

V = Ap Y 1 + Bq Y ₂ + Cr Y 1 = c = const (интеграл кинетического момента),

V 2 = Y \ + Y ₂ + Y 32 = 1 (интеграл Пуассона).

При выполнении равенства Аппельрота — Некрасова [4-5]

AC ( x 0 ² + z 0 ²) + B ( Ax 0 ² + Cz ₀²)                     (1.2)

возможно существование частного линейного интеграла Гесса, записанного в аналитическом виде

V ₃ = Ax ₀ p + Cz ₀ r = 0.                      (1.3)

Частный интеграл Гесса имеет место не только в случае A >  B >  C , x ₀ z ₀ <  0 , но и при A <  B <  C , а также при значениях x ₀, z ₀ одинаковых знаков .

Методом Рауса — Ляпунова [8] для системы (1.1) найдены стационарные движения [17]. Проведем исследование устойчивости одного из них:

= -z0 C(Ax2 + Cz2) r = x0 A(Ax2 + Cz2) p 0 7 A2 x2 + C2 z2 NA (A - C) x0 z 0,0 7 A 2 x2 + C 2 z2 ^C (A - C) x 0 z0, q 0 = 0, /10 =

— Cz 0

7 A² x ² + C² z ²

^Y 20    0, ^Y 30

Ax ₀

7 A² x ² + C² z ²

A >  C . (1.4)

Для упрощения вычислений подкоренных выражений в статье рассматривается случай x ₀ >  0, z ₀ >  0 .

2    Необходимые условия устойчивости

Для полного исследования следует сформулировать необходимые условия устойчивости. Они устанавливаются корнями характеристического уравнения. Отклонения от перманентного вращения имеют вид:

xi = p-p0, x2 = q-q0, x3 = r — r0, x4 = Y1 -/10, x5 = Y2 -Y20, x6 = Y3 -Y30.          (2.1)

Матрица дифференциальных уравнений возмущенного движения запишется:

		0	( B	- C ) r, A	( B - C ) q 0 A	0	- z 0 A	0
	( C	- A ) r 0		0	C - A ) p 0	z 0	0	- x 0
		B			B	B		B
D 0 =	( A	- B ) q 0 C	( A	- B ) P 0 C	0	0	x 0 C	0
		0		- Y 30	Y 20	0	r 0	- q 0
		Y 30		0	- Y 10	- r 0	0	P 0
	V	" Y 20		Y 10	0	q 0	- p 0	0 J

После подстановки B из равенства (1.2) и начальных значений переменных системы характеристическое уравнение матрицы D0 будет сле- дующим:

f ( Л ) = det( D ₀ - I E ) = ^ ( ^ + a ₄) = 0,

(2.2)

где

a ₄ =

_____________ ( Ax 2 + Cz 2 ) _____________ AC ( A - C ) ( x 2 + z 2 ) x 0 z 0 7 A ² x 2 + C ² z 2

X

X [ A ² x 4 + 2(2 A ² - 3 AC + 2 C ²) x ₀ ² z ₀ ² + C ² z ₀⁴ ].

Для рассматриваемых в постановке задачи предположений

A > C, x0 > 0, z0 > 0 первый множитель величины a4 получается поло- жительным.

Выражение в квадратных скобках положительное как сумма всех положительных слагаемых при любых положительных A , C . Уточним, что не имеется необходимых условий существования нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнения, зависящих от начальных значений угловой скорости и углов Пуассона. Обычно при исследовании стационарных движений других случаев существования четвертого дополнительного интеграла условия устойчивости выражаются ограничениями на угловую скорость. Единственными ограничениями в этом случае, но уже только для системы (1.1), будут требования к моментам инерции твердого тела: A + B >  C , A + C >  B , B + C >  A .

Легко видеть, здесь первое неравенство выполняется тождественно ввиду существующего неравенства A > C . Очевидно, что при выполнении равенства (1.2) существует оценка: A > B > C. Действительно, из очевидного соотношения C(x0 + z2)< Ax0 + Cz0 при A > C после умно- жения обеих частей неравенства на положительную величину

A

следует B <  A . Также из неравенства A ( x 0 + z 0 ) >  Ax 0 + Cz 0

C ножения на —------>0 получается B > C . Третье условие

Ax 0 + Cz ₀ ²

сводится к необходимости существования неравенства:

Ax 0 + Cz 0

после ум-

B + C >  A

C ² z 0 >  A ( A - 2 C ) x 0 .

(2.3)

Конечно, при C <  A <  2 C последнее неравенство выполняется тождественно. Но при A >  2 C необходимо дополнительно учитывать условие (0.3).

Без условия (1.2) характеристическое уравнение разлагается в произведение Л ² и двух биквадратных уравнений. Очевидно, при условии (1.0) дополнительно образуется два нулевых корня характеристического уравнения (2.2). Можно показать, что нулевому четырехкратному корню в линейной части системы дифференциальных уравнений движения соответствуют не все простые элементарные делТиаткелкиа. к все корни характеристического уравнения являются только нулевыми и чисто мнимыми, то в таком случае следует провести исследование достаточных условий устойчивости.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

• 3    Построение функции Ляпунова

В консервативных автономных системах знакоопределенные функции Ляпунова обычно строятся способом Четаева [9] — связкой из общеизвестных первых интегралов возмущенного движения. Для системы (1.1) связка будет составлена из трех общих и одного частного (1.3) интегралов. Частный интеграл Гесса должен сохранять постоянное значение, также остается постоянным общий интеграл Пуассона. В связи с этим будет рассматриваться условная устойчивость. Для отклонений (2.1) первые интегралы уравнений возмущенного движения запишутся:

• V ₀₁ — Ax 2 + Bx 2 + Cx 2 + 2( Ap 0 x 1 + Cr₀ x 3 + x 0 x 4 + z 0 x 6 ) — const ,

V 1 — Ax 1 x 4 + B x ₀ x 5 + C x 3 x 6 + A ( / 10 x 1 + p 0 x 4 ) + C ( / ₃₀ x ₃ + r ₀ x 6 ) — const ,

• ^V 21 ^— x 4 ⁺ x 5 ⁺ x 6 ^{+ 2 (} 7 10 x 4 ⁺ 7 30 x 6 ) ^{— 0},

• V ₃₁ — Ax 0 x 1 + Cz 0 x ₃ — 0.

Как показывают примеры исследования механических систем со всеми четырьмя общими интегралами [17], наиболее успешными условия устойчивости бывают после предварительного исключения наибольшего количества переменных из первых интегралов возмущенного движения с фиксированными константами.

Из частного интеграла V ₃₁ — 0 можно исключить переменную

• - Ax 0 x i = .

³ Cz 0

Из другого общего интеграла V,1 = 0 при учете здесь /30 > 0 можно со- ставить решение x6 = -730 + 77320 - (x4 + x52 + 2 710 x4 ) .

Иррациональное выражение можно представить в рациональном виде сходящимся рядом Маклорена по малым значениям x4, x5. Обозначим для краткости

^x 4 ^{+ x} 5 ⁺ 2 7 10 x 4

k =

Y 320

и тогда разложение запишется k k2k35k47k521k6

x₆ — — Yn ( ++++++ l ) ^{6     30} 2   8   16 128 256 1024

Учет пятого и шестого порядков в разложении x ₆ объясняется тем, что в [16; 17] устойчивость установлена членами до упомянутых порядков.

v                                            D AC ( x ₀ ² + Z o2)

Кроме того, из равенства (1.2) выразим B —--- —⁰--- 0- , так как толь-

Ax₀ ⁰ + Cz₀ ⁰

ко при этом условии существует интеграл Гесса. Исключение позволит значительно упростить вид и анализ символьных выражений. В связке из первых интегралов K(x, a) = a0 V01 + a1 V1 линейные слагаемые по отклонениям обратятся в нуль при значениях:

a ₀ = 7 Л С ( A - С ) x 0 z 0 ; a 1 = 27 Ax ₀ ² + Cz ₀ 2 4 A 2 x 02 + C² z 2 •

При этих значениях a ₀, a 1 связку интегралов обозначим K 1 ( x ).

Наибольший интерес в K ₁ ( x ) представляет квадратичная часть, равная

K (2) = A ( Ax 2 + Cz 0 ²⁾ I A ( A C) x 0 x 2 + ₂ ( A — c ) Ax 2 + Cz 2 7 A 2 x 2 + c ² z 2 x z ₀             Cz ₀

x x i x 5 + ACx + z )7 AC ( A - C ) x 0 z 0 x 2 + 2 AC   x ^{2 +} z ²    x

A^x 0 ⁺ Cz 0                        7 Ax 2 + Cz 0

AC ( A² x 2 + C² z 2 ) ₂

( A - C ) x 0 z 0      ⁴

x 4] A² x 02 + C² z 02 x 2 x 4 + ( x 02 + z 0 ²)

+ ( x 02 + z 0 ²)( A² x 02 + C² z 2 ) I C ( Ax 02 + Cz 2 ) x^ 2 Ax 2          \ ( A - C ) x ₀ z ₀

В вычислительном процессе, связанном с подстановками, преобразованиями символьных выражений, факторизацией для разложения на множители и упрощения символьных выражений, требуется большое количество различных операций. Особую сложность в рассматриваемой задаче вызывают подкоренные выражения второй и четвертой степени. Для обработки всюду применяется система аналитических вычислений «Mathematica» на персональных компьютерах. Особенность ее использования состоит в том, что иррациональные выражения четной степени не учитывают абсолютную величину, поэтому под знаком корня накапливаются достаточно большие символьные выражения, которые часто интерпретируются мнимыми единицами. Поэтому в статье применяется упрощенный анализ проверки знака символьных выражений, используя только положительные величины x0, z0.

В квадратичной форме K ₁⁽²⁾( x ) по переменным x ₁, x ₅ можно выделить отдельную часть W 1 ( x ) = m 1 x 1 ² + 2 m ₂ x 1 x ₅ + m 3 x ₅², где обозначено:

m = A ( Ax 2 + Cz 2 ) I A ( A - С ) x 0 _;

• ¹          z ₀              Cz ₀

m 2 = ( A - C )7 Ax 2 + Cz 2 7 A²x 0 ² + C² z 2 ;

m ₃ =

( x 2 + z 2 )( A² x 2 + C² z 2 ) C ( A² x 2 + C² z 2 ) Ax 2          у ( A - C ) x ₀ z ₀

Здесь m 1 m ₃

₂ ⁽ Ax ² + ^Cz 0²⁾ V A ^{2 x 2 + C 2 z 2} _n

- m 2 =----------- Г"2 ----------> 0;

^x 0 ^z 0

m 1 + m ₃ >  0.

Квадратичная часть K^^^x ) по переменным x ₂, x ₄ составляет полный

квадрат:

AC ( x 2 + z 2 ) Ax 2 + Cz 2

7 AC ( A - C ) x 0 z 0

X

x ₂ + 7 A ' x 2 + C ' z 2

Ax 2 + Cz 2

4 AC ( A - C ) x ₀ z ₀

В целом квадратичная часть K j ⁽²⁾( x ) знакопостоянна, и к дальнейшему анализу нужно привлечь слагаемые K 1 ( x ) выше второго порядка. Для этого применим следующий критерий знакоопределенности неоднородных полиномов.

4 О знакоопределенности многочленов

Ввиду возникновения неоднородных функций Ляпунова приведем способ исследования знакоопределенности многочленов вида:

F ( x ) = F 2 m ( x „L, x „ ) + F * ( x „L x n + 1 ) ,                      (4.1)

где целые n,l,m > 1; x e Rn+1, F2m (x1,L,xn)— положительно определенная по своим переменным форма низшего 2m порядка (знакопостоянная в R"+l), F*(x) — многочлен, состоящий из членов степени выше 2m . Знакоопределенность (4.1) эквивалентна отсутствию вещественных решений уравнения F(x) = 0 в окрестности начала координат. Такие решения можно искать среди параметрических ветвей [19; 20]: то многоточием обозначены члены более высокого порядка по l - мерному параметру t.

Начальное значение M можно полагать равным наименьшему общему кратному чисел: 1,2,---,2 т. Начальное значение L можно полагать равным M + 1, а далее оно находится из условия:

A q ( a g ; M ; L - 1; t ) = 0

при a g = 0, ( M + 1 < | g | <  L - 1), i = 1,2, - , n ;

A q ( a ig ; m ; l ; t ) * 0

при a g = 0, ( M + 1 < | g | < L ), i = 1,2, - , n .

Значения Q , L , M можно уточнить, сокращая на их наибольший общий делитель. Имеет место

Теорема 1. Представим QM несократимой дробью q / p, и тогда в случае если lo a) q = 2/ +1 (у - целое) или

• б )    q = 2 у и A q ( a i_g ; M ; L ; t ) — знакопеременная форма при некоторых вещественных a i_g , то F ( x ) знакопеременна;

• 2 ^o .    q = 2 / и A q ( a i_g ; M ; L ; t ) — положительно определенная форма по t 1 , t ₂, l , t l при всех a i_g e R , то F ( x ) положительно определена;

• 3 o .    q = 2 / и A q ( a i_g ; M ; L ; t ) — знакопостоянная форма при всех a i_g e R , то F ( x ) может быть знакоопределенной или знакопеременной на членах более высокого, чем Q , порядка, что устанавливается привлечением членов порядка выше L в разложении (4.2).

В приложениях анализ значительно упрощается при понижении степени M . Для выбора параметризации тогда справедлива

Теорема 2. При анализе знакоопределенности многочлена (4.1) при значении т = l в разложении (4.2) можно полагать

M = l, 5 j = l ( j = 1, l , l ).

Пример применения приведенных теорем продемонстрирован в [17].

5 О знакоопределенности связки интегралов

Вначале квадратичную форму ^(2)(x) следует привести к полным квадратам. Для матрицы

D i =

т 1

< m 2

т ₂ )

I составим характеристическое ^т 3 )

уравнение f (Л) = det(D1 - AE2) = Л2 + c1 А + c0 = 0 ,

(5.1)

где

A (Ax 2 + Cz 2) A (A - C) x о - (x02 + z 2)( A2 x 02 + C2 z 2) x z 0     C   Cz 0              Az 0

C ( Ax ₀ ² + Cz 0 ) Л ( A - C ) x 0 z 0 ^,

c 0 = ⁽ Ax + Cz ²⁾³ A ² x , + C„ > ₀ .

x 0 ^z 0

Ввиду C j <  0, c ₀ >  0 уравнение (5.1) имеет корни . , X ₂ с вещественными положительными частями. Дискриминант этого уравнения получается в виде:

C 2 - 4 с 0 = [ Cz 0 ( x 0 ² + z 2 )V( Ax 2 + Cz 0 ²)³ - A ³( A - C ) x 0 ( Ax 2 + Cz 2 )]² +

+ 4 A3 C (A - C) x05 x02 7 A2 x 02 + C2 z 02 , и он является положительным. Следовательно, корни ., А2 вещественны и положительны.

Для приведения к полным квадратам квадратичной части K 1 ⁽²⁾( x ) составим линейную замену переменных:

' x i = m 2 ⁽ y i + у ₂),

I ^x 2 = У 3 - m 0 У 4 ,                          z,-

• ⁽⁵.²⁾

x4 = У4, x5 = и 21У1 + и 22 У 2, где и2i = A - m,

m 0 = 7 A ² x 0 + C ² z 0

Ax ₀ ² + Cz 2

V AC ( A - C ) x ₀ z ₀ "

Обозначим K 1 (x(у)) = K2 (у), и квадратичная часть K22) (у) при такой подстановке примет вид:

K (2) ₍ y ) = ( x 0 ² + z 0 ²)( A² x 0 ² + C² z 0 ²) |            ( A² x 0 ² + C² z 0 ²)²

• ^{2              Ax} 0 ^{2 + Cz} 0 ²        [ A² x ₀²7 AC ( A - C )( Ax 2 + Cz ₀²) x ₀ z ₀

  x

  
  

. 2 - _{2 A}       A ( Ax 2 + Cz 2 )³        I A ( A - C ) x 0

A ³( A - C ) x ₀( Ax ₀ ² + Cz ₀²)⁴ Cz 0 ³( x 2 + z 2 )( A² x 2 + C² z 2 )

^j( x 2 + z 2 )( A ² x 2 + C ² z 2 ) z 0 V     Cz 0

^x У 1 ⁺

( A² x 2 + C² z 2 )²

^X У 2 ⁺

AC ( A - C ) x ₀ z ₀

Ax 2 + Cz 2

( A²x 2 + C²z 2 ) ACC ( A - C )( Ax 0 + Cz ₀²)

У 3 ² } .

Для применения составленных ранее теорем нужно считать m = 1, n = 3, l = 1. По теореме 2 полагаем M = 1, L = 2 и составим пара метрическую подстановку:

.2 .             .3 .                                         .2 .             .3 .                                         .2 .             .3 .

y1 = a12t + a13t + l; y2 = a22t + a23t + •••; y3 = a32t + a33t + •••; y4 = t, a^ R (i = 1,2,3; j = 2,3).                             (5.3)

Подставляя (5.3) в выражение K * ²⁾( y ), получим многочлен от aj. .

Здесь наименьшее значение Q получается равным четырем, и соответствующий многочлен A _Q ( a jj , M , L , t ) примет вид:

A 4 ( a j ,1,2, t ) =

t ⁴

C

4 A x ₀ ² \ A ( A - C ) ( A² x ₀ ² + C² z ₀²) x ₀ z ₀

K з( a _y, A ).

Исключая положительный множитель, интерес представляет выражение

K 3 ( a j , A ) = R 12 M 12 ( A ) a 12 + R n M ц ( A ) an + R 22 M 22 ( A ) a 22 + R 21 M 21 ( A ) a 22 +

^{+ R} 32 a 32 ^{+ R} 42 ,

D        D A A A 2 2  . z~i2 2\2 .    n D                   IA A 2 ....2  j z~i 2 2 \ 3 .

где R 12 = ^R 22 = ^{4( A} z 0 ^{+ C} z 0 ) ; ^R 11 = R 21 = ^{4 C}z 0 V ^{( A} x 0 ^{+ C} z g ) ;

^R 4, = ( Ax g ² + Cz g ² ) ² ; ^M „( A ) = A - A      ^A(Ax '- + ^Czp 2    x

^{( x} 0 ^{+ z} g ) ⁽ A ^x 0 ⁺ C ^z g ) ^z 0

x

.

.

где F = A ² ( A - C ) x 3 ( Ax 2 + Cz 2 ) - C² z ₀ ( x 0 + z ) 7 A²x 2 + C²z 2 .

Также вычислим ф ( Л ) = A ( x 2 + z 0 ) x 2 z ₀ 7 A ( A - C ) x ₀ z ₀ F , где

F = C ² x 0 ( x ² + z 0 ² )² ( A ² x 0 ² + C ² z 0 ²) 7 A ² x 0 ² + C ² z 2 -

• - A ³ ( A - C ) x ₀³ ( Ax ₀ ² + Cz 2 )[(2 A - C ) x ₀ ² + Cz ₀² ].

С точностью до положительных множителей знаки f ( Л 3 ) и ф ( Л 3 ) совпадают соответственно со знаками выражений F ₀ и F . Так при Л 3 <  Л <  Л ₂ будет выполняться F ₀ >  0, F >  0; при Л 3 е 1 ₀ имеет место только F ₀ <  0, и для Л <  Л 2 <  Л 3 выполняются неравенства: F ₀ >  0, F <  0 .

6 Параметрический анализ устойчивости

Последовательно проведем анализ составляющих слагаемых K3 (aj, Л). Дискриминанты квадратных выражений Mi2(Л) относительно Л (i = 1,2) получаются равными и имеют следующее выражение d = - A(A - C)3 x0(Ax02 + Cz>' <0

• ¹      Cz 0 ( x 2 + z 2 )²( A ² x 2 + C ² z 0 ²)    .

Следовательно, при всех вещественных Л , Л ₂ квадратные многочлены M. ₂( Л ) положительны. Линейные по Л , Л ₂ слагаемые M i ₁ ( Л ) принимают знак в зависимости от значений ( Л - Л 3 ). При анализе рассмотрим три возможные ситуации:

k 0 -

(6.1)

Во второй ситуации значение f (Я3) должно быть отрицательным, а величина ф(Я3) может быть произвольной. Линейное слагаемое, содержащее a12 в K3(aj, Я), получается отрицательным, а все остальные сла- гаемые положительны. В этом случае слагаемые с a12 следует свернуть в полный квадрат. В результате запишется

K ( a „, Я ) = R_l2 M ,₂( Я ) [ а _|2 + R ¹¹ M ^{11( A )} ] ² + R₂₂M ₂₂( Я ) a ₂2 +

3^V у’   /        12     12 v ы L 12     — q          ( л х ^J         22    22 ' 2 х 22

² R 12 M 12 ^{( A} 1 )

+R 21M 21 (Я) a 22 + R32 a 32 + S0, где S0 = R42 -

R м п Я )

, э I---------:---------;-------"12

( Ax ₀ ² + Cz ,') A ( A - C ) x ₀

4 R 12 M 12 ( A )

⁽ x 0 + z 0 ) z 0

и Q 1 — некоторая положительная величина. При этом следует проверить возможность обращения в нуль величины S ₀. Для этого обозначим

_Я = ( Ax 2 + Cz 2 )² I A ( A - C ) x 0

• ⁴     z 0 ( x 0 + z 2 ) V     Cz 0     ’

и для установления его отношения к интервалу I ₀ найдем численное значение f ( Я ₄). В результате вычислений получается

• - ⁽ A - C )⁽ Ax ^{0 +} Cz ⁰) х х\С²7 /г² + zЯ - Л² / А - г³ / Лг² + Г’-²11

f ^{( Я} 4 )     ,₂,-, ₃    , _{2     2х2} ^{Х Х [} C z 0 ⁽ x 0 ⁺ z 0 ) A ⁽ A C ) x 0 ^{( Ax} 0 ⁺ Cz 0 ^)] .

A C ^x 0 ^z 0 ^{( x} 0 ^{+ z} 0 )

Сопоставляя последнее с выражение F0, можно записать f (Я4) = -

( A - C )( Ax 0 ² + Cz 0 ²)

F

A ² Cx 0 ³ z c ( x 0 ² + z 0 ²)^{2 0}

В рассматриваемом здесь случае F ₀ <  0, откуда следует f ( A ₄) >  0 , что приводит к условию Х ₄ ^ 1 ₀. В этом случае S ₀ >  0, и всюду при

А < A 3 <  Я ₂ выполняется K ₃( a j , Я ) >  0. По теореме 1 тогда заключаем о знакоопределенности K ₂( у ), откуда по теореме Ляпунова [9] следует устойчивость стационарного движения (1.4).

В третьем случае при Я1 < Я2 < Я3 должны выполняться условия: F0 > 0, F < 0. Учитывая (6.1), отсюда следует ^A2x2 + C2z2 < k0. Здесь в выражении K3(a j,Я) имеется два отрицательных слагаемых: M 11 (Я), M21(Я2). В этом случае отдельно сгруппируем в полные квадраты слагае- мые с a12 и a22 :

K з ( a _y , A ) = R 12 M 12 ( A ) a 12 +

R 11 M 11 ( A )

R₂₂M₂(A) ) a ₂₂ + ^{R 21 M} "(^ ^{22 22 V} _ ²²   2 R ₂₂ M ₂₂( A ₂)

2 R 12 M 12 ( A ) J

+

^{+ R} 32 a 32 ⁺ 5 *1 ,

где 5 = R ₄₂ -^{1 1      42} 4

R ²1 M 1 ² 1 ( A 1 ) + R 2 M 2 ² 1 ( A 2 )

R 12 M 12 ^{( A} 1 ) ^R 22 ^M 22 ^{( A} 2 ) j '

По теореме Виета из уравнения (5.1): А + А ₂ = - c 1 ; A A = c ₀ значение 5 1 получается равным нулю. В этом случае K ₃( a ij , A ) >  0, и по теореме 1

следует продолжить анализ знакоопределенности K2(у(t)) членами пятого и шестого порядков, привлекая в (5.3) слагаемые по t третьего и более высших порядков.

Без затруднений удалось установить обращение в нуль членов пятого порядка K ₂ ( у ( t )) при выполнении условий:

a 12

R 11 M 11 ( A )    a =- R 21 M 21 A    a

(6.2)

2 R ₁₂ M ₁₂( A 1 ),   ²²     2 R ₂₂ M ₂₂(A)’   ³²

К сожалению, анализ знакоопределенности членов шестого порядка оказался неосуществим ввиду недостатка оперативной памяти на имеющихся персональных компьютерах.

Но и по полученным результатам можно прийти к определенному заключению. Явных условий нарушения необходимых условий устойчивости не имеется ввиду существования только нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнения (2.2). Условие (6.2) можно считать начальными значениями для построения кривых вида (5.3) к уравнению K(x,а) = 0, при которых K2(у) положительно постоянна до членов четвертого порядка включительно.

В терминологии [21] это обстоятельство окончательно формулирует Теорема 3. Перманентное вращение (1.4) условно устойчиво для большинства начальных данных, за исключением множества (6.2).

В знакопостоянной функции K ₃( a j , А ) в переменных у 1 , у ₂, у ₃, у ₄ существуют вещественные решения у 1 ( у ₄), у ₂( у ₄), у ₃( у ₄), представляемые параметрическими кривыми вида (5.3). Набор таких решений при начальных значениях (6.2) можно записать

( у А, у 2 ¹ ) , у 3 ¹ ) , у 4 ¹ ) ).

Согласно подстановке (5.2) им однозначно соответствуют решения

(x1(1),x21),x41),x51)). Из соотношений V31(x) = 0, V21(x) = 0 найдутся x31),x61). Сформированные отклонения x(1) = (x(1),x21),l,x61)) составляют множество значений P(x(1)), для которых связка интегралов K(x,а) положительно постоянна в разложении до членов четвертого порядка. Можно утвер- ждать, что перманентное вращение (1.4) условно устойчиво для большинства начальных данных при построении вещественных решений (5.3), за исключением множества P(x(1)).

Система аналитических вычислений в исследуемой задаче осуществляла различные операции и преобразования с подкоренными выражениями. Поэтому для упрощения вычислений и достоверности извлечения из квадратного корня изначально полагались положительные значения: A >  C , x ₀ >  0, z ₀ >  0. Для отрицательных значений x ₀, z ₀ можно повторить арифметические выкладки, предварительно переходя к положительным величинам x ₁₀ = - x_p z ₁₀ = - z 1 . Точно так же при x ₀ >  0, z ₀ <  0 или x ₀ <  0, z ₀ >  0 следует величину с отрицательными значениями обозначить как положительную с обратным знаком. Аналогично при A <  C можно выполнить предварительную замену: A 1 = C , C₁ = A , и затем проводить исследование устойчивости системы (1.1) в терминах A 1 , C 1 , x ₀, z ₀.

Заключение

Как видно из статьи, получение достаточных условий устойчивости стационарного движения (1.4) требует большого количества вычислений, в основном связанных с символьными операциями: алгебраической суммой, подстановками при замене переменных, факторизацией выражений, разложением в ряды Маклорена.

Следует отметить, что при исследовании достаточных условий устойчивости стационарных движений (1.4) проведено упрощение символьных выражений: исключение величины B из равенства (1.2); уменьшение количества переменных интегралом Гесса в возмущенном движении; мень-шение числа переменных интегралом Пуассона, разложением в ряд Маклорена. Для полного числа переменных без исключения ранее упомянутых величин не имелось возможности установления знакоопределенности связки интегралов. Только при наибольшем числе исключенных величин из интегралов с фиксированными константами удалось получить более предпочтительный результат.

Обычно в исследовании достаточных условий для области устойчивости имеется возможность построения знакопостоянной квадратичной формы функцией Ляпунова при некоторых условиях на геометрические и динамические параметры системы (1.1) и значений угловой скорости. В исследуемой задаче квадратичная форма оказалась знакопостоянной без каких-либо ограничений на угловую скорость, также не имеется ограничений на угловую скорость и углы Пуассона при установлении необходимых условий устойчивости.

Следует подчеркнуть, что устойчивость исследуемого перманентного вращения была установлена членами до четвертого порядка малости отклонений. Хотя достаточными условиями ввиду громоздких выражений не удалось полностью показать устойчивость, необходимые условия устойчивости не выявили дополнительных требований для выполнения этого свойства. В отличие от положения равновесия достигнута, хотя и формальная, условная устойчивость перманентного вращения (1.4) при значениях z ₀ любого знака.