Об устойчивости одного вида перманентных вращений механической системы с частным интегралом Гесса

В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки [1; 2] кроме трех известных общих интегралов приведены случаи существования некоторых частных интегралов [2]. Механическая автономная консервативная система с частным интегралом Гесса описывается дифференциальными уравнениями:

A^p = ( B ^- C ) qr + z о Y 2 ,      ^Y i = r Y 2 ^- q Y 3 ,

‘ Bq = ⁽ C ^- A ) rp ^- z о Y 1 + x о Y 3 , Y & 2 = P Y 3 ^- r Y l ,           ⁽¹⁾

Cr =(A - B)pq - xоY2,     Y3 = qYi - PY2, где x0 ^ 0 ^ z0; A, B, C — моменты инерции твердого тела относительно главных осей Ox, Oy, Oz; p, q, r — проекции мгновенной угловой скорости на подвижные, связанные с телом оси; x0, z0 — координаты центра масс в подвижных осях; Y1, Y2, Y3 — проекции ортов подвижных осей на неподвижную вертикальную ось OZ (углы Пуассона).

Для системы (1) известны три общих интеграла [2]:

• V , = Ap ² + Bq ² + Cr ² + 2( x ₀ Y 1 + z₀ Y ₃) = const ,

• V    = Ap Y 1 + Bq Y ₂ + Cr Y ₃ = const ,

• V - = Y i ^{2 +} Y 2 ⁺ Y ² = 1.

В системе (1) при выполнении равенства Аппельрота [2]:

AC ( x 2 + z 2 ) = B ( Ax 2 + Cz 0 ²)

возможно существование частного линейного интеграла Гесса, записанного в аналитическом виде

V ₃ = Ax ₀ p + Cz ₀ r = 0.

При изучении основных динамических свойств механических систем важное значение занимает исследование устойчивости стационарных движений.

• 1    Постановка задачи

В статье [3] приведены некоторые виды стационарных движений системы (1). Не рассматривая в отдельности знаки параметризованной величины Y ₁₀ , часть исследуемых стационарных движений можно отнести к одной группе с отличными от нуля значениями Y ₂₀ :

где

P = _А(А       A A ( A - C )( Ax 2 + Cz 2 ) x 0 Y 10 ,

A ( .A. C ^ ) X 0

Q =тЦ

Cz 0 V

( Ax 2 + Cz 2 )[ C²z 2 - ( A²X 0 ² + C²z 0 ²) Y 1 ² 0 ] A ( A - C ) x 0 / 10

R =             V A ( Ax 2 + Cz 2 )( A - C ) x 0 / 10 ,

C ⁽ A ^- C ) ^z 0

0 (B - C) Г0 B - C) q 0 0 z0 0 A A A (C - A) Г0 0 C - A ) p 0 - z 0 0 x0 B B B B D = (A - B) q 0 (A - B ) p 0 0 0 - x 0 0 C C C 0 - У30 0 0 r0 - q0 У 30 0 - у10 - r0 0 p0 1 0 У10 0 q0 - p0 0 J При подстановке из равенства Аппельрота величины характеристическое уравнение для матрицы D имеет

AC ( x О + z о² )

B = —.2---,.2

Ax ₀ + Cz ₀

вид f (Л) = det (D - ЛЕ) = Л f1 (Л) = 0, так что где a2 =

^a 0

f 1 ( Л ) = Л ⁴ + a ₂ Л ² + a 0 , F 2

(2.1)

AC ²( A - C ) x о у ,0 ( Ax 02 + Cz 2 )( x 2 + z ₀ ² )’

F 0

A ² C ⁴( x 2 + z 2 ) yV

F 2 = A ²[ C ² + 4( A - C )² у ^] x 6 +

+ [ C ³ (4 A - C ) + (( C - A )⁴ + 8 AC ( A + C )²) у 2 ₀ ] x ₀ ⁴ z ₀ ² +

+ C ² [ A (4 A - C ) + 4 ( A - C )² у ² ] x 2 z 4 + C ⁴ z 6 ;

• F, =- [ C ²( x 0 ² + z 0 ²) + 3 x ²( A - C )² у 20 ] [ C ² z 0 ² - ( A ² x 2 + C ² z 2 ) у 2 ₀] .

Здесь для упрощения и контроля вычислений определителя матрицы, подстановок, замены переменных и факторизации символьных выражений применялась система аналитических вычислений “Mathematica” на персональном компьютере.

При анализе корней характеристического уравнения наиболее важным является определение знака свободного члена. Его знаменатель представляет положительное выражение как произведение только положительных величин.

Легко видеть, что в выражении F ₀ первая квадратная скобка положительна, и вторая квадратная скобка для значений | у ₁₀| из условия (1.5) принимает только положительные значения.

Так как a0 < 0, то независимо от знака F2 биквадратное уравнение (2.1) имеет два чисто мнимых корня и два вещественных, из которых один корень положительный. По соответствующей теореме Ляпунова [4–7] перманентное вращение (1.1) тогда будет неустойчивым.

Ввиду недопустимости выражения Q при / 10 = 0 стационарных движений (1.1)-(1.4) будут рассматриваться только значения / ₁₀ ^ 0 .

Можно показать, что характеристические уравнения для матриц возмущенного движения перманентных вращений (1.2)–(1.4) получаются точно такими же. Для них также имеет место неустойчивость перманентных вращений.

Окончательно можно сформулировать результат.

Теорема . Перманентные вращения механической системы (1), допускающей частный интеграл Гесса, для которых все составляющие углов Пуассона отличны от нуля, являются неустойчивыми.

Следует отметить, что в стационарных движениях (1.1)–(1.4) на выбор знаков x 0 , z 0 , Y 10 влияют только ограничения (1.5). При этом допускаются различные сочетания знаков x ₀, z ₀, и расположение центра масс ниже или выше горизонтальной плоскости здесь несущественно.

Заключение

В статье [8] изучена устойчивость состояния покоя системы (1) при значениях p 0 = q 0 = r₀ = / 20 = 0. Устойчивость установлена при расположении центра масс ниже начала координат, в ином случае — неустойчивость.

В [9] для перманентных вращений при у 20 = 0 показана возможность выполнения необходимых условий устойчивости при определенных соотношениях на моменты инерции A и C . Конечно, при этих соотношениях могут выполняться и достаточные условия устойчивости.

Последние виды стационарных движений, существующие при у 20 ^ 0, рассмотрены в настоящей статье, где установлена невозможность устойчивости при любых динамических и статических параметрах системы (1). Притом неустойчивость получена по линейному приближению, когда не выполняются необходимые условия устойчивости.