Об устойчивости стационарного движения механической консервативной системы
Автор: Новиков Михаил Алексеевич
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Теоретическая механика
Статья в выпуске: 3, 2018 года.
Бесплатный доступ
В статье исследуется устойчивость стационарного движения нелинейной механической консервативной автономной системы, описывающей вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Для исследуемой системы известны три первых общих интеграла: энергии, момент количества движения, Пуассона. При равенстве Аппельрота, связывающем моменты инерции тела с координатами центра масс, допускается частный интеграл Гесса. Исследуемое стационарное движение имеет место и при существовании интеграла Г есса. Исследование устойчивости проведено по уравнениям линейного приближения возмущенного движения. Оно опирается на существование только нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнения с соответствующими им простыми элементарными делителями. Это выражается системой трех неравенств от коэффициентов характеристического уравнения, притом двукратный нулевой корень имеет простые элементарные делители. Анализ трех неравенств, выражающих чисто мнимые простые корни характеристического уравнения, позволил выделить семь областей решений. Отдельно рассмотрены случаи вырождения характеристического уравнения: появление дополнительных нулевых и кратных чисто мнимых корней. В частности, установлена неустойчивость в линейном приближении при условии существования частного интеграла Гесса. Показана необходимость применения системы аналитических вычислений.
Устойчивость движения, интеграл уравнений движения, характеристическое уравнение: элементарный делитель
Короткий адрес: https://sciup.org/148308909
IDR: 148308909 | УДК: 531.36 | DOI: 10.18101/2304-5728-2018-3-22-39
On stability of stationary motion of mechanical conservative system
The article studies the stability of stationary motion of a nonlinear mechanical conservative autonomous system that rotates a rigid body around a fixed point. For the system under study, the first three common integrals are known: energy, moment of momentum, Poisson. At Appelrot equality that connects the moments of body inertia with the coordinates of the center of mass, a particular Hess integral is allowed. The steady-state motion under research is also valid for the existence of the Hess integral. The research of stability is carried out by the equations of linear approximation of perturbed motion. It is based on the existence of only zero and purely imaginary roots of the characteristic equation with the corresponding simple elementary divisors. This is expressed by a system of three inequalities from the coefficients of the characteristic equation, moreover, the double zero root has simple elementary divisors. The analysis of three inequalities expressing purely imaginary simple roots of the characteristic equation, enabled us to identify seven areas of solutions. The cases of degeneration of the characteristic equation are separately considered: the appearance of additional zero and multiple purely imaginary roots. Thus, the instability in the linear approximation is revealed under the condition of the existence of a particular Hess integral. The necessity of using the system of analytical computations is shown.
Список литературы Об устойчивости стационарного движения механической консервативной системы
- Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 7-263.
- Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
- Каменков Г. В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. М.: Наука, 1971. Т. 1.255 с.
- Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972. Т. 2. 213 с.
- Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002. 287 с.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.
- Бахтин А. Б., Брюно А. Д., Варин В. П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 1. С. 80-133.
