Обобщенное уравнение Буссинеска и его многомерные точные решения

Некоторые задачи гидродинамики и механики сводятся к нелинейному уравнению Буссинеска [1; 2; 3]

u „ = д ² ( в u_xx + ц u ² + s u ).

В гидродинамике это уравнение описывает волны, которые могут перемещаться как влево, так и вправо. В механике к уравнению Буссинеска приводит задача Ферми — Пасты — Улама [1], когда в динамическую систему, состоящую из 64 идентичных частиц единичной массы, вносятся нелинейные возмущения. Хорошо известно [1] его решение в виде уединенной волны (солитона), которое имеет вид u (x, t)

6 вс to = с Js - 4вс2,

ц cos2(x - tot + с0) ’ где с Ф 0, с0 — произвольные постоянные. Многомерный аналог уравнения Буссинеска можно записать как utt = А (в А и + цu2 + su).(1)

Цель работы — построение точных многомерных решений следующего уравнения в частных производных четвертого порядка u« =А ((кu + в )А u + ст |Vu|2 + цu2 + su), которое будем называть обобщенным уравнением Буссинеска, так как при к = ст = 0 из него получается обычное уравнение Буссинеска (1). Здесь

А                n u = u(х,t), хе R n, n g N, n > 2, u =---u, А — n-мерный оператор Лапла- д t2

са; V — оператор набла взятия градиента; к, в ф 0, ст, ц ф 0, s — произвольные параметры.

Точные решения уравнения (2) будем отыскивать методом обобщенного разделения переменных [4; 5]

u ( х , t ) = у (t ) W ( х ) + ф (t )                        (3)

W ( х ) = !( A х , х ) + ( B , х ) + C ,                   (4)

где ^ ( t ), ф ( t ) — неизвестные функции времени; ненулевая числовая симметрическая матрица A размера n х n , постоянный вектор B g R n и константа С g R подлежат определению. Здесь и далее ( • , • ) — скалярное произведение в R ” .

Отметим, что конструкция типа (4) ранее успешно использовалась для построения точных решений нелинейных параболических систем со степенными нелинейностями [6; 7] и для нелинейной системы уравнений в частных производных первого порядка [8]. В [9] найдены точные многомерные решения систем нелинейных уравнений типа Буссинеска с линейными взаимосвязями. Решения некоторых нелинейных гиперболических уравнений с функциональным разделением переменных получены в [10].

1 Редукция к системе ОДУ

После подстановки функции (3) в уравнение (2) с учетом очевидных равенств

A (( ku + в ) А и + о | V u |² + ц u ² + e u ) = к [ и A ( Л u ) + ( A u ) ² + 2( V u , V A и ) ] + + в A ( A u ) + о A| V u |² + 2 ц ( u A u + |V u |²) + e A u ,

|V W ( x )| 2 = ( A x ² , x ) + 2( A B , x ) + |b| 2 , где V W ( x ) = ( tr A ) — след матрицы A , и несложных преобразований приходим к равенству

, ''-,.. 2 ( 1 , .   . ,_-._)             ,\2         .2.1 2

( у - 2 ц (tr A ) у ) I — ( A x , x ) + ( B , x ) + C 1 + ф = ( k ( tr A ) + 2 о (tr A ) ) у +

+ 2 ц уф (tr A ) + 2 ц (( A ² x , x ) + 2( A B , x ) + B|²) у ² + e (tr A ) у .

Очевидно, что если числовая симметрическая матрица A , постоянный вектор B e R n и константа С e R удовлетворяют системе алгебраических уравнений (САУ)

A = 25 A \ B = 25 A B,    C = 5 B|2,(5)

где 5 ^ 0 — константа разделения, то последнее равенство сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка :

'• у = Ху(6)

''

ф = f(t) Ф + g(t)

Здесь введены обозначения

Х = 2ц|—+ trA |,(8)

I 5 )

f (t) = 2ц (tr A) у, g(t) = (k(tr A)2 + 2o(tr A2))у2 + e(tr A) у.

Отметим, что САУ вида (5) ранее была получена и исследована в [6; 8]. Поэтому в этой работе мы приведем только пример функций (4), коэффициенты которой удовлетворяют САУ (5).

Пример 1. В трехмерном случае n = 3 для построения анизотропных по пространственным переменным точных решений уравнения (2) можно использовать, например, следующие функции

W_x ( x , y , z ) - —— [ 5 x ² + 8 y ² + 5 z ² - 4 xy - 8 xz - 4 yz ] +

+ 1 1 x - 2( 1 1 + 1 ₂) y + 1 ₂ z + 5 (5 1 1 ² + 8 1 1 1 ₂ + 5 1 ₂²),

W ₂ ( x , y , z ) - —— [ 5 x ² + 5 y ² + 8 z ² + 8 xy + 4 xz - 4 yz ]+

+ 1 1 x + 1 ₂ y + 2( 1 1 - 1 ₂) z + 5 (5 1 ² - 8 1 1 1 ₂ + 5 1 ₂²),

W ₃ ( x , y , z ) - —— [ 8 x ² + 5 y ² + 5 z ² - 4 xy + 4 xz + 8 yz ]+

(12) + 2( 1 ₂ - 1 1 ) x + 1 1 y + 1 ₂ z + 5 (5 1 ² - 8 1 1 1 ₂ + 5 1 ₂²).

Для построения радиально-симметричных решений будем использовать функцию

W _o ( x , y , z ) = — [ ( x + 2 5 1 ! )² + ( y + 2 5 1 ₂ )² + ( z + 2 5 1 ₃ )² ]        (13)

0              4 5           1                2                3

Здесь 5 ^ 0, 1_t , i = 1, 2, 3 — произвольные параметры.

2 О точных решениях системы ОДУ

В системе ОДУ (6), (7) нелинейным является только уравнение для определения функции у (t ). Поэтому основное внимание уделим его интегрированию. Как показано в [10], при параметре X = 6 ОДУ (6) имеет общее решение

_V( t ) = р ( t + C ₂),                            (14)

где р — функция Вейерштрасса с инвариантами, g ₂ = 0, g ₃ = C 1 , где C ₁ , C ₂ — произвольные постоянные.

В общем случае ОДУ (6) сводится к следующей квадратуре

[ -^y— - 1 - 1 0 ,           (15)

• ^j % _Xv ³ + C 1

где C 1 , 1 ₀ — произвольные постоянные. При C 1 - 0 имеем частное решение

6          2

у (t) = — (t -t0) . Для этого частного решения из формул (9) получим λ f (t) = цх(t - to)-2, g(t) = 9Х(t -t0)-4 + 02(t - to)-2,

12 0 (tr A )        36.,. _jx2 , , _j2xx _    6 s (tr A )

.

где 0 =---------, 0_X = ^( k (tr A ) + 2 c (tr A )), ^ =--------

• ¹    X ¹    X ^{2                                2} X

Для этих функций f ( t ), g ( t ) общее решение ОДУ (7) имеет вид

ф ( t ) = C i ( t - t o ) v ¹

+ C 2 ( t - t o ) v ²

+ 6^( t - t o )² - M 1 ( 0 1 + 0 2 ( t - t o )²) ⁰ 1⁽ 0 1 ^{- 6)(} t ^- t o^{) 2}

где v1 = ^ + ^2 401 + 6,  v2 =   -     401 + 6,  C1, C2 — произволь ные постоянные.

Пример 2. В трехмерном случае n = 3 обобщенное уравнение Буссинеска (2) имеет анизотропные по пространственным переменным точные решения U i ( x , y , z , t ) = у (t ) W i (x , y , z ) + ф ( t ), где W_x ( x , y , z ), i = 1,2,3

приведены в примере 1, a функции y (t ), ф ( t ) имеют вид

, х 332

V ⁽t ) = —⁽ t ^- t o ) ,

ф(t) = C1(t- to)v1 + C2(t- to)v2 + ~ 2”^(t- to)2 - где v1 = (1 - 713)/ 2,  v2 = (1 + 713) /2, C1, C2, to — произвольные посто- янные.

В общем, вычислив интеграл (15) при C 1 Ф o, получим, что зависимость у от переменной t задается неявно равенством, содержащим эллиптический интеграл первого рода. При этом при определенных значениях постоянной C 1 можно получить функцию у ( t ) в явном виде, выражающемся соотношением, содержащим эллиптические функции Якоби.

Заключение

В статье получены явные выражения точных многомерных решений уравнения типа Буссинеска, выраженные в элементарных и эллиптических функциях Вейерштрасса и Якоби, которые имеют не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать как для тестирования, настройки и верификации численных методов, так и для алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных четвертого порядка большой размерности.