Обработка данных за деформациями сооружений на дневной поверхности геодинамических полигонов

Каждая физическая точка сооружения, положение которой первоначально фиксировалось координатами x, y, z вследствие деформации получает приращение, представляющее собой функцию первоначальных координат и времени t.

Пусть А1, В1, С1, … F1 – положение наблюдаемых реперов (или марок), координаты которых из первого цикла наблюдений представлены в табл.1.

Таблица 1

Координаты точек	А 1	В 1	С 1		F 1
X	А 1,1	В 1,1	С 1,1		F 1,1
Y	А 2,1	В 2,1	С2,1		F 2,1
Z	А 3,1	В 3,1	С 3,1		F 3,1

При повторном цикле наблюдений реперы заняли положение, характеризующиеся координатами в табл. 2.

Поскольку причиной развития перемещений точек является совокупность факторов, обусловленных дей- ствием различных сил на сооружение, зависимость между координатами соответственных точек при первом и втором циклах наблюдений не является линейным. Задача состоит в том, чтобы аппроксимировать (приблизить) эти полученные зависимости к линейным функциям.

Таблица 2

Координаты точек	А 2	В 2	С 2		F 2
X	А 1,2	В 1,2	С 1,2		F 1,2
Y	А2,2	В2,2	С 2,2		F2,2
Z	А3,2	В3,2	С3,2		F 3,2

С геометрической точки зрения эту задачу можно сформулировать так: построить многогранник A1, B1, C1, … F1, аффинный многограннику А1, В1, С1, … F1 и близко расположенный многограннику А2, В2, С2, … F2.

Близость двух многогранников будем понимать в том смысле, что сумма квадратов расстояний между соответственными вершинами будет минимальной, т.е.

Ф=(А 2 А¹)² +(В 2 В¹)² +(С 2 С¹)² +…+(F 2 F¹)² = min (1)

Тогда аффинное соответствие в пространстве запишется уравнением:

x ¹ =α 1.1 x+α 2.1 y+α 3.1 z+α 4.1;

y ^{1 =α} 1.2^x+α 2.2 y ^+α 3.2^z+α 4.2;            (2)

z ¹ =α 1.3 x+α 2.3 y+α 3.3 z+α 4.3;

(Соответствие называется аффинным, если зависимости между координатами соответствующих точек линейные.)

Но элементы матрицы уравнения (2) неопределенны. Для получения координат ( например точки А¹ в уравнении 2 ) вместо X, Y, Z, нужно подставить координаты точки А из таблицы 1.

z ¹ =α 1.1 а 1.1 +α 2.1 а 2.1 +α 3.1 а 3.1 +α 4.1;

А y =α 1.2 а 1.2 +α 2.2 а 2.2 +α 3.2 а 3.2 +α 4.2;        к (3)

z =α 1.3 а 1.3 +α 2.3 а 2.3 +α 3.3 а 3.3 +α 4.3;

Аналогично могут быть получены координаты и других вершин многогранника A1, B1, C1, … F1.

Координаты этих вершин являются линейными функциями относительно переменных α i,j Квадрат расстояния (А 2 А¹)² тогда заменяется формулой:

( ^А2^{А 1} ) ^{2 =} ( ^α 1.1 ^а1.1^+α 2.1 ^а2.1^+α 3.1 ^а3.1^+α 4.1 ^{- а}1.2 ) ^{2 +}

( ^α 1.2 ^а1.2^+α 2.2 ^а2.2^+α 3.2 ^а3.2^+α 4.2^-а2.2 ) ⁺

( ^α 1.3 ^а1.3^+α 2.3 ^а2.3^+α 3.3 ^а3.3^+α 4.3^-а3.2 ) ^.

Координаты вершины А₂ берём из табл. 2. Аналогично составляем и другие слагаемые уравнения (1). Очевидно, что функция (1) может быть минимизирована по методу наименьших квадратов. Для этого составим систему уравнений: ^{δ Ô}  = 0   (i=1,2,3; j=1,2,3,…, k). (5)

^δα i , j

Эта система сводится к трём системам нормальных уравнений. Первая система имеет вид:

α 1,1 ∑х 1 ² +α 2,1 ∑х 1 у 1 +α 3,1 ∑х 1 z 1 +α 4,1 ∑х 1 =∑х 1 x 2 ;

α 1,1 ∑y 1 x 1 +α 2,1 ∑у 1 ² +α 3,1 ∑х 1 z 1 +α 4,1 ∑y 1 =∑y 1 x 2 ;

α 1,1 ∑z 1 x 1 + α 2,1 ∑z 1 y 1 +α 3,1 ∑z 1 ² +α 4,1 ∑z 1 =∑z 1 x 2 ;

α 1,1 ∑x 1 +α 2,1 ∑y 1 +α 3,1 ∑z 1 +α 4,1 k=∑x 2 ;

где к – число наблюдаемых точек;

x ₁ , y ₁ , z ₁ – координаты точек при первом цикле наблюдений;

x2, y2, z2 – координаты тех же точек при втором цикле наблюдений.

Вторая и третья системы уравнений получаются из системы (6) при замене столбца свободных членов соответственно столбцами:

∑х 1 у 2	∑х 1 z 2
∑у 1 у 2	∑у 1 z 2	• пл
∑z 1 у 2	и          ∑z 1 z 2	(7)
∑у 2	∑z 2

Решением системы (6) и (7), определяем коэффициенты α i,j приращения. По найденным коэффициентам α i,j составляем матрицу:

α1,1   α2,1

Т = α1,2  α2,2

α1,3  α2,3

Известно, что матрицу (8) можно представить в виде ортогональной и симметричной матрицы. Собственные векторы симметричной матрицы определят главные оси деформации сооружения. Собственные числа определят изменения масштабов по этим осям. Надёжность предлагаемого метода подсчёта математического ожидания деформаций проверена на примере вантового перехода газопровода через р. Пурпе, за которым систематически (в течение семи лет) проводились геодезические наблюдения за осадками и горизонтальными смещениями. Для исследований были взяты координаты 10 точек по вектору проложения вантового перехода, полученные из парных двух циклов наблюдений с разницей во времени в два года.

Коэффициенты системы нормальных уравнений (6) и (7) подсчитывались на компьютере по стандартной программе средних величин. За ошибку, возникшую при замене существующих связей между координатами линейной зависимости, согласно формуле (1) можно принять величину:

m ô =   ^Ô _N ,    (9)

где N – число наблюдённых точек; Ф – минимизированные суммы квадратов расстояний между соответствующими вершинами.

Сравнение координат физических точек, полученных из аффинного соответствия и натуральных наблюдений, показывает их практическое совпадение. Поэтому полученные линейные уравнения (6), (7) можно с достаточной степенью точности принять за уравнения деформации. При этом уравнения деформации приближенно заменяются линейными зависимостями. Из этого следует, что такие зависимости получены при решении аппроксимированной геометрической задачи о построении аффинных многогранников, по своим данным близки к любому наблюдённому.

Решение этих уравнений можно произвести на компьютере по составленной выше программе. Полученные линейные уравнения можно использовать для прогноза ожидаемых величин деформаций любых сооружений и поверхностей геодинамических полигонов на определенный момент времени, особенно при недостатке постоянно измеряемых точек в контуре наблюдаемого объекта.

Например: в первый год работы геодинамического полигона А количество измеренных точек (реперов) в контуре полигона составило 30 единиц и их простран- ственные координаты вписаны в таблицу. Предположим, что на второй год работы полигона по независимым чрезвычайным обстоятельствам часть реперов (11 ед.) была утрачена и измерения местоположения оставшихся реперов проводились только на 19 точках. При этих обстоятельствах геометрия полигона А изменилась на ΔА и полноценность результатов измерений к решению задачи о деформации фигуры линейно, без аффинного приближения, считать нельзя. Для этого и служит предлагаемый метод, где приведенные зависимости, полученные решением аппроксимированной геометрической задачи при построении аффинных многогранников, по своим данным близки к любому ранее наблюдённому значению. При этом геометрию полигона для расчета значений деформации дневной поверхности можно считать прежней, так как величины деформаций на несколько порядков меньше, чем замеренные расстояния между наблюдаемыми реперами.