Обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа на группе гейзенберга

DOI:

В пространстве L _p (R ⁿ ), 1 <  р <  то , рассмотрим оператор растяжения ^_а, определяемый равенством (^_а/)(ж) = /(ж/а), а > 0. В [8] введен и изучен класс однородных операторов, коммутирующих со всеми операторами -#_а. Этому классу принадлежат интегральные операторы с однородными ядрами, которые в настоящий момент хорошо изучены (см., например, [1; 4; 14] и цитированные там источники). Для таких операторов получены условия ограниченности и обратимости, для операторов с различными классами коэффициентов получены условия фредгольмовости и формулы для вычисления индекса. В [5] рассмотрены интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа, а в [13] — однородные операторы в гильбертовых модулях.

В связи с развитием в последнее время некоммутативного гармонического анализа и его применением в различных областях науки и техники [12; 15; 16] представляется актуальным распространить теорию операторов с однородными ядрами с группы R ⁿ на некоммутативные группы. В работе [3] введен класс интегральных операторов с однородными ядрами на группе Гейзенберга, для которых получены условия ограниченности и регулярности. В настоящей статье на группе Гейзенберга вводится новый класс однородных ядер компактного типа и для унитализации банаховой алгебры V ^ (Н _п ), порожденной интегральными операторами с ядрами такого типа, строится символическое исчисление, в терминах которого формулируется критерий обратимости.

1.    Группа Гейзенберга

В этом разделе приведем в удобном для дальнейшего виде необходимые сведения о группе Гейзенберга (см., например, [16, с. 209–212]). Пусть N — множество натуральных чисел; R — аддитивная группа вещественных чисел; R + — мультипликативная группа положительных чисел; С ^п — п-мерное унитарное пространство со скалярным произведением

п z • w = У zkWk, z,w Е Сп, k=1

и нормой

П       \ 2

Е k| ²   , z Е C

\ k=i     /

Группой Гейзенберга называется множество Н _п = С ^п х R с бинарной операцией

(z, a)(w, b) = (z + w, a + b + 2Im(z • w)),   (z, a), (w, b) Е H _n .

Нейтральный элемент группы имеет вид ( 0 ,0), где 0 — нулевой вектор пространства С ^п , а обратный элемент вычисляется по формуле (z,a) ^{- 1} = ( — z, — а). Заметим, что в некоторых источниках групповая операция может определяться иначе (см., например, [11, c. 13]). Кроме того, следует отметить, что группу Гейзенберга часто определяют как подгруппу группы квадратных верхнетреугольных матриц размера п + 2 следующего вида:

а

с

0 Е п b ^T

где Е _п — единичная матрица порядка п, а и b — вектор-строки из R ⁿ , Ь ■ b ^T — операция транспонирования, с Е R. Все упомянутые подходы приводят к изоморфным группам.

Для любого г Е R . существует автоморфизм 5 , : H _n ^ H _n , определяемый формулой

5 , (z, а) = (гz,г ² а),   (z, а) Е H _n .

Автоморфизм 5 , называют растяжением. Группа автоморфизмов { 5 , } _rG R ₊ с операцией композиции изоморфна группе R ₊ , при этом 5 , _р = 5 , 5_р и 5 ^{- 1} = 5 1 для любых г, р Е R ₊ .

Снабдим группу H _n нормой Кораньи:

ll(z,a)|l = (|z14 + а2) 4 , (z,a) Е Hn, которая удовлетворяет условию однородности:

У ж Е H _n , г Е R ₊ :   ||5 _Г (ж) | = г | ж | .

Норма Кораньи позволяет определить на группе Гейзенберга единичную сферу

Sn = {ж Е H : |ж| = 1} с центром в точке (0,0) Е Hn, которая гомеоморфна стандартной 2п-мерной сфере в пространстве R2n+1.

На группе Гейзенберга преобразование декартовых координат ж Е Hn \ {(0,0)} в сферические (г, s) Е R+ х Sn определяется по формулам г = |1ж11,   s = 5и(ж),                                      (2)

при этом для любой определенной на Hn интегрируемой функции f j f(ж) dж

H n

^

= / /f (5 , (s)) г ²" * ¹

S n 0

dг ds.

Стандартная мера Лебега на группе R2n+1 задает биинвариантную меру Хаара на группе Гейзенберга Hn [16, с. 192]. Ниже мы будем рассматривать лебеговы банаховы пространства Lp(Hn), где 1 < р < то и L^(Sn). Кроме того, далее понадобится естественный аналог пространства со смешанной нормой L(1,^)(R" х R") (см., например, [2, с. 8-11]), а именно весовое пространство L(1,^)(Hn х Hn,ш1 ® ш2), то есть пространство, состоящее из определенных на Hn х Hn измеримых функций f, для которых конечна норма llf l|L(liM)(HnXHn,^1®^2) = eSSSUP

2.    Интегральные операторы с однородными ядрами на группе Hn

Пусть 1 <  р,р' <  то , 1/р + 1/р ‘ = 1. Определенную на H _n х H _n функцию к назовем однородной степени т, если

V y G R ₊ , V x, y G H n :   k(5_Y(x), 5_Y(y)) = Y ^m к(x₁y).

Однородную степени (—2n — 2) измеримую функцию к отнесем к классу ^p(Hn), если к1(к) = ess sup ^eSn

/ - 2 n +2

|к(x, u)| |x|    p‘ dx h„

< то ,

к ₂ (к) = ess sup sGS n

/ - 2 n +2 l ^k(s,y) |^ y ^ ^{p d}y

H „

< то .

Лемма 1. ^ _p (H _n ) — банахово пространство c нормой

ll^k^ M p ( H n ) = max(^К 1 ^{( к )} , ^К 2 ^{( к)}) .

Доказательство. Для любой функции к G ^p(Hn) и соответствующих чисел к1 (к), к2(к) справедливы равенства к1(к) = ess sup yGHn

к ₂ (к) = ess sup жеИ п

2 n +2 Г

Н у Н ^p ‘ j ^G^y) M

H n

2n + 2 f llx|l p j |k(x,y)||y|

H n

2 n +2 p ‘ dx

2 n +2

p dy

Действительно, используя замену x ^ b ^_y^ (x),dx ^ | y | ²ⁿ⁺² dx, а также воспользовавшись свойством однородности нормы Кораньи (см. (1)) и свойством однородности функции к (см. (5)), легко убедиться, что

2 n +2 Г

^V y ^G H _n :    ||y ^ ^p‘ J ^{| k (} x^,y ^{) |} || x H

2 n +2

p ‘ dx =

H n

j ^к ( ^x, ^yW) ^{| x |}

H n

2 n +2 p ‘ dx.

Далее, замечая, что ess sup yGHn

/

H n

^k(^x, ⁵ llyl^ y))    ^{| x |}

2 n +2 p ‘ dx

= ess sup ^ eS n

j ^{| k ( x}, ^{ff) | | x |}

H n

2 n +2 p ‘ dx

и учитывая (6), получаем (9). Выполнение равенства (10) доказывается аналогично.

Множество определенных на H _n х H _n измеримых функций к, удовлетворяющих условию к 1 (к) <  то (см. (9)), является банаховым пространством

/                   _ 2 n +2          2 n +2 \

L (i, _ro ) (^H n х H _n , | x |     ^p ‘   ® ll y ll ^p ‘ j ,

(см. (4)). Подпространство этого пространства, порожденное однородными степени ( — 2п — — 2) функциями, обозначим M p (H _n ). Норма в данном пространстве задается равенством

P^M i ( H „ ) = ^к 1 ^{( к )} .

Множество определенных на Hn х Hn измеримых функций к, удовлетворяющих условию к2(к) < то (см. (10)), обозначим Mp(Hn). Каждой функции к Е Mp(Hn) сопоставим функцию к(х,у) = к(у,х), которая, как несложно заметить, удовлетворяет условию ess sup yGHn

2 n +2

Н у Н ^p J \ ^{к( х,}у ⁾ \ ||^х||

h„

2 n +2

p dx

< то .

Множество определенных на H „ х H _n измеримых функций к, для которых справедливо это условие, является банаховым пространством

/                 - 2 п +2         2 п +2 \

L(i,^) (H х Hn, |х| p 0 ЦуЦ p ) , откуда следует, что Mp(Hn) также является банаховым пространством. Подпространство пространства MP(Hn), порожденное однородными степени (—2п — 2) функциями, обозначим Mp(Hn). Норма в данном пространстве определяется равенством

^{| k |} ^ p ( H n ) = ^к 2 ^{( к )} .

Банаховы пространства M p (H _n ) и M p (H _n ) образуют банахову пару, а их пересечение

M . h m. h Q м^ (H n )

является банаховым пространством с нормой (8) (см. [6, с. 20]). Лемма доказана.

В пространстве L _p (H _n ) рассмотрим интегральный оператор

(К_к /)(х) = j к(х,у) /(у) dy, к EM p (H n ). И п

Из теоремы 1 работы [3] вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Оператор К вида (11) ограничен в L _p (H _n ) .

Для произвольного банахова пространства X через ^ ( X ) будем обозначать банахову алгебру всех линейных, ограниченных в X , операторов. Замкнутую подалгебру банаховой алгебры £ (L _p (H _n )), порожденную интегральными операторами вида (11), обозначим Op( M p (H „ )).

3.    Операторы из Op(Mp(Hn)) в сферической системе координат

Для того чтобы в алгебре Op( M _p (H _n )) выделить подалгебру операторов с однородными ядрами компактного типа, рассмотрим операторы из Op( M _p (H _n )) в сферической системе координат. Преобразование декартовых координат в сферические на группе H _n индуцирует изометрический изоморфизм

Q : L p (H _n ) ^ L p (R ₊ х S „ ,r ²ⁿ⁺¹ 0 1)

(см. (2)–(3)), который определяется по формуле

(Qf )(r, s) = / (5 _r (s)),    r G R + , s G S _n .

Определенную на R ₊ x R ₊ x S _n x S _n измеримую функцию Z, удовлетворяющую условию

VY,r, p G R+, Vs, a G Sn : Z(Yr, Yp, s, a) = Y-1Z(r, p, s, a), отнесем к классу ^p(Hn), если k^Z) = ess sup aGS„

∞

У У | ^{z ( r}, i,s, ^{a )}| ^r^

S n 0

∞

¹ dr ds <  to ,

К (Z) = ess sup sGS _n

-       -:

| Z(1, p, s, a) | p p dp da <  to .

S n о

Аналогично лемме 1 доказывается, что ^ p (H _n ) — банахово пространство с нормой ll^Z^ ^ p ( H n ) = тах (^к 1 ^{( Z )} , ^к 2 ^{( Z )}) .

Изометрический изоморфизм Q : ^ _p (H _n ) ^ ^ p (H _n ) определим по формуле (Qk)(r, s, p, a) = p ²ⁿ⁺¹ k(5 _r (s), 5 p (a)), r, p G R + , s, a G S „ .

В пространстве L _p (R ₊ x S „ ,r ²ⁿ⁺¹ ® 1) рассмотрим интегральный оператор

∞

(L i / )(r,s) = j yZ(r, p,s, a)/(p, a) dp da, Z G M _p (H _n ). S n о

Для любого изоморфизма произвольных банаховых пространств Т : X 1 ^ Х ₂ пространственный изоморфизм подобия банаховых алгебр Т : G ( X 1 ) ^ G ( X ₂ ) определяется с помощью равенства

Т(0) =Т ©Т-1, 0 gG(Xi).(15)

Непосредственными выкладками доказывается, что для отображения Q (см. (13)) и изоморфизма подобия

Q : G(Lp(Hn)) ^ C(Lp(R+ x Sn,r2n+1 ® 1)),(16)

определяемого c помощью изоморфизма Q (см. (12)), справедливо соотношение

Vk GMp(Hn):  Q(Kk) = L^(W(17)

откуда, в частности, следует, что в силу теоремы 1 оператор вида (14) ограничен в пространстве L _p (R ₊ x S _n ,r ²ⁿ⁺¹ ® 1). Замкнутую подалгебру банаховой алгебры ^ (L _p (R ₊ x x S _n ,r ²ⁿ⁺¹ ® 1)), порожденную интегральными операторами вида (14), обозначим Op( ^ P (H _n )), тогда

Q ) (Op( ^ p (H _n ))) = Op( ^ P (H _n )).

4.    Операторы с однородными ядрами компактного типа на группе Hn

Будем полагать, что определенная на R + х R + измеримая функция а, удовлетворяющая условию

V y,© р G R ₊ :   а(Yт, Yp) = Y -W , р),                   (18)

принадлежит классу 4(R+, т2п+1), если га га

/ _ 2 п +2

| а(1, р) | р     "  dp <  то .

о

/ 2 п + 2 - 1

| а(т, 1) | т ^р dr =

о

Нетрудно доказать, что 4 _p (R ₊ , т ^2п+1 ) — банахово пространство с нормой

||^а^ Д _р ( К ₊ ,г ² " +1 ) = ^{а( а )} .

В пространстве LP(R+,т2n+1) рассмотрим оператор мультипликативной свертки га

(А а / )(т) = j а(т, р)/(р) dp,    а G 4 p (R + , т ^2п+1 ) .                 (20)

о

Известно, что оператор А _а вида (20), ограничен в L p (R ₊ ,т ²ⁿ⁺¹ ) [14, с. 53]. Замкнутую подалгебру банаховой алгебры ^ (L _p (R ₊ , т ^2п+1 )) , порожденную интегральными операторами вида (20), обозначим V _p (R ₊ , т ^2п+1 ) .

Рассмотрим алгебраическое тензорное произведение

Лp(R+,т2n+1)©Lra(Sn XSJ = {^ aibi : ai G 4p(R+, т2п+1), bi G Lra(Sn х SJ, j G n| , вложенное в ^p(Hn). Через C'p(Hn) обозначим замыкание 4P(R+,т2n+1) © Lra(Sn х Sn) в ^p(Hn). Пусть

C p (H n ) = (5^{_ 1} ( c p (H n )).

В силу того что интегральные операторы с ядрами из L _ra (S _n x S _n ) компактны в пространстве L _p (S _n ), ядра из C _p (H _n ) будем, аналогично работе [4], называть ядрами компактного типа.

Замкнутую подалгебру банаховой алгебры Op( ^ _p (H _n )), порожденную интегральными операторами (11) с ядрами из C _p (H _n ), обозначим V _p (H _n ). Для произвольной банаховой алгебры A через А ⁺ обозначим ее унитализацию. В частности, V _p (H _n ) — унитализация V _p (H _n ).

Из равенства (17) следует, что алгебра V '_p (H _n ) = Q( V _p (H _n )) совпадает с замкнутой подалгеброй банаховой алгебры Op( ^ p (H _n )), порожденной интегральными операторами (14) с ядрами из C '_p (H _n ).

Топологическое тензорное произведение L _p (X, р) © L _p (Y, v) весовых пространств L _p (X, р) и L _p (Y, v) определяется как замыкание в L _p (X xY, р © v) алгебраического тензорного произведения

L p (X, р) © L p (Y, v) =

I ^Ь / i 9 i :

i =1

/ i G L p (X, p),₉ i G L p (Y, v),j G N

Поскольку L _P (X, p) © L _P (Y, v) плотно в L _P (X x Y, p 0 v), то L _P (X, p) 0 L _P (Y, v) совпадает с L _P (X x Y, p 0 v). Топологическое тензорное произведение A 0 B банаховых алгебр A C C (L _P (X, p)) и B C C (L _P (Y, v)) определяется как замыкание в C (L _P (X x Y, p 0 v)) алгебраического тензорного произведения

A © B =

1V R . 0 s . . =1

R i E A , S . E B ,j E N

,

где R . 0 S . — непрерывное продолжение оператора R . © S . , ограниченного в линеале L _P (X, р) © L _P (Y, v), на банахово пространство L _P (X x Y, p 0 v) [7, с. 110].

Идеал компактных в пространстве L _P (S _n ) операторов обозначим TC _P (S _n ). Следующее утверждение доказывается по схеме доказательства леммы 1.1 из [4].

Лемма 2. V P (H _n ) = V _P (R ₊ ,r ²ⁿ⁺¹ ) 0 X _P (S _n ).

Пример 1. Построим интегральный оператор с однородным ядром компактного типа.

Определенная на H _n x H _n функция

К(Х,У)    ||x|2n+2 + ||^|2n+2 ^ (S|NI(x), ^bl^^)) , ^ E L^(Sn x Sn), является однородной степени (—2n — 2) (см. (5)). Проверим для функции к выполнение условий к1 (к), к2(к) < то, (см. (6)-(7)). Рассмотрим функцию к1 (°)” [ —25+2---1 ^С 1+0 1^ (©У), ^N ° E S

H „ INI ^p ' + N^⁽          )

Справедлива оценка

V c E S _n :

^к 1 ^(с) 6 IN|l_m(S„ x S„)

/

H n

dx

NI p ' + | x | ⁽²ⁿ⁺²⁾ ( 7 ⁺¹ )

Интеграл в правой части неравенства сходится в силу утверждения 3 леммы, доказанной в [3], и, следовательно, к1(к) = к. л.<,.  < то.

Аналогично проверяется выполнение условия к ₂ (к) <  то . Таким образом, к E ^ _P (H _n ).

Применяя к функции к отображение Q (см. (13)), получим г, р E R+, S, ст E Sn.

(5 ^(к)( Г, ^p ,S, ^) = ^{р +} _г 2 „ +2 + _p 2 n +2 ^ ^{( S}, °),

Функцию Q(к) представим в виде Q(к) = к0 ^, где ко (г, р) = p2n+1

г 2 п +2 । р 2 п +2 .

Несложно видеть, что функция к ₀ удовлетворяет условию (18), а интеграл

^

^

^а(к 0 ) = [ ^{| к} 0 ^{(1 ,} р) | р ^{p d}P = I , 2 n +2 ¹ , ^5+2 ^dP 0                  0 р ¹ p' + р ~

(см. (19)) сходится и, следовательно, к ₀ G A p (R ₊ , r ²ⁿ⁺¹ ). Таким образом, мы установили, что <(к) G Ср (H), к G С р (H), а оператор вида (11) с ядром к

^{( К к / )( ж )} = У ^ _ж ^ 2 п +2 + ||г/^ 2 п +2 ^ ( $ -Ы1 ^{( ж )} , ⁵1Ы|И ^{/ (} ^) ^d^           ⁽²¹⁾

.

является ограниченным в L _p (H _n ) интегральным оператором с однородным ядром компактного типа.

5.    Символическое исчисление и условие обратимости для Vp (Hn)

Рассмотрим сверточное представление алгебры V + (H _n ). С помощью изометрического изоморфизма м р”⁺¹ : L _p (R ₊ ,r ²ⁿ⁺¹ ) ^ L _p (R) вида

(«рп+1/)(t) = е^' /(е4), t G R и конструкции (15) определим изоморфизм подобия банаховых алгебр

: ^ (L p (R + ,r ²ⁿ⁺¹ )) ^ C (L p (R)).

Замкнутую подалгебру банаховой алгебры C (L _p (R)), порожденную операторами аддитивной свертки

∞

(С с / )(t) = j c(t - т) /(т) dr, с G L 1 (R),

-∞ обозначим Vp(R).

Непосредственными выкладками доказывается, что ограничение й р^п+1 на

Vp(R+,r2n+1) задает изоморфизм upn+1 : Vp(R+,r2n+1) ^VP(R), причем upn+1(Aa) = Сс, где Ла - оператор вида (20), а Сс - оператор свертки с ядром

2 п +2 c(t) = е р а(е ⁴ ,1).

Отметим, что ограничение < (см. (16)) на алгебру Vp(Hn) задает изоморфизм Q : Vp(Hn) ^ Vp(Hn) и рассмотрим оператор upn+1 ® I : Vp(R+, r2n+1) ® /Cp(S„) ^ VP(R) ® ZCp(S„).

Учитывая лемму 2, построим оператор

(upn+1 ® I) Q : Vp(Hn) ^ VP(R) ® )Cp (Sn), порождающий изоморфизм

U p : V j (H n ) ^ (V P (R) ® /C p (S „ )) ⁺ .                        (22)

Изоморфизм U p мы будем называть сверточным представлением алгебры V + (H _n ).

Построим символ для операторов из алгебры (V p (R) ©/C _P (S _n )) ⁺ . Пусть R — компактификация пространства R бесконечно удаленной точкой то ; A — произвольная банахова алгебра, тогда через С (R, A ) обозначим банахову алгебру непрерывных отображений R в A с равномерной топологией. Будем полагать, что

C o (R, A ) = { / 6 С (R, A ) : /( то ) = 0 } .

Известно, что сопоставление оператору свертки С _с 6 V p (R) преобразования Фурье его ядра задает непрерывный мономорфизм ф _р : V p (R) ^ C ₀ (R, C) [9].

Рассмотрим оператор

Фр : VP(R) © )Cp(Sn) ^ Co(R, )Cp(Sn)), определяемый по формуле

(Ф p (1R^R © © ^S»)} (t) = E( ФрГО)т,   t 6 R.

Оператор Ф _р может быть непрерывно продолжен до оператора

Ф р : V p (R) © )C p (S _n) ^ C o (R, /C p (S _n )).

Легко видеть, что алгебра операторнозначных функций

C o ,p (R, )C p (S _n )) = Ф p (V p (R) ®)C p (S _n ))

с нормой

ll^/Н с о ,р ( К ,К р ( S© ) = 11^Ф Р   ^/ llr( L p ( ^R xS _n ))

является банаховой.

Ограничение оператора Ф _р на образ порождает изоморфизм

Ф р : (V p (R) ©/C p (Sj) ⁺ ^ C o+ p (R, /C p (S _n )),                    (23)

который мы будем называть символом для операторов из (V p (R) © /C _p (S _n )) ⁺ .

Лемма 3. Пусть C 6 (V p (R) © /C _P (S _n )) ⁺ . Тогда для того, чтобы оператор C был обратим в алгебре (V p (R) © /C _p (S _n )) ⁺ , необходимо и достаточно, чтобы его символ Ф _p (C) был обратим в алгебре C ⁺ (R, К._р (S _n ))) .

Доказательство. Пусть L(m, C) — банахова алгебра т х т матриц над полем C. Из того, что Ф _р — изоморфизм алгебр, следует, что оператор C обратим в алгебре (V P (R) © /C _p (S „ )) ⁺ тогда и только тогда, когда его символ Ф _р (C) обратим в алгебре C + _P (R, /С _р (S _n )). Обратимость же символа в C + _P (R, /C _P (S _n )) равносильна его обратимости в C + (R, /C _P (S _n )). Данное утверждение выводится из результата И.Б. Симоненко о том, что обратимость матричнозначной функции в аналогичной банаховой алгебре C + _P (IR, L(m, C)) равносильна ее обратимости в C + (HR, L(m, C)) (см. [9, с. 307; 10, с. 46]) и того факта, что индуктивный предел L( to , C) плотно вложен в /C _P (S _n ). Лемма доказана.

Символ для операторов из алгебры V p (H _n ) построим с помощью ее сверточного представления U _p (см. (22)) и символа Ф _р (см. (23)) для операторов из алгебры (V p (R) ® ® C p (S „ )) ^p :

T p = Ф р U p .

Из леммы 3 вытекает следующий критерий обратимости операторов из V _p (H „ ). Теорема 2. Пусть К Е V p (H _n ) . Тогда для того, чтобы оператор К был обратим в алгебре V p (H _n ) , необходимо и достаточно, чтобы его символ T _p (К) был обратим в алгебре С' ₀ ^ь (R, C _p (S _n ))) .

Таким образом, проверка обратимости произвольного оператора К Е V p (H „ ) сводится к проверке обратимости параметризованного R семейства операторов более простого вида.

Пример 2. В алгебре V p (H _n ) рассмотрим оператор

К = XI + Кк, где Кк — оператор (21) из примера 1, X Е C. Воспользуемся конструкцией символического исчисления для алгебры Vp (H^) и вычислим символ оператора К. Тогда

Tp (К )(n) = м^ + e(n)T, где n Е R, Т Е Cp(Sn) — компактный оператор вида

^(Т f ^{)( s )} = У Ц⁵, ^aV (^da

S, с ядром ^ Е L^(Sn x Sn), 0(n) — преобразование Фурье функции

2 n +2 , e ^p _e (2 n +2) t ₊ 1 ^Е ^ 1 ^{(R) .}

Итак, проверка обратимости оператора К = XI + К_к( Е V p (H „ )) сводится к проверке обратимости параметризованного R семейства операторов более простого вида из алгебры с р (S _n ).