Общая трёхмерность задач управления и её конкретизация в задачах управления качеством

Трёхмерность задач управления была показана в [6]; в случае задачи с наличием возмущений постановка задачи следующая. Для учёта возмущений (может быть, стохастических) в модель вводится вектор возмущений А, тогда постановка задачи такова, что объект управления описывается системой дифференциальных уравнений dxi/dt = fi(x1(t),… , u1(t),…, ak(t)) (1) в векторной форме: dХ/dt = F(X(t), U(t), A(t)), где Х – это вектор координат, U – вектор управлений, A – вектор возмущений; fi непрерывно дифференцируемы; при этом имеется функция f0(X(t), U(t), A(t)), и задача управления сводится к минимизации функционала

Ошибка! = min, (1')

либо усреднено по возмущениям I=I( A ), либо при определённых возмущениях A(t)=A*, I=I(A*). При этом эта задача управления (более общая, чем в [2]) также остаётся трёхмерной: (Х ^ ;^Ф(и х А)) ^ ; * 1 . В случае метода пространства состояний задача управления также трёхмерна (см. [3], [4]).

Решение задачи управления при фундаментальной обоснованности трёхмерности пространства состояний системы: 1) параметр качества продукта (подпространство Х); 2)

параметр управления (подпространство Y); 3) экономический параметр (подпространство Z) - соответствует отображению (X ^ ;^ФY) ^ ;^VZ . Отображение φ – это отображение подпространства параметра управления Y в подпространство параметра качества X , отображение ψ – это отображение отображения φ в подпространство экономического параметра. Оптимум управления находится как управление при получении продукта, соответствующего норме качества с заданной вероятностью при минимальных издержках [3].

При этом в окрестности оптимума отображение φ допускает линеаризацию [5].

Ошибка! ,                  (2)

где х – значение параметра качества, у – значение параметра управления (y* – оптимум), а – возмущение, f – функционал от параметров на промежутке управления. При линеаризирующем преобразовании получается

Ошибка! ,        (3)

где l – линейный функционал на промежутке управления. Статистическая фильтрация позволяет устранить влияние стохастических возмущений a*(t) на управление:

Ошибка! .        (4)

При этом в задаче управления, в первом приближении, минимизируется функционал (задаваемый на ограниченном промежутке учёта параметров системы, – промежутке управления):

Ошибка! → min.

При учёте же экономической составляющей процесса производства, минимизация функционала (дополнительных издержек) выполнима относительно произведённого продукта, при уже отфильтрованных (4):

Ошибка! → min, (5), при этом (5) раскладывается в сумму двух составляющих (в окрестности оптимума, с учётом (4)):

Ошибка! → min, где S1 – дополнительные издержки, S2 – упущенная выгода. (Описание конкретных примеров задач см. в [3]).

Постановка задачи управления в вышеприведённых терминах в методе пространства стояний управления качеством такова. Система описывается уравнением

Ошибка! ,        (6)

допускающим вблизи оптимума линеаризирующую аппроксимацию

Ошибка! ,        (4)

при этом минимизируется функционал дополнительных издержек

Ошибка! → min. (5) (Задача трёхмерна (X ← ;^φY) → ;^ψZ ).

То есть в методе пространства состояний, в отличие от классической задачи управления (см. [2], [1]) и её модификации при возмущениях (1–1') [6], система уравнений или уравнение, описывающее объект (6), (4), от- влечено от понятия времени (в уравнение дифференцирование по параметру управления) и функционал (5) отвлечёт от времени (интегрирование в нём по произведённому продукту) – задача не "во" времени, а "над" временем.

Таким образом, прослежена аналогия (трёхмерность) и отличие задачи метода пространства состояний управления качеством от классической задачи управления.