Оценка искажения коэффициента изопериметричности тетраэдра при билипшицевом отображении

Отображение / : R ⁿ ^ R ” называется билипшицевым или квазиизометрическим, если существуют постоянные 0 < I <  L такие, что для любых двух точек х 1 ,х ₂ Е R ” выполнено

/ | Ж 1 - Ж 2 | < | /<Ж 1 ) — /<Ж 2 > | <  L | X 1 — Ж 2 | .

Коэффициентом изопериметричности п-мерного симплекса Т будем называть

^(Т ) =

| дТ 11 ^{- 1} | Т |

Величина а ( Т ) характеризует отклонение произвольного симплекса Т от правильного, поскольку минимальное значение достигается на правильном симплексе. Данный термин был введен В.А. Клячиным в докладе «Задачи анализа на e-сетях» Научной сессии ВолГУ в 2012 г.

Пусть { d tj : 0 <	г <  j <  п	} - совокупность п ( п + 1)/2 переменных. Рассмотрим
квадратную ( п + 2) х	( п + 2)-матрицу (см. [1] или [2])
	/ 01   1   1  ...  1 \
		1    0 d 2i    d 22 ... d 0n
		1 d 21      0     d2_ 2 ... d1 n
	СМ п :=	1 d 22    d 2i 0    ... d 2„ ..     .     ..      .	.
		..     .     .     .     . .                    .                         .                         .                             .. \ 1 d 2n   d1n  d^n   ...   0  /

Многочлен от многих переменных Г _п :— det(CM _n ) G Z , d^ : 0 <  i < j <  n называется определителем Кэли — Менгера. Этот определитель дает формулу для вычисления п- мерного объема симплекса Т в терминах евклидовых расстояний {d^ :— dist(v _i /U j ) : : 0 <  i < j <  n } между рассматриваемыми точками:

₂    ( _— 1) ^{и +1}

^{V —} 2 ⁿ ( _n !) 2 ^r ” ^(d o1 , ^d oo ,''', ^d ( ⁿ- 1) ^{n )}-

В пространстве R ³ объем тетраэдра будет вычисляться по формуле

Следует отметить, что при

V ²

	0	1	1	1	1
1	1	0	2 « 01	d 21	d t)3
1 Л Л	1	2 d 01	0	“h	d 03
144	1	2 “ 00	d 01	0	2 “ 03
	1	2 “ 03	d ?3	2 “ 03	0
n —	3	из	определителя

.

Кэли — Менгера получается

формула Герона — Тарталья (см. [3]), которая является обобщением хорошо известной формулы Герона и позволяет вычислять объем тетраэдра по заданным длинам ребер:

V2 — 144 (d01d23(d02 + d03 + d12 + d13 - d01 - d05)+ d()2d13 (d01 + d03 + d10 + d03 - d()2 - d13) +

+ ^d 0з ^d 12 (^d ()1 + ^{d 2}2 + ^d 13 + ^d 03 ^{- d} <33

-

^d 1o )   ^d 01 ^d 02 ^d 12

-

^d 01 ^d 03 ^d 13

-

^d 01 ^d 03 ^d 23

-

^{- d} 11 ^d 13 ^d 23) .  ⁽²⁾

Теорема 1. Пусть в пространстве заданы тетраэдр Т, у которого длина максимального ребра равна d , минимального - а, площадь наименьшей грани - S , и би-липшицево отображение / : R ³ ^ R ³ с константами у < ^/1+1^ 4 , тогда для коэффициента изопериметричности образа тетраэдра справедлива оценка

'3- О

-

£ 4

£ 3 ⁷

' 4 3d ⁴ \ ^{3 / 4} '4 ~1^ J

-

1+^6^.

’ - ' ⁶ 10d ⁶ £ ⁶ 144V ²

/     £ 4 - ' 4 3d ⁴ \ ^{3 /} 4

£ ^{3   1+} £4  1^ J

“ ⁷ ” ' ^{3 7} /     £ ⁶ - ' ⁶ 10d ⁶

V ¹      T⁶   144V ⁰

-

.

Доказательство. Обозначим через Р сумму слагаемых из формулы (2), перед которыми стоит знак «+», а через Q - сумму слагаемых, перед которыми стоит знак «-», взятых с обратным знаком, то есть

Р — d^d^ + d^ d^ + d^A + d?0id^23 + d^d^ + d^d^ + ^ ^2 ^ 0з ^ 22 + ^{+ d} 22 ^d 23 ^d!3 + ^d 02 ^d 12 ^d 13 ^{+ d} 02 ^d 23 ^d 23 ^{+ d} 03 ^d 22 ^d 13 ^{+ d} 03 ^d 12 ^d 2з ,

и

^{Q — d} o1 ^d oo ^d 12 + ^d 01 ^d 03 ^d 13 + ^d 02 ^d 03 ^d 23 ^{+ d} 12 ^d 13 ^d 23 ^{+ d} 01 ^d 23 ^{+ d} 01 ^d 23 ^{+ d} 02 ^d 13 ^{+ d} 02 ^d 13 ⁺

+ do3d12 + d03d12, тогда формула Герона — Тарталья перепишется в виде:

^V = 12 V ^p - Q.

Объем полученного при квазиизометричном отображении тетраэдра

12 V16Р - L«Q < V‘< 12 VL«P - PQ, или

I - ^{L6 1 6 Q} < Vi < L³V\ /1 + ^{L 6 1 6 Q} .

V l6   144V2 -   - V + L6

Но поскольку Q <  10d ⁶ , где d = max d ^j , 0 <  г < j <  3, тогда

/    L6 -16 10d6                 /    L6 -16 10d6, ,

V       l6   144V2 -   - V + L6 144V2

Воспользуемся оценкой площади из [4], получим, что площадь г-й грани д- ^ м

• ^l21^8ТV^{1 -}^-К⁴13S2 < ^19Г‘! < ^L2^^г|/^{1 +} ^ 13S •        (5)

Применив формулу (1) к (4)–(5), получим (3).