Оценки основной частоты областей на римановых многообразиях и устойчивость минимальных поверхностей

DOI:

Волгоградский государственный университет , просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

1.    Равновесные поверхности и их устойчивость

Пусть R ” ⁺¹ — (п + 1) -мерное евклидово пространство, в котором введен ортонор-мированный базис {e _i } ”=₁ ¹ . Через (,) мы обозначаем скалярное произведение в R ” ⁺¹ . Пусть х±,х ₂ , ...,х _{п +1} — соответствующие выбранному базису декартовы координаты.

Согласованную со скалярным произведением связность в R ” ⁺¹ мы будем обозначать через ∇ .

Пусть М — п -мерное, некомпактное, связное, ориентируемое С ² -многообразие с кусочно-гладким краем дМ (случай дМ = 0 не исключается). Будем рассматривать поверхности М = (М,и) , заданные С ² -погружением и : М ^ R ” ⁺¹ .

Связность ∇ индуцирует соответствующую связность ∇ на поверхности ℳ . Для произвольных С 1 -гладких векторных полей X, Y на М и функции h Е С 1 (М = (М,и)) связность V определяется следующим образом. Рассматриваются произвольные С ¹ продолжения векторных полей X , Y и функции h в некоторую окрестность поверхности ℳ . Тогда

Vh = (Vhf, Vx Y = (Vx Y )T, где (v)T — ортогональная проекция вектора v на касательную плоскость Ти(т)М к поверхности ℳ.

Пусть т Е М ив некоторой окрестности точки и(т) определены гладкие векторные поля X и Y . Билинейная форма

B(X (m),Y (т)) = (V x Y )(и(т)) — (V x Y ) ^T (и(т))

называется второй фундаментальной формой поверхности ℳ [4, т. 2, § 3]. Если {E _i } ”=₁ — ортонормированный базис в касательном пространстве к поверхности М в точке и(т) , то вектор

1         1 Л

Н (т) = — traceB = —     B(E i ,E i )

^{п           п} i=1

называется вектором средней кривизны поверхности М в точке и(т) .

Пусть N _u ( _m ) M — нормальное пространство к поверхности М в точке и(т) . Для произвольного вектора v Е N _и ( _m ) М пусть A^v означает гомоморфизм Вейнгартена [4, гл. VII, § 3], определяемый как линейное преобразование A ^v : Т _и ( _т ) М ^ ^Т и(т) ^М , двойственное к билинейной форме B :

- (X ),Y ) = ),v) = —{Vx v,Y )•                    (1)

Положим

” l|A - 1| ² = £ |A ” (E i )| ² , i=1

где {E _i } ”=₁ — ортонормированный базис в Т _и ( _т ) М .

Пусть Q С R ” ⁺¹ — некоторая область и Q 1 С Q — ее подобласть, такая, что д Q 1 П д Q = М . Предположим, что в R ” ⁺¹ определены неотрицательные С ² -функции а(х) и ф(х) .

Будем рассматривать функционалы, выражаемые интегралами

A(M) = J a(x)dM,  G(M) = J

ф(x)dx,

ℳ

Ω 1

W (M) = A(M) + G(M). (2)

Заметим, что функции a(x) и ф(х) с физической точки зрения являются поверхностной и объемной плотностями сил действующих на элемент жидкости, занимающей объем области Q 1 .

Пусть v — сечение нормального расслоения поверхности M . Продолжим поле v до векторного поля V на некоторую окрестность поверхности M , интегральными кривыми которого служат прямые линии. Обозначим через F _t : R ⁿ +1 ч R ⁿ +1 однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов поля V , а через M t = F _t (M) — соответствующую ей вариацию поверхности M , а через Q 1 (t) = F _t (Q 1 ) — соответствующую вариацию области Q 1 . Рассмотрим функции A(t) = A(M t ), G(t) = G(M _t ). Поверхность назовем экстремальной для функционала W(M) , если производная W ‘ (0) = 0 , для всякого нормального сечения v с компактным носителем на поверхности M . Здесь W (t) = A(t) + G(t) . Кроме этого, если для всех вариаций, порождаемых сечениями V нормального расслоения экстремальной поверхности M , выполнено W ‘‘ (0) > 0 , тогда поверхность будем называть устойчивой .

Отметим монографию Р. Финна [10], посвященную исследованию равновесных капиллярных поверхностей, которые в наших терминах моделируются случаем ф(х) = = const • х ₃ , п = 2 . Устойчивость капиллярных поверхностей вращения в R 3 исследована в работe Х. Уента [12]. Для понимания физического явления неустойчивости можно обратиться также к книге [7], в которой приведены эксперименты и построены соответствующие математические модели различных типов неустойчивостей несжимаемых жидкостей в поле тяготения, заряженных жидкостей в электрическом поле и магнитных жидкостей в магнитных полях. При численном моделировании явлений устойчивости и неустойчивости можно воспользоваться методом конечных элементов, конструируя равновесные поверхности в классе пространственных триангуляций по аналогии с методом, описанным в работе [1].

В [3] было доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Выполнены следующие равенства dW (t) dt

j(V a, v) — an(v, Й) + ф(v, QdM, ℳ d2W (t) dt2

I {( a ( |Vv| ² + (n ² H ² — ||A|| ² ) ) + ((Vф, ^) — nH ф) ) (v, ^) ² —

ℳ

—2(Va, v)nH(v, ^) + Hess a(v, v) } dM, где v — варьирующее нормальное векторное поле; ^ - внешняя по отношению к области Q единичная нормаль к поверхности M; H = (H, ^) — средняя кривизна; ||A|| — длина второй квадратичной формы поверхности M, Hess a(^, •) — гессиан функции α .

Пример. Пусть объем Q 1 С Q С R 3 занимает жидкость, а М — свободная поверхность этой жидкости (то есть поверхность жидкости, не соприкасающаяся с твердым телом). Предположим, что жидкость находится в равновесии в гравитационном поле с потенциалом, равным ф(х) . Если а = const — коэффициент поверхностного натяжения, то полная энергия данной механической системы равна

W o (M) = а

|М| + У ф(x)d

X,

Ω 1

где |ℳ| — площадь поверхности. Хорошо известно, что механическая система находится в равновесии, если вариация ее потенциальной энергии равна нулю. Используя теорему 1, последнее условие можно записать в виде

У (ф — паН )hdM = 0,

ℳ где h = (v, ^). Если мы считаем, что жидкость несжимаема, то последнее соотношение должно быть выполнено не при всех вариациях поверхности ℳ, а только для тех, для которых вариация объема жидкости равна нулю. Как нетрудно видеть (опять же из теоремы 1), последнее имеет место при условии

У hdM = 0,

ℳ если мы считаем, что жидкость однородна и ее плотность р = 1. Используя основную лемму вариационного исчисления и метод множителей Лагранжа при решении задач условного экстремума, приходим к равенству ф — паН = Л = const, или паН = ф + Л.

Таким образом, экстремали функционала Ж ₀ в рассматриваемом примере имеют среднюю кривизну, определяемую с точностью до постоянной потенциалом ф(х) . Из теоремы 1 так же находим условие устойчивого равновесия

У { а ( |Vh| 2 + (п²Н² — р|| 2 ) + ((^ф, ^) — пНф — nHA)h ² )} dM > 0.

ℳ

Это неравенство должно быть выполнено для всех С 1 -функций h(x) : М ^ R таких, что

h(x)| d ^ = 0, У h(x)dM = 0.

ℳ

Используя равенство нулю первой вариации, это неравенство перепишется в виде

У { а ( |Vh| 2 + (^ ф, ^) — ||A|| 2 )h ² )} dM> 0.                   (4)

ℳ

Подчеркнем, что условие (4) не зависит от постоянной λ .

Определение. Поверхность ℳ назовем экстремальной поверхностью для функционала

W 0 (M) , если для некоторой постоянной Л выполнено равенство

Ф — паН = Л = const.

При этом поверхность ℳ называется устойчивой , если неравенство (4) выполнено для любой С 1 -гладкой функции h : М — R и такой, что выполнены равенства (3).

Всюду ниже в статье рассматривается случай функционала W 0 (M) , когда а = 1.

Пусть М = (М.и) — п -мерная поверхность в R ⁿ⁺¹ . Мы введем следующие вели-

чины: У |Vh|2dM              У |Vh|2dM ^а(М) = inf ^----------,  ^(М) = inf -------,            (5) / p||2h2dM                / h2dM м                  м где точная нижняя грань взята по всем липшицевым функциям h(m) : М — R таким, что h(m)ldM = 0.

Замечание. Предположим, что ф( х ) = 1 . Тогда экстремали функционала W 0 (M) суть поверхности постоянной средней кривизны. В этом случае условие устойчивости запишется в виде

J {( |Vh| 2 — ||A|| 2 h 2 )} dM > 0.                            (6)

ℳ

Отсюда следует, что поверхность постоянной средней кривизны устойчива тогда и только тогда, когда ^ _а ( М ) > 1 . Отметим, что для минимальных гиперповерхностей в работе [2] предложен емкостный подход к оценке величины ^ _а ( М ) .

В настоящей статье мы доказываем оценки величин вида (5) в более общем виде на основе полученных оценок условия устойчивости минимальных гиперповерхностей.

2.    Основная оценка

Пусть М — п -мерное, С ² -гладкое риманово многообразие. Через V будем обозначать стандартную связность на М , ассоциированную с римановой метрикой на М . Соответствующее скалярное произведение в касательных пространствах к М будем обозначать через (,) . Для произвольного гладкого векторного поля X на М величина дивергенции определяется по формуле

п divX = ^{Ve,XE ), i=1

где E _i ,i = 1,...,п — ортонормированный базис в касательной плоскости М . Пусть для отображения М х ТМ -ГМ. (х, К) — Ф( х, ^) Е Т _Х М выполнены условия:

(Ф( х, ^), ^) > 0, для всех х Е М, ^ Е Т х М,                    (7)

⁽ ( ^{ф( х}. ^. П)) 2 <  ( ^{ф( х}. Q. ^( ^{ф( х}. п) . п) -                         ⁽⁸⁾

Пусть также имеется функция p(t) Е С ¹ ( R ) , p(t) > 0, p(0) = 0 и неотрицательная функция h(t') Е С 1 ( R ),h(t) > 0,t >  0 и пусть

inf h(t) = q >  0. t e R

Введем в рассмотрение произвольную неотрицательную функцию n(t), удовлетворяющую условию p 2(t)

^(t) >  ⁰ , °^{( t )} = ⁰ ^ ^t = ⁰ , °^{( t )} >  4qpt) .

Теорема 2. Пусть в области D С М с липшицевой границей задана произвольная функция и Е С 2 (D),и(х) >  0. Тогда для всякой функции ^(х) Е Cq(D) имеет место неравенство

J ^(^)( ^ф ( ^х , W) , W> — X_h,c^(D) j pWc ^{( x )} >  ⁰ ,

D

D

где

^div(ф(х, ^ ^{и ))}

.

^^D) = ‘ e ⁿ D--h(u)c(x)

Доказательство. Мы воспользуемся методом, предложенным Ченгом и Яу в их работе [11]. Согласно формуле Гаусса — Остроградского для произвольной функции ^ Е Cq(D') имеем

0 = I div (^tf^)

D

Откуда, вычисляя дивергенцию, получаем равенство

/   ч ^XiWy^l      ^div(ф(х , ^{V u))} _ р (ЖЫ

J ^{p (}^       h(u)       + ^p( ^)      h(u)           h ² (u) ^{{ ф( х} , ^{V u )}, ^{V u} >    ^0.

D

Используя определение величины A _hc (D) , последнее равенство преобразуем в неравенство

0 <-WD) / PWe(x) - / { ^p <^^ (Ф(х,^и)^и>-№) ^{Ф х}—^ I ^{h ( u )                                      h ( u )}

D          D

Прибавляя и отнимая необходимое слагаемое, это неравенство можно привести к следующему:

0 <  J ^)(Ф(х, V^), W> - ^(D) J p(^)c(x) -

D

D

- [ (^{p (} ^ ⁾n^U) (Ф(х, Vu), Vu>- p'(^) Ш^^и)^. + вШФ(х, V^), V^>) . (12)

J I h ² (u)                                       h(u)                                     J

D

Покажем, что в последнем интеграле стоит неотрицательная величина. С этой целью построим две матрицы:

/ (Ф(х, Vu), Vu>   (Ф(х, Vu), V^> \

^D \ {Ф(х, Vu), V^> (Ф(х, W), w> J

и

°  (

рСФЖЫ h' 2 (u) _ Р ‘ ( Ф ) 2h(u)

Р ‘ ( Ф )

2h(u)

^(Ф)

)

Тогда величина под знаком интеграла в (12) представляет собой значение следа tr(DG) произведения этих матриц. В силу условий (7), (8) матрица D является неотрицательно определенной. Для того чтобы показать неотрицательность подынтегрального выражения в (12), достаточно установить, что матрица G также является неотрицательно определенной.

Лемма 1. Пусть матрицы D,G размером 2 х 2 симметричны и неотрицательно определены. Тогда tr(DG) > 0.

Доказательство. Введем обозначения

D =( а ^b V G = ( ^{d е},. У ^b с            e ^f )

Если D = 0 или G = 0 , то утверждение леммы тривиально. Поэтому будем считать, что матрицы ненулевые. В силу их неотрицательной определенности выполнены неравенства:

а > 0, с > 0, ас — b2 > 0, d > 0, f > 0, df — e2 > 0.

Не ограничивая общности, будем считать, что с> 0, d >  0 . Тогда

. b²_f e ²

^а > ~’^! >  7

и, соответственно

ad >  b ² -. fc > e ^{2 C}. c          d

Поэтому

= (^b/ I ^{+ e} f d ) > ^0.

tr(DG) = ad + 2be + fc > b²- + 2be + e ^{2 1} c           d

Лемма доказана.

Для завершения доказательства теоремы нам достаточно показать, что матрица G неотрицательно определена. Для этого в первую очередь заметим, что в силу (10) а(ф) > 0. А также, с учетом (9), detG =

р(ф)а(ф)Ь ‘ (и)

h ²

Р ‘ ^{2 (ф)} >

4h ² (u) ^—

> МФМф^^-^Ф)  п

>         4h²(u)        >  ⁰

в силу условия (10). Таким образом, матрица G неотрицательно определена. Теорема доказана.

В качестве следствия получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть в области D с М с липшицевой границей задана произвольная функция и G С 2 (D),и(х) > 0 . Тогда для всякой функции ф(х) G Cq(D) имеет место неравенство

I |Vф| ² - MD) I ф ² (х)с(х) > 0,

D

D

где

MD)=inf- рА • x e D и(х)с(х)

Отметим, что в [8] аналогичный подход был применен для получения точных оценок основной частоты областей на минимальных поверхностях и поверхностях предписанной средней кривизны.

3.    Устойчивость минимальных поверхностей

Как было указано выше, минимальная поверхность ℳ С R ⁿ⁺¹ является устойчивой, если ее вторая вариация площади неотрицательно определена. Это условие выражается следующим образом

J |Vф| ² -Р||ф > 0,                         (14)

ℳ для всякой функции ф G Cq(^).

Обозначим через ξ — единичное, гладкое поле нормалей к поверхности ℳ . Точку х G М назовем лицевой относительно t , если (х, t) > 0 . Лицевую точку х G М назовем видимой, если отрезок, соединяющий начало координат и точку х , не пересекает поверхность ℳ .

Теорема 4. Любая видимая часть минимальной гиперповерхности является устойчивой.

Доказательство. Для минимальных гиперповерхностей известно [6], что, если t _i = = (t, ер i = 1, •••,п , то в метрике поверхности имеет место уравнение Якоби

A^i = — Р||2+ здесь ei, i = 1, • ••,п +1 — стандартный базис в Rn+1. Также известно, что координатные функции хi = (х, ei) являются гармоническими в метрике поверхности. Тогда будем иметь п+1         п+1

А(х, t) = A £х+ = 2 ^(VXi, V^i) - i=1            i=1

п+1

• -|И| ² £ хА = -||«х, t).

i=1

Действительно, п+1              п+1

Е^х„ vy = £И, vy = i=1                 i=1

п+1

= Е ^{( В ( е Т} , ^{е Т} ), ^Ц > = ^пН = ⁰ , i=1

где (v)^T обозначает ортогональную проекцию вектора на касательную плоскость к поверхности М , а H — ее среднюю кривизну. Теперь утверждение теоремы следует непосредственно из теоремы 3 с c(x) = ||А|| ² и u(x) = (x, Ц> .

Замечание. Известно [9] , что для минимальных поверхностей вращения (катеноида) в R ³ , заданных уравнением

Г~2 i 2       и ^3

\ x1 + x2 = ach—, v                 a симметричный слой вида {—h < x3 < h,h > 0} является устойчивым тогда и только тогда, когда h < a-ho, где h0 — единственный корень уравнения zthz = 1. Это в точности соответствует видимой части катеноида. Таким образом, описанные устойчивые части минимальных поверхностей являются в определенной степени точными.

Рассмотрим теперь случай гиперповерхностей постоянной средней кривизны, то есть поверхности с вектором средней кривизны постоянной длины. Причем, будем считать, что |Н| = 0 . В таком случае видимыми точками будут точки, видимые относительно вектора нормали Ц = H/\H | .

Теорема 5. Видимая часть гиперповерхности ℳ постоянной, ненулевой средней кривизны устойчива.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы покажем, что функция g(x) = = (x, Ц> удовлетворяет дифференциальному неравенству

Ag(x) < — ||A||2g(x), в метрике поверхности ℳ. Воспользуемся леммой 1 из [5]. В этой лемме доказано равенство, которое в наших обозначениях для случая гиперповерхностей примет вид

п div(A(Y)) = ^((В(Е,, Y), Vet + (А(Е,) VeY>) + n^H, Ц>,      (15)

i=1

где Y — произвольное гладкое касательное векторное поле на М , а Е , — ортонормиро-ванный базис в касательной плоскости к поверхности ℳ . Далее имеем для произвольного вектора X

V x Ц = V x (Це > > = (V x Ц,е>> = —(А(Х),е Т > = —(Atf ),X >.

Откуда следует, что Vt , = —А(е ^Т ) . Применим формулу (15). Тогда получаем

п

к=1

Поскольку М — гиперповерхность и Ц — единичный вектор, то V _е , Ц = 0 . Поэтому будем иметь

п

At, = £(А(Е,), Ve, е" >) — u{VctH, Ц> = k=1

n

= -^e i ) £ A(E_k),A(E k ))) - \ , H , ^) = -+,e i )||A|| ² - n(V _e T H , ^).

k=1

Положим X i = {x,e _i ) . Не трудно вычислить градиент и оператор Лапласа этой функции

V x , = е ? , Ax i = n{H, e i ).

На основании вычисленных значений получаем выражение оператора Лапласа для функции g(x) = {x, + n+1        n+1           n+1n+1

Ag(x) = A £ Xi^i = £ Axi ^i + 2 £{Vx,, V^i) + £xiAL,i = i=1          i=1              i=1i=1

n+1                n+1n + 1

= £ nX^, - 2£tf,A(e?)) + £x,(-(t, e,)||A||2 - n{V етИ, t)) = i=1                    i=1i=1

= n{H, ^) - 2n{H, ^) - || A|| ² g(x) - n{V _x H, ^.

Таким образом, окончательно имеем:

Ag(x) = -n{H, ^) - ||A|| ² g(x) - n{V_xH, ^).

Учитывая, что ℳ — поверхность постоянной средней кривизны, получаем такое равенство

Ag(x) = -n{H, ^) - ||A|| ² g(x).

А поскольку ^ = H/|H| , то будем иметь требуемое неравенство

Ag(x) = -n|H| - ||A|| ² g(x) < -||A|| ² g(x).

Теорема доказана.