Один подход к улучшению управления в системах с ограничениями на основе краевой задачи

В работах [1–4] построены специальные методы улучшения допустимых управлений для задач оптимального управления со свободным правым концом (как линейных, так и нелинейных по фазовому состоянию) на основе точных формул приращения функционала с использованием модификации сопряженной системы.

В работе [5] предложены процедуры улучшения допустимых управлений для нелинейных по состоянию задач оптимального управления при наличии дополнительных ограничений на фазовую траекторию терминального типа на основе специальной задачи о неподвижной точке.

В данной статье для нелокального улучшения допустимых управлений для задач с ограничениями предлагается подход, основанный на решении специальной краевой задачи.

• 1    Постановка задачи

Рассматривается задача оптимального управления x = A(x,t)u + b(x,t), t gT = [t0, t1 ], x(t0) = xs, u(t) g U c Rr, t gT, (1) Фо(u) = ф(x(ti)) + JT({d(x,t),u) + g(x,t))dt ^min,    (2)

Ф 1 ( u ) = x ( x ( t 1 ) ) = 0.                               (3)

Используются стандартные обозначения x ( t ) g R ” — состояние, u ( t ) g R^r — управление, t ₀, t ₁ — заданные числа, t ₀< t ₁, x s g R ” — заданный вектор; U c R^r — выпуклый компакт в R^r .

Определим множество (доступные управления)

V = { u g PC ( T ): u ( t ) e U , t e T } .

Для управления v g V обозначим через x ( t , v ), t g T соответствующую ему фазовую траекторию.

Множество допустимых управлений

W = { u g V : x ( x ( t 1 , u ) ) = 0}.

Функция Понтрягина имеет вид

H ( p , x , u , t ) = H 0 ( p , x , t ) + H 1 ( p , x , t ), u ), где

• H 0 < p , x , t ) = ( p , b ( x , t )) - g ( x , t ), H 1 ( p , x , t ) = A ( x , t ) ^T p - d ( x , t ).

Функционал Лагранжа

L ( u , Л ) = Ф ₀( u ) + Я Ф ₁( u ), 1g R .

Нетрудно видеть, что для допустимого управления u

L ( u , Л ) = Ф ₀( u ).

Пусть u ⁰ g V , v g V .

Формула приращения:

A v L ( u ⁰, Л ) = - [ ( H 1 ( p ( t , u ⁰, v , Л ), x ( t , v ), t ), v ( t ) - u °( t )) dt ,    (4)

T где p(t, u0,v, Л), t g T — решение модифицированной сопряженной системы [3].

Пусть u ⁰ g W . Для этого управления поставим задачу: найти управление v g W такое, что

Ф 0 ( v ) -Ф 0 ( u °).

• 2    Подход улучшения

Для фиксированного параметра a >  0 определим вектор-функцию u ^a ( p , x , t ) = P U ( u ⁰( t ) + a H _i( p , x , t ) ) , p e R n , x e R n , a >  0, t e T , где P U — оператор проектирования на множество U .

Имеет место оценка [1]

• j^^ H _i( p , x , t ), u ^a ( p , x , t ) - u ⁰( t )^ dt > — j^| u ^a ( p , x , t ) - u ⁰( t )|| dt .

  
  
  
  

Тогда из (4) и (5) следует оценка приращения функционала

A _vL ( и °, Л ) < - — £ |u ^a ( p , x , t ) - u ⁰( t )| ² dt .

На основе формулы приращения (4) для улучшения допустимого управления u ⁰ предлагается следующий подход.

Рассмотрим краевую задачу улучшения x = A(x,t)ua (p,x,t) + b(x,t), t e T = [10, /1 ], x(10) = xs, p = - Hx ( p, x( t, u °X u 0( t X t )- r ( tX

/H_x ( p , x ( t , u °), u °( t ), t ) , x ( t ) - x ( t , u °)\ + ( r ( t ), x ( t ) - x ( t , u °)) =

'              „        ’           „       \                         (7)

= H ( p , x ( t ), u ( t ), t ) - H ( p , x ( t , u ), u ( t ), t ) ,

p ⁽ t i ) = ф/ ( ^{x (} t i , ^{u 0)} )^- "X x ( ^{x (} t i , ^{u 0)} )^- q ,

^Ф x ( x ( t i , u °) ) + Л/ x ( x ( 1 1 , u °) ) , x ( t i ) - x ( t i , u °)^ + qq , x ( t i ) - x ( 1 1 , u °)^ =

= ф ( x ( t i ) ) - ф ( x ( t i , u °) ) + Л ( % ( x ( t i ) ) - x ( x ( t i , u ⁰) ) ) .

x ( ^{x (} t i ) ) = 0.

Пусть (Л,xx (t), px (t)), t e T — решение задачи (7). Сформируем управление

v ( t ) = u ^a ( p ^x ( t ), x " ( t ), t ), t e T .

Выходное управление v является допустимым и обеспечивает невозрастание функционала Лагранжа

L ( v , Л ) <  L ( u ⁰, Л ).

В силу допустимости управлений u ⁰, v имеем

^A v ^Ф 0^{( u 0)}<  ^- — — J T||^{v (} t ) ^{- u 0(} t f ^dt .

К решению задачи (7) применяется специальный итерационный процесс с индексом к >  0

x^{к + i} ( t ) = A ( x^{k + i} ( t ), t ) u^a ( p ^{+ i} ( t ), x^{k + i} ( t ), t ) + b ( x^{k + i} ( t ), t ), t e T = [ 1 0 , 1 1 ] ,

x(t 0) = xs, pk+i(t) = -Hx (pk+i(t),x(t,u°),u0(t),t)-r(t),

H x ( p k ( t ), x ( t , u °), u °( t ), t ) , x k ( t ) - x ( t , u °)^ + Г( ( t ), x^k ( t ) - x ( t , u °)^ = = H ( p k ( t ), x ( t ), u ⁰ ( t ), t ) - H ( p k ( t ), x ( t , u ⁰), u ⁰ ( t ), t ) ,

p ⁽ t i ) = Ф . ( ^{x (} t i , u ⁰) )^- ^X x ( ^{x (} t i , u ⁰) )^- q ,

(Ф_х ( x ( t i , u °) ) + XX x ( x ( 1 1 , u °) ) , x k ( t i ) - x ( t i , u °)} + qq , x k ( 1 J - x ( 1 1 , u °)} =

= ф ( x k ( t i ) ) - ф ( x ( t i , u ⁰) ) + X ( x ( x k ( t i ) ) - x ( x ( t i , u ⁰) ) ) .

x ( x k ^{+ i}( t i ) ) = 0.

Задается начальное приближение ( x ⁰( t ), p ⁰( t ) ) , t e T .

На k-й итерации процесса (8) находится решение pk+i(t, X), t e T вспомогательной задачи Коши pk+i(t) = -Hx (pk+i(t),x(t,u°),u0(t),t)-r(t),

H_x ( p^k ( t ), x ( t , u °), u °( t ), t ) , x^k ( t ) - x ( t , u °)^ + ^ r ( t ), x^k ( t ) - x ( t , u °)^ =

= H ( p^k ( t ), x ( t ), u ⁰ ( t ), t ) - H ( p^k ( t ), x ( t , u ⁰), u ⁰ ( t ), t ) ,

p ⁽ t i ) = ^-Фх ( ^{x (} t i , ^{u 0}) )^{- X}X x ( ^{x (} t i , u ⁰) )^- q ,

^Ф x ( x ( t i , u °) ) + XX x ( x ( t i , u °) ) , x^k ( t i ) - x ( t i , u °)^ + qq , x^k ( t , ) - x ( t„u °)} = = ф ( x^k ( t i ) ) - ф ( x ( t i , u ⁰) ) + x ( x ( x^k ( t i ) ) - x ( x ( t i , u °) ) ) .

Затем находится решение xk+i (t, X), t e T специальной задачи Коши xk+i (t) = A(xk+i (t), t)u“ (pk+i (t, X),xk+i (t), t) + b(xk+i (t), t), t e T, x(10) = xs.

Значение вспомогательного множителя X e R (множитель Лагранжа) определяется из условия

x ( x^{k + i}( t i , X ) ) = 0.

Формируется управление

v ( t ) = u a ( p^{k + i}( t , X ), x^{k + i}( t , X ), t ), t e T .

Условие окончания итерационного процесса (8)

Ф о ( V ) ^Ф о ( u °) (улучшение управления u ⁰).

В итоге, на основе итерационного процесса (8) формируется метод последовательных улучшений допустимых управлений в исходной задаче (i)-(3).

Пример 1.

• 3    Примеры

x = u , t e T = [ 0, 2 ] , x (0) = 1, | u ( t )| <  1, 2

Ф ₀ ( u ) = j x ² dt ^ min, x (2) = 1.

Рассмотрим u ⁰( t ) = 0, t e T , x ( t , u ⁰) = 1, Ф ₀( u ⁰) = 2. Функция Понтрягина

H = pu - x ², H ₀ = - x ², H 1 = p .

Сопряженная система p = x(t, v) + x(t, u0), p(2) = -X.

Положим a = 1. Тогда отображение ua принимает вид '1, p > 1, ua (p) = /—1, p <—1,

- 1 <  p <  1.

Предположим | p ( t )| <  1, t e T.

Тогда краевая задача улучшения (7) принимает вид x = p , p = x + 1, t e T , x (0) = 1, p (2) = -X .

Итерационный процесс (8) принимает вид x = p , p = x k ( t ) + 1, t e T , x (0) = 1, p (2) = -X .

Для начального приближения возьмем функцию x ⁰ ( t ) ^ 0, t е T . Тогда

,                         ,            ,        ,                  t ²

p ’( t , X ) = t - ( X + 2 ) , x ’( t , X ) = — - ( X + 2 ) t + 1, t e T .

Значение множителя Лагранжа Xe R определяется условием x ’(2, X) = 1, откуда

X = -1.

Тогда p 1( t) = t -1, t e T

(условие | p ¹ ( t )| <  1, t e T выполнено).

Выходное управление v (t) = t -1,

Ф о ( v ) = 15< Ф о ( u °) = 2.

Пример 2. Данный пример иллюстрирует строгое улучшение неоптимального экстремального управления.

5с = u , t e Т = [0, п ] , x (0) = 0, | u ( t )| <  2, t eT, п

Ф _о ( u ) = - j x ² dt ^ min,

о

Ф ₁( u ) = x ( п ) = 0.

Рассмотрим u ⁰( t ) = 0, t e T . При этом x ( t , u ⁰) = 0, t e T , Ф _о( u ⁰) = 0.

В данном случае имеем

H = pu + x ², H ₀ = x ², H 1 = p .

Положим a = 1. Отображение ua u“(Р) = ‘

• 2,    p > 2, - 2, p <- 2, _ Р , \p |< 2.

Краевая задача

:x = ua (p), p = -x - x(t, u0), t e T, x (0) = x (п) = 0.

Предположим |p(t)| < 2, t eT. Тогда итерационный процесс (8) принимает вид x = p, p = -xk (t), t e T, x(0) = 0 , p(п) = -X.

Для начального приближения возьмем функцию x ⁰ ( t ) ^ 1, t e T . Тогда

t

p’(t,X) = -1 + (п -X), x’(t,X) = -—+ (п -X)t, t e T.

Значение множителя Лагранжа Xe R определяется условием x !(п, X) = 0, откуда

X = -

.

Тогда

p’(t) = -t + j, t eT

(условие I p ¹ ( t ) I ≤2, t ∈ T выполнено).

Таким образом, выходное управление v имеет вид

π

v(t)=-t+2,t∈T и строго улучшает исходное

Φ 0 ( v ) =- ₁ π ₂₀ ≈- 2.55< Φ 0 ( u ⁰) = 0.

Заключение

Особенности предлагаемого подхода:

• 1.    Улучшение допустимых управлений без процедуры изменения по малому параметру в окрестности текущего приближения(нелокальность улучшения).

• 2.    Возможность строгого улучшения экстремальных управлений (в частности, особых), удовлетворяющих тем или иным стандартным необходимым условиям оптимальности (принцип максимума, дифференциальный принцип максимума).

Эти особенности обуславливают повышенную эффективность предлагаемого подхода в сравнении со стандартными численными методами оптимального управления (игольчатой линеаризации, условного градиента).