Однородная задача Дирихле-Рикье для неоднородного бигармонического уравнения в шаре

Пусть S = {x е Rn :| x |< 1} - n -мерный единичный шар в евклидовом пространстве Rn с нормой | x |= ^x12 + x2 +-----+ xn , а dS = {x е Rn :| x |= 1} - единичная сфера. В единичном шаре S рас смотрим следующую однородную краевую задачу для неоднородного бигармонического уравнения

Д 2 U = f ( x ), x e S ,

a 00 u + a 01     u + a 02 Д u | э s — 0, t e d S ,

dv

d                d a11 —u + a12Дu + a13 — Дu |dS = 0, t edS, dv             dv где —внешняя нормальная производная, коэффициенты a0 j и a1 j при j = 1,2,3 - действи-dv                                                                  j j тельные и постоянные, а f (x) – некоторый полином. Неоднородная задача (1)–(2) обобщает задачу Дирихле [1–2], но не обобщает задачу Неймана [3–5]. Неоднородная задача (1)–(2) при f = 0 была рассмотрена в [6].

Сформулируем основной результат статьи. Пусть N ₀ = N и {0}.

Теорема 1. Решение задачи (1)–(2) существует, если

f ( x ) =      ^      u m ■) ( x ) p mi ) (| x | 2 ),

m e N g , Д ( m ) ^ 0

i=1, hm где um(i) (x) – однородные гармонические полиномы степени m , hm – число линейно независимых однородных гармонических полиномов степени m , а Pm(i)(t) – некоторые полиномы от t и

Д ( 2 ) = a ₀₀ ( a 1 1 + a ₁₂ n ) + 2(2 a ₀₀ a ₁₂ - a ₀₂ a 11 n + a ₀₁ a ₁₂ n + a ₀₀ a ₁₃ n) Л +

^{+ (2} a 01 ^а 12

2 a 02 an + 2 a 00 a 13 + a 01 a 13 n) ^ + 2 a 01 a 13 ^ .

Доказательство. Обозначим через V [ f ]( x ) объемный потенциал в единичном шаре S с плотностью f ( x ) i.e.,

V [ f ]( x ) =-- J( x , ^ ) f ( ^ ) d ^ ,

®n1S где E(x,^) = (n - 2)-1 I ^ - x |2-n (n > 2) - элементарное решение уравнения Лапласа [7] и ton

площадь единичной сферы в R n . Обозначим V₂[f ] = V[V [ f ]]. Представим решение задачи (1)-

Краткие сообщения

(2) в форме u ( x ) = V₂[f ] + w ( x ). Известно, что A ² V ₂[ f ] = f [7]. Тогда 0 = A ² u ( x ) - f = A ² w ( x ) и поэтому для функции w ( x ) получаем следующую задачу

A ² w ( x ) = 0, x e S ;

a 00 w ⁺ a 01     w ⁺ a 02 ^A w ^| d S = Ф 1⁽ t X t ^{ed S} ,

dv

d . d , I „ a11 —w + a12Aw + a13 —Aw |dS = ф2(t), t e dS, dv              dv где обозначено ф1(t) = (a00 + a01Л + a02A)V2[f] |dS, Ф2 (t) = -(ai 1Л + a12A + a13ЛА)V'If] IdS .

n и Лu = ^ xiux.. Из результатов работы [6] следует следующее условие разрешимости задачи (4)-1=1

(5), полученное В.В. Карачиком.

Теорема 2. Решение задачи (4)-(5) из класса u e C3(S) в случае, когда при некотором m e N 0 имеет место равенство А(m) = 0, существует тогда и только тогда, когда функции ф e C2(dS) и ф2 e C 1(dS) удовлетворяют равенству

L H m ( t ) ( 9 1 ( m ) ф ( t ) + q 2 ( m ф ( t ) ) dt = 0, d S

где H_m ( x ) - произвольный однородный гармонический полином степени m , а вектор является решением системы алгебраических уравнений

( q i ^{( m} ) ) ^V q 2 ( m Y

г

a 00 + a 01 m

an m

( q ^{1 ( m} ) 1= 0.

_v a ₀₀ + ( m + 2) a ₀₁ + (2 n + 4 m ) a ₀₂ ( m + 2) a₁₁ + (2 n + 4 m )( a ₁₂ + ma ₁₃) Д q ₂( m )

Для вычисления функций ф ₁(t ) и ф ₂( t ) из (6) воспользуемся теоремой 13 из [8].

Теорема 3. Пусть полином f (x) записан в виде f (x) =^x |2m u^m)(x), где usm)(x) - одно- m, s родные гармонические полиномы степени s . Тогда для x e S справедливо равенство

V [ f ](x) = 2 ( m, s

I x | ² “ ^{+ 2} u j■ ' ( x )

u S“ ' ( x )

(2 m + 2)(2 m + 2 s + n )  (2 m + 2)(2 s + n - 2)

) .

В соответствии с разложением (3) выберем f (x) = fs, i (x) = us1)(x) P1 )(| x |2), где us1) (x)P(1) (| x |2) - одно из слагаемых в разложении f (x) в сумму (3). Тогда из теоремы 3 вытека- ет, что верно равенство

V2[fs, 1 ] = us1)(x) Qs )(|x|2), где Qs1)(t) - некоторый полином от t. Вычислим функции ф1(t) и ф2(t) из (6) при f (x) = fs, 1 (x). Нетрудно видеть, что в этом случае ф1(t) = -(a00 + a01Л + a02 A)V2 [fs, 1] |dS = csus (tX ф2 (t) = -(a11Л + a12 a + aiзЛA) V2 [ fs, 1 ] |ds = dsus (t), где постоянные cs и ds выражаются через коэффициенты Q^1)(t) и коэффициенты задачи (1)-(2). Подставляя эти функции в левую часть условия (7), получим

A = ( q1(m)Cs + q2(m)ds) f Hm (t)us (t) dt, dS где m e N0 удовлетворяет равенству A(m) = 0. Из условия (3) вытекает, что s ^ m , а значит в силу ортогональности на d S однородных гармонических полиномов разных степеней m us имеем A = 0. Таким образом условия теоремы 2 выполнены. Значит решение задачи (4)-(5), а

Гулящих И.А.                                             Однородная задача Дирихле–Рикье для неоднородного бигармонического уравнения в шаре следовательно и решение задачи (1)–(2) при f (x) = fs,i (x) существуют. Применяя аналогичные рассуждения для всех слагаемых us(i) (x)Ps(i) (| x |2) в разложении f (x) в сумму (3), получаем утверждение теоремы.