Ограниченные решения стационарного уравнения Шредингера с конечным интегралом энергии на модельных многообразиях

DOI:

Данная работа посвящена получению условий, при которых на модельных римановых многообразиях существуют нетривиальные ограниченные решения стационарного уравнения Шредингера

Au — c(x)u = 0                                (1)

с конечным интегралом энергии

I |V u | 2 + c(x)u²dx.

M

Здесь M — некомпактное модельное риманово многообразие; c(x) — гладкая неотрицательная на M функция.

Истоки данной тематики восходят к классификационной теории римановых поверхностей. Из теоремы об униформизации следует, что всякая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из следующих модельных поверхностей:

• •    сфере (поверхность эллиптического типа);

• •    плоскости Лобачевского (поверхность гиперболического типа);

• •    комплексной плоскости (поверхность параболического типа).

Определение эллиптичности типа достаточно просто и заключается в установлении компактности. Значительно большую сложность вызывает задача определения парабо-личности и гиперболичности типа. Известно, что на всякой поверхности параболического типа любая положительная супергармоническая функция является постоянной. В свою очередь, на поверхности гиперболического типа существуют нетривиальные положительные супергармонические функции. Данное свойство поверхностей параболического типа послужило основой для распространения понятия параболичности на римановы многообразия размерности больше двух. А именно, говорят, что многообразие имеет параболический тип, если на нем всякая положительная супергармоническая функция является тождественной постоянной.

Одним из первых результатов в определении параболичности типа римановых многообразий является теорема С.Я. Ченга и С.Т. Яу [7], которая утверждает, что если на многообразии объем геодезического шара растет не быстрее R² при R > то , то многообразие имеет параболический тип. При этом отметим, что существуют римановы многообразия параболического типа с произвольным ростом объема геодезического шара.

Высокую эффективность в классификационной теории некомпактных римановых многообразий показала емкостная техника (см., например, [5; 8; 10]). В частности, в работе [3] А.А. Григорьян доказал, что параболичность типа эквивалентна тому, что вариационная емкость всякого (некоторого) компакта равна нулю. Общее представление о современных исследованиях в данном вопросе можно получить в [8].

Очевидно, что классификационная теория римановых многообразий имеет прямое отношение к теоремам типа Лиувилля. Считающаяся классической формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая функция в Rⁿ является тождественной постоянной.

В настоящее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть А — некоторый функциональный класс и L — эллиптический оператор на много- образии М. Говорят, что на М выполнено (Л, L) — лиувиллево свойство, если всякое решение уравнения Lu = 0 из класса Л тривиально.

Ряд работ был посвящен исследованию решений эллиптических уравнений на многообразиях с концами (см.: [6; 10; 11; 13]). Приведем определение многообразия с концами. Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие. Говорят, что открытое множество Е С М является концом, если оно связано, неограничено и его граница дЕ — компакт. Говорят, что М является многообразием с конечным числом концов, если оно представимо в виде объединения компактного множества и конечного числа непересекающихся концов.

В подавляющем большинстве работ разделяют концы параболического и гиперболического типа. Гиперболичность типа конца Е эквивалентна существованию нетривиальной гармонической функции и на Е такой, что 0 <  и <  1 и и 1 эв = 0. Такую функцию и принято называть емкостным потенциалом Е .

Приведем некоторые примеры теорем типа Лиувилля на многообразиях с концами. В [11] доказано, что размерность пространства ограниченных гармонических функций на таких многообразиях не меньше числа концов гиперболического типа, а размерность конуса положительных гармонических функций не меньше числа концов. Позднее в [13] данный результат был несколько уточнен.

Очевидно, что ограничение на структуру многообразий с концами является достаточно жестким. Развивая емкостный подход, А.А. Григорьян в работах [1; 2] ввел понятие массивного множества. Остановимся на этом понятии более подробно.

Пусть М — гладкое связное риманово многообразие, Q — открытое собственное подмножество М . Множество Q называется массивным [2], если на М существует нетривиальная субгармоническая функция 0 <  и <  1, удовлетворяющая условию и = 0, x £ М \ Q. Если при этом функция и имеет конечный интеграл Дирихле (энергии), то есть J lV u l² dx <  то , то Q называют D-массивным.

м

С помощью понятия массивных множеств А.А. Григорьян в работе [2] получил оценку размерности пространств ограниченных гармонических функций. А именно, было доказано, что на многообразии М размерность пространства ограниченных гармонических функций (с конечным интегралом Дирихле) не менее т >  2 тогда и только тогда, когда в М найдется т попарно непересекающихся массивных (D-массивных) подмножеств.

Ряд работ был посвящен изучению асимптотического поведения решений стационарного уравнения Шредингера (1). В частности, по аналогии с массивными (D-массивными) множествами было введено понятие с-массивного (cD-массивного) множества. В [4;12] было показано, что на многообразии М размерность пространства ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера (с конечным интегралом Дирихле) не менее т >  1 тогда и только тогда, когда в М найдется т попарно непересекающихся с-массивных (cD-массивных) подмножеств.

При исследовании свойств решений стационарного уравнения Шредингера в работах [4; 9] применялась функция Лиувилля многообразия. Приведем определение функции Лиувилля, данное в работе [4]. Пусть { B _k } £ = — гладкое исчерпание М , h _k — последовательность решений краевых задач

Г Ah k - c(x)h k = 0, x £ B k ,

[         ^hk ¹ ЭВ _к = ¹

Данная последовательность является монотонно убывающей и ограниченной снизу. Функ- цией Лиувилля многообразия М называют предел lim hk = h. Пусть В — предкомпакт-к^^

ное открытое множество. Без ограничения общности будем считать, что для любого к выполнено В С В _к . Предельную функцию и последовательности решений краевых задач

Au k - с(х)и к = 0,

• <       Uk 1 эв = 1,

• .      Uk 1 дв _к = 1

в В _к \ В будем называть функцией Лиувилля внешности компакта, или функцией Лиувилля конца.

Очевидно, что в случае уравнения Лапласа функция Лиувилля является тождественной постоянной и, соответственно, имеет конечный интеграл энергии. Однако для уравнения Шредингера (1) вопрос сходимости интеграла энергии функции Лиувилля на произвольных римановых многообразиях оставался открытым. В данной работе приведены примеры, которые показывают, что существуют многообразия, на которых функция Лиувилля имеет конечный интеграл энергии, и также приведены примеры многообразий, на которых она имеет бесконечный интеграл энергии.

Стоит отметить, что свойства массивных и с-массивных множеств (см. [2; 12]) аналогичны. Сформулируем их: пусть Q С Q 2 — открытые собственные подмножества М . Справедливы следующие свойства:

• •    массивные (с-массивные) множества не предкомпактны;

• •    если Q ₁ — массивно (с-массивно), то и Q 2 — массивно (с-массивно);

• •    если Q 2 \ Q ₁ — компакт и Q 2 массивно (с-массивно), тогда Q ₁ так же массивно (с-массивно).

А.А. Григорьяном в работе [8] доказано, что внешность компакта является массивным множеством тогда и только тогда, когда она является D-массивным множеством. В данной работе получены условия, при которых из с-массивности конца следует его D-массивность.

В работе А.Г. Лосева и Е.А. Мазепы [6] исследованы решения стационарного уравнения Шредингера (1) на модельных римановых многообразиях. Приведем некоторый частный случай данных результатов.

Пусть М — полное риманово многообразие, представимое в виде объединения М = В U D, где В — некоторый компакт, а D изометрично прямому произведению (r0, +^) х S, где S — компактное риманово многообразие с метрикой ds2 = dr2 + g2(r)d02.

Здесь g(r) — положительная, гладкая на (r ₀ ;+ ro ) функция, а d 0 ² — метрика на S. Описанные многообразия называют модельными или сферически симметричными, примерами таких многообразий являются евклидово пространство (g(r) = r), пространство Лобачевского (g(r) = sh r) и др. Пусть с(г, 0 ) = с(г) и r₀ = const > 0,n = dimM.

Введем обозначения:

∞

J = / g ^{1 -} " (t)

г о

f

Iс(z)gn-1(z)dz гго

dt,

∞

I = / g ^{1 -n} (t) (J^-Wz )} dt + J, г о                    ⁰

∞

К = У g^tjdt.

Т о

Несложно показать, что в области D выполнено в точности одно из условий:

• а ) I <  то ;

• в ) I = то , J <  то ;

• Y ) К = то ;

• 5 )    J = то , К <  то .

Известно следующее утверждение.

Теорема. [6] Возможны следующие случаи.

• •    Если на D выполнено условие а ) , то для любых непрерывных на S функций Ф( 0 ) и Ф( 0 ) существует решение уравнения (1) на D такое, что

• и(т0, 0) = Ф(0), lim и(т, 0) = Ф(0).

Т ^^

• •    Если конец D имеет тип в ) , тогда для любой непрерывной на S функции Ф( 0 ) и любой константы С на D существует ограниченное решение и(т, 0 ) уравнения (1) такое, что

• и(т0, 0) = Ф(0), lim и(т, 0) = С. Т^^

• •    Если область D имеет тип у и удовлетворяет условию

∞

R = У c(t)g^n-1(t)dt = то ,

То или имеет тип 5, то для любой непрерывной на S функции Ф(0) существует ограниченное решение и(т, 0) уравнения (1) такое, что и(т0, 0) = Ф(0), lim и(т, 0) = 0. Т^^

В данной работе показано, что на модельных концах существуют примеры функций Лиувилля как с конечным интегралом энергии, так и с расходящимся.

1.    Функция Лиувилля на модельных концах

Пусть D = (0; +то) х S, где S — компактное риманово многообразие. Метрика на D имеет вид ds2 = dr2 + g2(T)d02.

Здесь д(т) — положительная, гладкая на (0, + то ) функция, а d 0 ² — метрика на S. Рассмотрим решения стационарного уравнения Шредингера

^и — с(т)и = 0

на D. Пусть т ₀ = const > 0,n = dim D.

Лемма 1. Если на произвольном римановом многообразии М выполнено j c(x)dx < то, м то функция Лиувилля имеет конечный интеграл энергии.

Доказательство. Пусть {Bk} — гладкое исчерпание М и hk решений краевых задач последовательность

Г Ah k - c(x)h k = 0, x G B k ,

1         ^h k Ык = i.

В силу принципа Дирихле (см. [12]) имеем

/

B k

\V h k | ² + c(x)h

² I^х <  j^.

B k

И следовательно,

^B k

|V h _k | ² + c(x)h k dx <  I c(x)dx <  j c(x)dx B k          м

< то .

Переходя к пределу при к ^ то получаем нужное. Лемма доказана.

Пусть М — произвольное риманово многообразие, fi С М — открытое множество и К — компакт в fi. Пару (Ki fi) будем называть конденсатором и определять емкость

конденсатора как

cap(K, fi) =

inf фG L ( K, Q)

J Q

(|V ф | ² + c(x) ф ²) dx,

где L(K, fi) — множество локально липшицевых функций ф на М с компактным носителем в fi, таких, что 0 <  ф <  1 и ф \ к = 1. Пусть { fi _k } k =1 — исчерпание М . Емкость компакта К будем определять следующим образом:

cap(K) := lim cap(K, fi _k ).                              (2)

k ^^

С помощью принципа Дирихле [12] получаем, что точная нижняя грань в определении емкости достигается на следующей функции и, которая является решением задачи Дирихле в fi \ К :

Au — c(x)u = 0,

<       ^и \ дК = ¹,

,      ^u| d Q = 0.

И как следствие,

cap(K, fi) = I (|Vu|2 + c(x)u2) Q\K dx.

Такую функцию u будем называть внутренним потенциалом конденсатора (K, fi).

Используя формулу Грина

I Vи '2d x = в

-

I uAudx +

/

в         дв

получаем

П \ К

ди . u—d ^ , дп

ди

(c(x)u 2 — uAu) dx +       и—d p .

дК и дП

Учитывая, что Au — c(x)u = 0, u | a _K = 1 и u | a _n = 0, имеем

ди cap( K, fi) =      d p .

дп дк

Лемма 2. Если на М внешность компакта В является с -массивным множеством, то на fi = М \ В существует нетривиальное ограниченное решение уравнения (1) с конечным интегралом энергии

I |V u | ² + c(x)u 2 dx <  to.

Ω

Доказательство. Пусть fi — массивное множество. { В k } k =1 — гладкое исчерпание М . Пусть s _k — решение следующих задач Дирихле в В _к П fi

As _k — c(x)s _k = 0, x Е В _к П fi, * ^sk I a n = 1,

. ^sk | dB _fc = 0.

Начиная с некоторого номера к, функции s _k будут внутренними потенциалами конденсаторов (В,В _k ). Следовательно,

сар(В, В к )

= У ( |V s k | ² + c(x)s k ) dx = У ^дПd p . в _к \ в                         дв

Последовательность s _k является возрастающей и сходящейся к предельной функции s _n . Учитывая равномерную ограниченность данной последовательности, получаем ее компактность в классе С ^{2 ,а} (В). Следовательно, все производные s _k сходятся равномерно к производным s _n . Значит,

^д^и сар(В) =       d p .

дп an

Применяя лемму Фату, имеем следующее:

У |V s _Q | ² + c(x) м

s n dx <  lim k ^^

У |V s k I ² + c(x)

s k dx = lim cap(В,В _k ) = сар(В). k ^^

Следовательно, s _n имеет конечный интеграл Дирихле и является нетривиальным ограниченным решением уравнения (1) на М \ В. Лемма доказана.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения.

• 1)    Если на D выполнено одно из условий:

• р ) R <  то ;

• n ) R = то , К = то ;

^) J = то, К < то, то функция Лиувилля конца D имеет конечный интеграл энергии.

• 2)    Если в области D выполнено одно из условий:

• ш ) R = то , I <  то ;

• р ) R = то , I = то , J <  то ,

то функция Лиувилля конца D имеет расходящийся интеграл энергии.

Доказательство. 1) р ) Пусть R <  то . Так как в рассматриваемом случае с(ж) = c(r), D = (0, то ) х S и якобиан равен g^n-1(r), то в силу леммы 1 получаем сходимость интеграла энергии функции Лиувилля конца D.

Рассмотрим одновременно случаи n ) и £ ). В этих случаях для функции Лиувилля h(r, 0 ) конца D выполнено lim h(r, 0 ) = 0.

r ^^

Пусть { r _n } , r _n > r ₀ — возрастающая числовая последовательность, такая, что r _n ^ + то при п ^ то . И s _n решение следующей задачи Дирихле в (r ₀ ,r _n ) х S ,

As _n - c(r)s n = 0,

• <    s _n (r o , 0 ) = 1, , s „ (r „ , 0 ) = 0.

Данная последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, существует предел lim s _n (r, 0 ) = s(r, 0 ). Напомним, что h(r, 0 ) является предельной п ^^

функцией для последовательности функций { h _n } , таких, что

Ah n - c(r)^ n = 0,

• <      h n (r o , 0 ) = 1,

S n (r n , 0 ) = 1.

В силу принципа сравнения получаем, что h _n (r, 0 ) >  s _n (r, 0 ) и, следовательно, h(r, 0 ) > >  s(r, 0 ) >  0.

Так как lim h(r, 0 ) = 0, то lim s(r, 0 ) = 0. Рассмотрим функцию и = h — s, для r ^^             r ^^

нее выполнено Au — с(х)и = 0, u(r ₀ , 0 ) = 0, lim u(r, 0 ) = 0. С помощью принципа r ^^

максимума получаем, что и = 0 и, как следствие, s = h. С помощью леммы 2 получаем сходимость интеграла энергии от функции s и сходимость интеграла энергии функции h.

• 2)    Рассмотрим одновременно случаи ш ) и р ). При таких условиях в работе А.Г Лосева и Е.А. Мазепы [6] доказано, что на D существует h(r, 0 ), такое, что h(r ₀ , 0 ) = 1 и lim h(r, 0 ) = 1. Пусть { w _k } — ортонормированный базис в L² (S) из собственных r ^^

функций оператора A ₀ , а Л _к — соответствующие собственные числа. Представим h(r, 0 ) рядом Фурье по собственным функциям оператора A ₀ . Для любого r имеем

∞

h(r, 0) = ^ vk(r)wk(0), k=0

где

V k (r) = I h(r, Q )w _k (0)d 0 ,

A 0 w k ( 0 ) + Л к W k ( 0 ) = 0.

s

Также в работе [6] доказано, что v _k удовлетворяет дифференциальному уравнению

^Л k . 2(r)

+ c(r)j V k (r) = 0,

Vk‘(r) + (п - 1)^p)Vk(r) -g(r)ig а v0(r) удовлетворяет следующему уравнению

(Г\

J c(f)g^n-1(t> o (t)dt + v 0 (r o )g ^{n- 1} (r o ) J .

го/

Пусть {rn} — числовая последовательность, такая, что rn ^ +то при п ^ то. Функция h(r, 0) является предельной для функциональной последовательности {hn(r, 0)}, такой, что Ahn — c(r)hn = 0, hn(r0, 0) = 1, hn(rk, 0) = 1. Заметим, что hn представимо в виде ∞ hn(r , 0) = ^ < (r)wk (0), k=0 где v”(r) = j hn(r, 0)wk(0)d0.

s

Учитывая, что константа является собственной функцией, то v ” (r) = 0 при всех к >  1. Как следствие, получаем

h(r, 0 ) = V o (r)w o .

Рассмотрим интеграл энергии функции h

Е(D,h)= j \V h \ 2 D

+ c(r)h²dx.

Так как D = (0, то ) x S и якобиан равен gⁿ 1 (r), то

∞

^Е(D,h) = / ^dr / ( ^{( v} 0 ^{( r ))} 2 ^W 0 г о S

+ c(r)v 2 (r)w 2 ) g ” 1 (r)d 0 =

∞

= J (H ^{( r ))} 2 + ^{c ( r ) v} 2 ^{( r )})

Г 0

∞ g”-1(r)dr > j c(r')v02(r)gn-1(r)dr.

Учитывая, что существует lim v(r) = 1, то E r * > 0, такая, что V r >  r * выполнено

Г ^^

v(r) >  2 . Следовательно,

∞

Г *

∞

j c(r)v 2 (r)gⁿ 1 (r)dr >  j c(r)v 2 (r)gⁿ 1 (r)dr + | j c(r)gⁿ 1 (r)dr.

г о

г о

Г *

Последний интеграл расходится по предложение теоремы, получаем расходимость интеграла энергии от К.

Теорема доказана.

Теорема 2. На произвольном римановом многообразии М из сходимости интеграла энергии от функции Лиувилля внешности компакта (функция Лиувилля конца) следует сходимость интеграла энергии функции Лиувилля.

Доказательство. Пусть В — компакт, и { В _к } — гладкое исчерпание М , без ограничения общности. Можем считать, что В С В _к для любого к. Пусть и _к — решения следующих задач Дирихле в В_к \ В

Аи к — c(x)u k = 0,

< и_к 1 дВ = 1, . ик 1 дВ _к = 1.

И К _к — решения следующих задач Дирихле в В _к

Г АК к - c(x)К k = 0, [ ^К к \ дВ _к = 1.

Для функций Кк и ик выполнены следующие оценки ик |дВ = 1 > Кк |дВ,     ик 18Вк = Кк 18Вк •

Следовательно, с помощью принципа сравнения мы получаем, что и _к >  К _к в В _к \ В .

Для даль не йших рассуждений нам понадобится формула Грина. Для любых функций и, в Е С ² (В ) справедливо равенство

У V u V y + uAvdx =

В

/

дВ

дв . u—d ^ .

д v

Рассмотрим интеграл энергии функций и _к .

В(В _к \ В,и _к )= У |V u_k | ² + c(x)u k dx = j с(х^и _к — и _к Аи _к dx + У

дик _ ик^~ d^.

d v

В к \ в

В к \ В

д(В к \ В)

Так как функция и _к является решением уравнения (1) в В _к \ В, то

/дик             дик икdvd^ >      Кк"Vd^ =    ^Кк^ик + КкАикdx =

д ( В к \ В )                д ( В к \ В )                В к \ в

= У ^ К к ^ и к + К к с(х)и к dx.

В к \ В

Учитывая, что АК _к = с(х)К _к , получаем

/

В к \ В

^ К _к ^ и _к + К _к с(х)и _к dx = У

^ К _к ^ и _к + и _к АК _к dx =

В к \ В

9h _k               dh _k

^W_dv“ ^ “      ^ ^k IV “ ^ =

Э(в _к \ B)                9(B _k \ B)

J lW | ² + h k ^h k dx в _к \ b

I lW | ² + c(x)h k dx = D(B k \ B,h k ).

B k \ B

На основании полученной оценки мы заключаем, что если D(M, и) <  то , то D(M, К) <  то .