Операторы дробного интегрирования и дифференцирования переменного порядка в пространствах Гельдера H (X, T)

В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного порядка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменяться от точки к точке. Типичным примером такого пространства является обобщенное пространство Лебега с переменным показателем, определяемое модуляром f^ | f (x) | ^p(x) dx.

Другим примером является обобщенное пространство Гельдера H ^л(р переменного порядка, определяемое условием ш(f,t,x) 6 ct ^A(x) , x G R n , где локальный модуль непрерывности ш(f,t,x) функции f равен sup |h|<_t | f(x + h) — f (x) | . Известны и более общие пространства, а именно, пространства функций, удовлетворяющих условию w(f, t, x) 6 cw(t, x), где мажоранта w(t, x) — функция типа модуля непрерывности (см. [8, с. 50]) по переменной t (для каждого x G [a, b]). Такие пространства носят название обобщенных пространств Г¨ельдера с переменной характеристикой . В случае, когда характеристика ш(t,x) = t ^A(x) , получаем пространство H ^л(^ .

Мы рассматриваем оператор дробного интегрирования la+f (x) =

x

r[a(x)] /

a

f (tW

(x — t) ^1-a(x)

(1.1)

и оператор дробного дифференцирования

Da9 f (x) =fx a+ Л ’   Г[1 — a(x)](x — a)a(x)

x

+     ^a(x)      Г ^{f (x) — f(t)} dt

Г[1 — a(x)] J (x — t) ^1+a(x)

a

(1.2)

(c) 2010 Вакулов Б. Г., Кочуров Е. С.

на обобщенных пространствах Гельдера H ^⁽^ ([a, b]) с характеристикой ш = ш(t, x), 0 < t < b — а, зависящей от точки x G [a, b] C R . Основная цель — исследовать зависимость отображений, осуществляемых операторами 1 ^ +) и D^ ) , от локальных значений а(х) и ш(t,x). Мы рассматриваем функции ш(t,x), принадлежащие классу Зигмунда — Бари — Стечкина по t равномерно по x. Центральным результатом здесь является получение теорем о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования, определенных на том или ином пространстве Г¨ельдера, в пространство подобной природы. Для этого мы используем метод оценок типа Зигмунда. В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек x G [a, b] .

Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка a(x) = а = const в пространствах переменной г¨ельдеровости рассматривались ранее в работах Н. К. Ка-рапетянца и А. И. Гинзбург [7, 9]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом.

Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной г¨ельдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [11], С. Г. Самко [12].

Многомерные потенциалы и гиперсингулярные интегралы в пространствах переменной и обобщенной переменной г¨ельдеровости рассматривались в работах Б. Г. Вакуло-ва [2–5, 14], Н. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [6].

Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и соответствующих гиперсингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе Н. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакуло-ва [6], где рассматривались пространства функций, определенных на однородных пространствах.

Рассматриваемые в настоящей работе объекты — операторы дробного интегрирования и дифференцирования — имеют, в сравнении с операторами типа потенциала и гиперсингулярными интегралами, одностороннюю природу (переменный предел интегрирования), что приводит к некоторой специфике исследования и получаемых результатов.

• 2.    Вспомогательные утверждения

Всюду ниже предполагается, что ш(t,x) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждого x G [a, b]. Тогда, как известно,

ШМ 6 2, t>h.                    (2.1)

th

В наших основных результатах мы предполагаем также, что ш(t, x) равномерно по x, не зануляется вне начала координат:

inf w(t, x) >  0,    5 >  0.

(2.2)

x6[a,b], t€(5,b-a)

Определение 2.1. Через H ^{ш (}' ) ([a, b]) обозначим пространство функций f G C ([a, b]) таких, что ш(f, t, x) 6 cш(t,x) для всех x G [a, b], где c >  0 не зависит от x и t. Это пространство банахово относительно нормы

ш(f,t,x) ш(t, x)

^{k f k} H “t) ([ a,b ]) = k f k C ([ a,b ]) ^{+ SU}P xG [ a,b ] t> 0

Дробное интегриродифференцирование переменного порядка в пространствах H^ ^{( t,x )} 5 Через Hq^ ) ([a, b]) обозначим подпространство функций из H ^ ⁽^ ([a, b]), обращающихся в нуль в точке a.

Лемма 2.1. Пусть w(t, х) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х Е [a, b] и wq := inf x _e [ _a,b ] w(b - a, х) > 0 . Оператор умножения на функцию g Е Lip([a, b]) ограничен в H ^ш() ([a, b]) и HQ^'^a, b]).

C Достаточно проверить, что существует постоянная c >  0 такая, что h 6 cw(h,x). Это вытекает из (2.1) при выборе t = b — a, так что c = ²⁽ ^ - 0 ^a) . B

Определение 2.2 [10]. Говорят, что w(t,x) принадлежит по переменной t обобщенному классу Зигмунда — Бари — Стечкина ФвО где 0 6 5(х) < в(х), х Е [a, b], если:

• 1)    w(t, х) непрерывна и почти возрастает по t на [0, b — a] равномерно по х Е [a, b] и lim w(t, х) = 0 для каждого х Е [a, b];

t^ +Q

h

• 2)    R⁽h^x) ^ dt 6 cw(h,x);

Q b-a

• 3)    R ⁽ h yto 4tx ) dt 6 cw(h,x), h

где 0 < h < b — a, постоянная c не зависит от h и х Е [a, b]. Через Ф ⁶⁽^ мы также обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а через Ф в () — класс с условиями 1 и 3, так что $ в (-) = Ф ⁶⁽⁾ П Ф в () .

Подобные классы Ф в в случае функций w = w(t) и показателей в , 5, не зависящих от параметра х, были представлены в статье Бари — Стечкина [1] с 5 = 0, в = 1, 2, 3,... Классы Ф в с постоянными 0 6 5 < в были рассмотрены в [13], а их подробное исследование можно найти в [10].

Всюду в дальнейшем предполагаем, что зависящие от x параметры β и δ, определя- , 6(8

ющие класс Фв(), удовлетворяют условиям в, 5 Е C([a, b]),    min [в(х) — 5(х)] > 0.                         (2.3)

xG [ a,b ]

Заметим, что последнее условие гарантирует непустоту класса ФвО

Нам понадобятся следующие очевидные факты.

Лемма 2.2. Пусть supxG[a,b] а(х) < 1 и функция w(t, х) неотрицательна. Если w(t, х) почти возрастает по t равномерно по x, то b-a

Г(хМь,х) 6 ch [ ^х) dt, 0

• 4    ’ 7           I     t2-a(x) ’                      2

h а если ш(1,х) почти убывает по t равномерно по х, то

h h-a

• 4    ’ 7 I t1+a(x) ’                             ’

Q для всех х Е [a, b], где c не зависит от h и х.

Заметим, что в случае, когда w(t, х) = t^x(x), 0 < infxe[a,b] а(х) 6 а(х) 6 sup_xG[_a,b] а(х) < inf_xG[_a,b] А(х) 6 А(х) 6 1 для всех х Е [a, b], интеграл в правой части неравенства (2.5) сходится абсолютно. В противном случае он может как сходиться условно, так и расходиться. Но в любом случае неравенство (2.5) остается верным.

Лемма 2.3. Пусть ш(t,x) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждого x Е [a, b]. Тогда для всех А > 0, x G [a, b] справедливо неравенство

w(Xt, x) 6 (А + 1)w(t, x).

(2.6)

C Утверждение леммы доказывается аналогично соответствующему результату для случая, когда функция ш = ^(t) не зависит от x (см., например, [8, с. 51]). B

Мы воспользуемся ниже числовыми неравенствами

|x^M- У^д| 6 Mix - y| • [min{x, y}]^^-1, x> 0, y > 0, д 6 1;            (2.7)

|x^M- У^д| 6 Mix - y| • [max{x,y}]^^-1, x> 0, y > 0, д > 0.           (2.8)

Неравенства (2.7) и (2.8) общеизвестны, мы сошлемся на [6], где такие неравенства были доказаны для случая, когда µ может принимать комплексные значения (с заменой ^ на Re^ в показателях степеней в правых частях), см. [6, (2.24)].

Далее все получаемые константы будем обозначать одним и тем же символом c.

• 3.    Основные результаты

В теоремах 3.1 и 3.2 мы даем оценки типа Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными соответственно.

Всюду ниже мы предполагаем, что а Е Lip([a, b]), 0 < inf a(x) 6 sup a(x) < 1.(3.1)

■x a-b            xe[a,b]

В силу леммы 2.1 и условий (3.1), при рассмотрении оператора (1.1) оценку типа Зигмунда достаточно получить для интеграла xx-a f    f (t) dt        f f (x - t) dt

• ■   := J (x - «i-w = J --^'

a0

Мы используем обозначения

^_a(t, x) := t^a(x^w(t, x), w_-a(t, x) := t^-a(x^w(t, x).

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (3.1). Если f Е H^ )([a, b]), то для функции ϕ справедлива следующая оценка типа Зигмунда b-a nx + h) - ^(x)|6 ch у y(2t-xytkfkH^, h> 0,              (3.3)

h где c не зависит от x, h и f .

C В силу (2.2), оценку (3.3) достаточно доказать при малых h. Будем считать, что 0 < h < min (2, b2a). Имеем |^(x + h) - ^(x)| 6 |I11 + |I2| + |1з|, где x-a

• I1    = У [f (x - t) - f (x)] • [(t + h)^a(x+h)^-1- t^a(x)^-1] dt, 0

Г f (x - t) - f (x)                 Г (x + h - a)^a(x+h)    (x - a)^a(x)

• I²    = j (t + h)i-a(x+h)^dt, I³=^f(x) [ a(x+h          a(xr"

  -h

Для I1 получаем

I Ill 6 / ^(t,x)|(t + h)^a<^x+h>^-1

- t^a(x)-1|dt kf кн^ 6 (K1 + K2)kf |H,

K1

x-a j w(t, x) | (t + h)a(x+h)-1 - (t + h)a(x)-1 | dt, 0

K2

x-a

= 1         ⁺h)*'-¹-      ^|dt.

Оценим K1. Имеем

K1 6 c

x-a

/w(t + h, x)

t + h

(t + h)^a(x+h)- (t + h)^a(x)| dt

6c

x+h-a

W^(t,^x)t_a(x)

h

ta(x+h)-a(x)

— 1 dt.

В случае, когда x + h — a 6 1, к разности в подынтегральном выражении применим неравенство (2.7). А при x + h — a > 1 разобьем промежуток интегрирования на два: от h до 1 и от 1 до x + h — a. К первому из полученных интегралов применим формулу (2.7), а ко второму — формулу (2.8). Будем иметь

b-a                  b-a

/w(t,x) dt     , Г w(t,x) dt

6 ch t2-a(x+h)        J   t2-a(x)

hh

Рассмотрим теперь K2:

< aa(x) / ^^(th,^{x) dt} K^{2 6}h (+ + 1)1-a(x)

1                 +^

+ h^a(x)Гw^th.x^dt + h^a^x Г ^(th,x) I(t + 1)^a(x)-1 j    t^1-a(^x)                /               I

— t^a(x)-1|dt.

В силу неравенства (2.6), первое и второе слагаемые нетрудно оценить величиной ch^a(x)^(h,x). Для третьего же слагаемого, учитывая (2.6) и (2.7), имеем

h^a(x)

+^

j .(tMllt ₊ !^)a(-^)-1-^ta(x)-11^dt 1

+^                   +^

6 h^a(x)Г ^^x^dt 6 h^a(x)^(h,x) [ ^{(t + 1) dt} 6 ch^a(x)^(h,x).

I     t2-a(x)                  ^{V 7} I t2-a(x)                  ⁴     '

Поэтому, применяя неравенство (2.4), получаем

b-a

/ш(t, x) dt , t2-a(x)

h

Итак, мы оценили слагаемое I1. Оценка для I2 очевидна. Действительно, h                                                    b-a

|I2| 6 “У _tl-„d,*₊h) kfкн- 6 ch^Mh^HfkH- 6 ch У “t-xfdtkf kH-. 0                                                         h

Для 1з имеем: |1з| 6 c (K3 + K4 + Ks)kf ||н-, где

Кз = “(x - a, x) | (x + h - a)^a(x+h)- (x - a)^a(x+h)| ,

K4 = “(x - a, x) | (x - a)^a(x+h)- (x - a^x | ,

K₅= “(x - a, x)(x - a)^a(x)|a(x + h) - a(x)|.

Получить оценки для слагаемых К 4 и К5 легко, если следовать схеме работы [9]. При оценке К3 отдельно рассмотрим случаи x - a 6 h и x - a > h. Для x - a 6 h, учитывая неравенства (2.8) и (2.4), имеем c“(h, x)h

(x + h - a)^1-a(^x+^h)

Кз 6 c“(h, x) ^x + h - a)^a(x+h)- (x - a)^^ | 6

c“(h, x)h^a(x+h) (1 + x-a^^1-a(x+h)

b-a

6 c“(h,x)K>_M 6 ch f “(y,x) dy.

^{V 7}               J    y^2-a(x)

h

Пусть теперь x - a > h. Тогда, применяя неравенство (2.7), получаем

Кз 6 c“(x

-

a,x)(x - a)^a(x+h)

[(1+

h

a

a(x+h)

-

c“(x - a, x)h (x - a)1-a(x+h b-a

6 ch“(x - a,x) j x-a

y^a(x⁺h')^-a(x) Ду

Нетрудно видеть, что величина уa(x+h) a(x) под знаком интеграла ограничена. Поэтому b-a                  b-a f “(y,x)dy       Г “(y,x)dy

K3 6 ch J -2-0x5- 6 ch J -2—0x5- x-a                  h

Таким образом, мы оценили слагаемое I3. Собирая оценки для I₁, I₂и I3, приходим к неравенству (3.3). B

Как и выше, в силу леммы 2.1 и условий (3.1), при рассмотрении оператора дробного дифференцирования достаточно получить оценку Зигмунда для множителя

(3.4)

g^(x) ‘   (x - a)^a(x)

во внеинтегральном выражении из (1.2) и для интеграла xx-a

6(x) := / f -f(«> dt = / ftxl-ftx-^) dt.(35)

J (x - t)1+a(x)        J        t1+a(x)v 7

a0

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (3.1). Если f Е Hq^ ) ([a, b]), то для функций g(x) и 6(x) справедливы следующие оценки

h

|g⁽x + h) ^—g^(x)|6 cj ^tox) ^dtkfkH"’                      ⁽3.⁶⁾

h

|»(x + h) - »(x)| 6 cУ [^ +           dtkf кн-.           (3.7)

где c не зависит от x, h и f .

C Проводится аналогично доказательству теоремы 3.1. Мы также считаем, что 0 < h < min Q, bE^a). Тогда при оценке g(x) получаем |g(x + h) — g(x)| 6 |Ai| + |A2I, где

A₁= [f (x + h) — f (x)] (x + h — a) ^a(x+h).

A₂ = £f (x) — f (a)^] • £(x + h — a)^-a(x+h)— (x — a)^-a(x)].

А для функции 0(x) имеем |0(x + h) — 0(x)| 6 |Аз| + |A4| + |A51, где x-a

A3 = У [f (x) — f (x — t)] • [(t + h)-1-a(x+h) — t-1-a(x)]

_A = ⁰[f(x + h) — f(x — t)]_d A = Zaf(x + h) — f(x)]

• 4 J     (t + h)1+a(x+h)      ’     5 J   (t + h)1+a(x+h)

  -h0

Слагаемые Ai— A5 оцениваются согласно схеме доказательства теоремы 3.1. Мы опускаем детали доказательства. B

Оценки (3.3), (3.6) и (3.7) позволяют нам получить следующие теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщенной переменной гельдеровости.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (3.1), функция w(t.x) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого x Е [a. b] и w(t. x) Е Ф_1-а(_х). Тогда оператор I^a++) ограниченно действует из пространства Hq^ ) ([a. b]) в пространство Hy^{a (}) ([a. b]).

C Пусть f Е НО^*")([a. b]). В обозначениях (3.2) имеем la^^ )f (x) = r^axc)] • Из леммы 2.1 следует, что оценку достаточно получить для функции ^(x). В силу оценки (3.3), имеем b-a

/^(t. x) dt t2-a(x) kf кн- •

h

Тогда по определению класса Ф1_-а(_х) :

|^(x + h) — y(x)| 6 ch^a(x)^(h,x)kf кн-.

Равенство же ^(a) = 0 сразу следует из оценки

|^(x)| 6 cw(x — a. x)(x — a)^a(x)kf кн- • >

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия (3.1), функция ^О^ является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого x Е [a, b], w(t, x) Е Фа(х) и w(h,x + h) 6 c^(h,x), h> 0,                         (3.8)

где c не зависит от x и h. Тогда оператор Da + ограниченно действует из пространства H,f)([a, b]) в пространство H0 ^a )([a, b]).

C Доказательство теоремы 3.4 получается также, как и для теоремы 3.3, при помощи оценок (3.6), (3.7) из теоремы 3.2 и неравенства (3.8). B

Замечание. Теорема 3.4 доказывается при дополнительном условии (3.8), которое позволяет говорить о действии оператора дробного дифференцирования из пространства с характеристикой w(t, x) в пространство с естественным образом записываемой характеристикой ^ОХ) ■ Можно опустить условие (3.8), но тогда нужно будет говорить о действии в пространство с модифицированной характеристикой w_-a(t,x) = supy_:|y_-x|<_tш_-a(t,y), как это сделано в [6] в случае пространственных гиперсингулярных интегралов (неодносторонней природы). Заметим, что характеристики w_-a(t, x) и ш_-а(t,x) эквивалентны при условии (3.8): w_-a(t,x) 6 w_-a(t, x) 6 2cw_-a(t, x), где c — постоянная из (3.8).