Описание электромагнитного поля в плоском конденсаторе при высокочастотном нагреве длинномерных диэлектриков

Введение . Высокочастотный (ВЧ) диэлектрический нагрев используется во множестве технологических процессов различных отраслей промышленности. Основные требования, предъявляемые к ВЧ нагревательным установкам, заключаются в обеспечении достаточной интенсивности и равномерности нагрева. Соблюдение данных требований зависит от правильного выбора частоты и мощности ВЧ-генератора. На этапе проектирования, чтобы определить оптимальные параметры генератора, часто прибегают к математическому моделированию процесса нагрева с использованием дифференциального уравнения теплопроводности Фурье с внутренними источниками теплоты [1-4]

дТ _ ~ ср — = V(X VT) + Q, (1) от где с - теплоемкость, Дж/(кг°С); р - плотность, кг/м3; т - время, с; X - теплопроводность, Вт/(м-°С); T - температура, °С; Q - удельная мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3.

Вопрос об обеспечении равномерного нагрева наиболее существенен для процессов термической обработки длинномерных диэлектриков, например для ВЧ-сушки пиломатериалов. В этом случае точность моделирования сильно зависит от правильного задания закона распределения удельной мощности Q , пропорциональной квадрату напряженности электрического поля [1]. Как будет показано ниже, известные способы описания волнового характера распределения электромагнитного поля имеют ограничения и подходят только для приближенных расчётов.

Цель работы . Поиск более точного способа описания электромагнитного поля в процессах ВЧ-нагрева длинномерных диэлектриков.

Задачи : получить более точную математическую модель волнового распределения напряженности электрического поля и проверить её адекватность.

ВЧ-сушка пиломатериалов проводится в конвективно-диэлектрических и вакуумнодиэлектрических камерах, которые снабжаются генераторами, работающими на частотах 5,28 или 13,56 МГц, и предназначаются для сушки штабелей древесины длиной до 6,5 м [5]. В то же время длина волны вдоль волокон сосновых досок при температуре 20оС и влажности 10 % на частоте 13,56 МГц составляет 14 м [6], т.е. она всего в 2,15 раза больше длины материала. Поэтому ВЧ сушильные камеры являются ярким примером объектов с распределёнными параметрами.

Рис. 1. Принцип установки для высокочастотного нагрева: 1 – электроды; 2 – материал; 3 – высокочастотный генератор

В отмеченных камерах электроды образуют со штабелем плоскопараллельный конденсатор, причём его длина Lz обычно в 5–6 раз превосходит остальные габариты Lx и Ly. Система координат приведена на рисунке 1. Описание электромагнитного поля осуществляется с помощью уравнений Максвелла, которые после ряда преобразований сводятся к волновым уравнениям Фредгольма для векторов напряженности электрического E и магнитного H полей [4]. Ввиду малости высоты и ширины штабеля по сравнению с длиной волны изменениями векторов E и H вдоль осей oy и ox пренебрегаем. Тогда уравнения Фредгольма могут быть упрощены до одноразмерной фор- мы:

^{∂ 2 E x} - k ² E = 0 , ∂ z ^{2        x}

∂2H ∂z2y-k2Hy=0, где – k волновой коэффициент, 1/м; k(z)=j⋅2π⋅ f 4 ε0μ0ε(1 - j ⋅ tgδ)

= α+j ⋅ β ,

где μ – магнитная постоянные, Гн/м; α – коэффициент затухания, 1/м; β – коэффициент фазы, 1/м.

Аналитическое решение уравнения (2) приведено в [7] для среды с постоянными свойствами и допущением об отсутствии затухания волн (α= 0). После ряда преобразований оно записывается в виде

E x ( z ) = E max cos(β(L z - z )) , (4) где E – максимальное значение напряженности электрического поля (В/м), наблюдаемое на крае электродов, противоположном точке подключения генератора.

Такое упрощенное описание не может быть использовано при моделировании процессов диэлектрического нагрева по ряду причин. Во-первых, многие материалы, в том числе и влажная древесина, обладают существенным коэффициентом α, и дополнительным источником неравномерности нагрева является затухание электромагнитных волн. Во-вторых, диэлектрические свойства многих материалов зависят от температуры, а в случае древесины – ещё и от влажности. Поэтому в процессе сушки волновой коэффициент оказывается непостоянным как в пространстве, так и во времени.

В зарубежной литературе можно найти способ описания волнового характера распределения поля при неоднородном коэффициенте распространения, который используется при моделировании микроволнового нагрева. Согласно [8], исследуемый объект разбивают на участки. В пределах каждого из них диэлектрические свойства усредняются, и определяется волновой коэффициент k . Для i-го участка распределение напряженности электрического поля находят по закону

E ( z ) = A ( e -^j-k ■ ■ z ■ + R_ii+1e - ^j‘⁽ k ■ • z ' - ^{2 k} ' ^{i A} ) ) ; (5)

i• A

Формулы для вычисления коэффициентов A и R приведены в указанном источнике. В работе [9] данный способ был применен для вычисления поля в конденсаторе при высокочастотной сушке древесины. Ниже произведён сравнительный анализ результатов и сделаны выводы об ограничениях его использования.

Также в литературе, например [3, 10], встречается способ, заключающийся в непосред- ственном численном решении волнового уравнения (2), которое с учетом неоднородности диэлектрических свойств записывается в виде dE - k 2( z) Ex = 0. dz

Решение может быть легко получено методом конечных разностей, однако основной вопрос возникает при выборе граничных условий. В [10] при моделировании процесса СВЧ- нагрева на конце загрузки со стороны излучателя ставится следующее уравнение:

^EP = k (0) (Ex(0) - 2 • E )• (7)

где E – амплитуда падающей волны. Вычис- ления показывают, что достаточная сходимость с экспериментальными данными обеспечивается при замене в (7) параметра 2 • Eo на E^ и использовании на свободном конце условия симметрии. Таким образом, авторами данной статьи предлагаются следующие граничные условия:

в точке подключения генератора

^0- = k(0)(Ex(0)- E_m );  (8)

на свободном краю электродов dEx(Lz) = 0.            (9)

dz

Сравним кривые распределения напряжен- ности электрического поля, полученные по формуле (4), способом [8] и путём численного решения системы (6), (8), (9). Также сопоставим результаты расчётов с экспериментальными данными, приведёнными в [11]. Здесь изучалась зависимость напряжения на электродах от расстояния до точки подключения на частотах 1,76; 5,28 и 13,56 МГц при длине конденсатора 8 м. В эксперименте конденсатор был заполнен сосновым пиломатериалом («сухая» плотность 400 кг/м3) в комнатно-сухом состоянии (влажность 8–12 %). С учётом зависимости [12] диэлектрических свойств от плотности древесины и частоты поля, а также с учётом поправки плотности на влажность [13] принимаем их равными: z = 2,2, tg^ = 0,25. Теоретические и практические кривые имеют разные размерности. Однако напряжение на электродах в конкретной точке пропорционально напряженности E в материале в этой же точке, поэтому для удобства анализа представим результаты в безразмерной форме. Для этого разделим соответствующую функцию распределения на её максимальное значение

E •( z»= ' U '* z) = ■ max (|E_X (z )|) max (U (z))

В этом случае величину E можно задать произвольно. Результаты показаны на рисунке 2.

На частоте 1,76 МГц (рис. 2, а) отношение длин конденсатора и волны составляет 0,07. Формула (4) и система (6), (8), (9) достаточно точно предсказывают распределение напряженности электрического поля. Кривая E2, полученная способом [8], демонстрирует максимальную напряженность в точке подключения генератора, чего не наблюдается на практике. Тем не менее данный способ может быть использован при зеркальном отображении результатов расчёта (кривая E2`). Аналогичные выводы можно сделать и для частоты 5,28 МГц (L/λ = 0,2), причем наиболее точно повторяет эксперимент кривая E3 (рис. 2, б).

При частоте генератора 13,56 МГц длина волны больше конденсатора всего в 2 раза. Здесь начинает проявляться затухание электромагнитных колебаний. На рисунке 2, в видно, что уровни напряженности в точке подключения и на противоположном краю одинаковы, если в расчёте пренебречь коэффициентом α (кривая E1). В то же время практика показывает снижение напряженности на противоположном краю конденсатора почти на 25 % (кривая U). На данной частоте результаты решения системы (6),

(8), (9) (кривая E3) также максимально приближены к экспериментальным. Вычисления способом [8] неудовлетворительны вне зависимости от направления отображения кривой E2, поэтому он может быть использован только при малых соотношениях L/λ.

в

Рис. 2. Кривые распределения напряженности электрического поля и напряжения на электродах: а - результат расчёта по формуле (4); б - результат расчёта способом [8]; в - зеркально отображенная кривая б; г - результат решения системы (6), (8), (9); д - экспериментальная кривая по данным [10]

Выводы. Предложен способ описания волнового распределения напряженности электрического поля на основе дифференциального уравнения Гельмгольца, дополненного авторскими граничными условиями.

Полученный способ рекомендуется использовать для моделирования высокочастотного нагрева длинномерных материалов с однородными и неоднородными переменными свойствами.

Полученный способ достаточно адекватно описывает распределение электромагнитного поля даже при больших величинах отношения длины конденсатора к длине волны.