Оптимальное управление антикоррупционными ресурсами

1.    Постановка задачи и формализация модели

В работе формализуется модель многоагентного взаимодействия коррупционных структур, составляющих множество S = { 5 1 ,..., s m } , с группами по борьбе с коррупцией (иначе антикоррупционных подразделений), составляющих множество H = { h 1 ,..., h n } . Коррупционные структуры желают реализовать коррупционную стратегию, например с целью преступного присвоения бюджетных средств. Антикоррупционные подразделения стремятся реализовать антикоррупционную стратегию противодействия. Предполагается, что каждая группа по борьбе с коррупцией h_j может реализовывать свою антикоррупционную деятельность только в отношении одной коррупционной структуры s_i , а каждая коррупционная структура может работать только с одной группой по борьбе с коррупцией. В работе решается задача опти- © Малафеев О.А., Алферов Г.В., Рединских Н.Д., 2014

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 14-06-00326.

мального использования антикоррупционных подразделений для случая компромиссного решения, выбранного в качестве принципа оптимальности. Рассмотрим игру в нормальной форме Г = Il , X , { H i } m + n^ , где I = {1,2,3,..., m + n} - множество игроков, X – множество всех ситуаций в игре, H i : X ^ R 1 - функция выигрыша игрока i . Формально назначение антикоррупционных подразделений для каждой коррупционной группы можно представить подстановкой p_k

(множество которых обозначим P ) вида:

^ 1    2 ... m^Л

, где первая строка неиз-

I h k h ... h n )

менна и соответствует номерам коррупционных групп из S , а вторая – группам по борьбе с коррупцией из H . Количество таких подстановок |P| = n! Ситуацией в игре будем считать подстановку. Таким образом, | X| = |P| = n! Каждое антикоррупционное подразделение оценивает свое назначение некоторым положительным числом. Назовем это число полезностью для данного антикоррупционного подразделения от полученного назначения.

Будем считать, что полезность антикоррупционного подразделения тем выше, чем больше бюджетных средств экономит антикоррупционное подразделение в результате проведения антикоррупционных мероприятий относительно назначенной ей группы.

Выпишем полезности для коррупционных структур из множеств S и для антикоррупционных подразделений H в матрицы А и В , которые назовем матрицами полезности. Матрицы а = а mхn     \   ihk J и        В п х m =( P^),(l = 1,..., m, k = 1,... n)

(индекс l соответствует номерам коррупционных групп из множества S , индекс k соответствует номерам антикоррупционных подразделений из множества H ) имеют вид:

' « 1 h     « 1 h 2

«"'«

«« у mhmh

« 1 h n "I        ^{4 e}n

« 2 h n     B = ^P h 2 1

« ml n J       У ^P h. 1

Ph 2   ...  Phm Л eh 22   ... eh 2 m

...

e h. 2    ... e hm J

Функции полезности (выигрыша) коррупционных структур и антикоррупционных подразделений зададим на множестве подстановок P следующим образом:

^H 1⁽ P k ) = « 1 h , , ^H 2⁽ P k ) = « 2 h i ,-,

H m ( P k ) = « mh n , H m _{+ 1} ( P k ) = в , 1 , Hm^P k ) = в. 2 ,...,

H m + n ( P k ) = P h n m , k = 1,2,..., П !

Сформируем матрицу выигрышей

W n _{! х}( _m + n ) (строки соответствуют подстановкам, образующим множество ситуаций X , столбцы – номерам игроков из множества I ):

	' H 1 ( P 1 )	H 2 ( p 1 )   .	.    Hm + n ( P 1 ) '
W =	... H 1 ( P k )	... H 2 ( p k ) .	... .   H m + n ( P k )
	... У H 1 ( P „ , )	... H 2 ( p n ! )   .	... .   H m + n ( P „ , ) J

В качестве принципа оптимальности для антикоррупционных структур выбрано компромиссное решение.

2.    Численный пример

Положим m = n = 3 , S = {s1,s2,s3}, H = {h1,h2,h3}.

I = {1,2,3,4,5,6} - множество игроков, причем игроки с номерами 1,2,3 соответствуют игрокам s ₁ , s ₂ , s ₃ из множества S , а игроки 4,5,6 соответствуют игрокам h ₁, h ₂, h ₃ из множества H . Матрицы полезности А и В игроков из множеств S и H соответственно:

	4 76 22 94 Л		4 94 71 17 '
A =	33 41 86	В =	30 32 18
	у 45 13 54 x		у 59 85 38 х

Множество ситуаций в игре P = { P 1 ,...,P ₆}:

• _    4 12 3 Л J 12 3 ^ J 123

• ^{P 1}   У h h 2   h 3 J ’ ^{P 2}   У h 2 h 1   h 3 J ’ ^{P 3}   У h h 2

4 12 3 Л   4 12  3 Л   4 123

• P4    = I                 I,P 5 =11,              I,P 6 = IГ

I h 3 h   h 2 J       I h h 3    h 2 J       I h 2 h 3    h J

Функции выигрыша игроков от подстановки p ₁ :

^H 1⁽ P 1 ) = « 1 h 1 = ^76,

H 2⁽ P 1 ) = « 2 h ₂ = ^41,

H 3⁽ P 1 ) = « 3 h ₃ = ^54,

H 4 ( P 1 ) = e h _l1 = 94,

H 5 ( P 1 ) = P h 2 2 = 32,

H 6 ( P 1 ) = P h 3 3 = 38,

Функции выигрыша игроков от подстановок p ₂ , p ₃ , p ₄ , p ₅ и p ₆ зададим аналогично. Тогда матрица выигрышей W будет следующей:

	4 76	41	54	94	32	38 Л
	22	33	54	30	71	38
W =	94	41	45	59	32	17
	94	33	13	94	71	18
	76	86	13	94	85	18
	У 22	86	45	30	85	17 >

Компромиссным решением в данной модели является:

. .     4 12  3 Л

C H = { P 5 } , P 5 = | .    ,    , | , ^H 3 ⁽ P 5 ) = 13.

У h h 3 h 2 J