Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования
Автор: Баграмян Тигран Эммануилович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.14, 2012 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматривается задача оптимального восстановления гармонической в единичном шаре функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования. Информация о значении оператора задается в виде функции, отличающейся от точного значения в средне квадратичной метрике не более чем на фиксированную величину погрешности, либо в виде конечного набора коэффициентов Фурье, вычисленных с фиксированной погрешностью в средне квадратичной или равномерной метрике.
Оптимальное восстановление, гармоническая функция, пространство харди, компьютерная томография.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318368
IDR: 14318368
Текст научной статьи Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования
В общем случае задача оптимального восстановления состоит в наилучшем приближении значения линейного оператора на некотором множестве по информации, являющейся значениями другого линейного оператора (называемого информационным), заданными с погрешностью в той или иной метрике (см. [1–3]). Во множестве случаев задачи оптимального восстановления операторов сводятся к задачам линейного программирования, впервые появившимся и получившим мощное развитие в работах Л. В. Канторовича, в которых были разработаны эффективные методы решения и анализа таких задач. В случае с задачами оптимального восстановления, соответствующие им задачи линейного программирования удается решить явно из-за небольшого числа присутствующих в них ограничений. В конкретных задачах восстановления в качестве информационного оператора обычно рассматривают линейные функционалы или операторы, сопоставляющие функции ее значения в точках, ее коэффициенты Фурье или просто саму функцию. Подобные задачи рассматривались во многих работах, начиная с [4]. Упомянем лишь некоторые из недавно опубликованных работ на эту тему — [5–8]. В настоящей работе рассматривается оператор, ставящий в соответствие функции множество ее интегралов, взятых вдоль радиусов единичного шара в R d . Такого рода операторы применяются для моделирования различных томографических процессов и подробно изучаются в теории компьютерной томографии [9]. В теории оптимального восстановления информационные операторы томографического типа рассматривались ранее в [2, пример 3.2].
Рассмотрим пространство h^ гармонических в шаре Bd = {x G Rd : |x| < 1}, d > 2, функций, для которых конечна норма kf kh2 = sup kf (r^)kL2(sd-1), 06r<1
S d-1 = { x g R d : | x | = 1 } .
Следуя [10], будем называть h 2 пространством Харди гармонических функций. Известно представление функций из h 2 в виде разложения в ряд по ортонормированной системе сферических гармоник:
га N ( l,d) , х
f (x) = E Ef^i 1 Y ll A , l=0 k=1 ^| x|/
где
N(l’d) = (2±^7-R+1-5}1' 1 > !' N(°'d) = L l!(d — 2)!
Рассмотрим оператор радиального интегрирования K , определенный равенством
Kf (Z ) = fr(rZ ) dr, Z G S d - 1 . (2)
Предположим, что для любой функции f G Bh 2 = {f G h 2 : k f k h 2 6 1 } значение Kf известно с некоторой погрешностью, т. е. дана функция g G L 2 ( S d - 1 ) такая, что WKf — g k L 2 (S d-1 ) 6 5. Зная функцию g , мы хотим наилучшим образом восстановить функцию f . Воспользуемся тем, что h 2 непрерывно вложено в L 2 ( B d ) и будем искать приближение в этом пространстве. Рассмотрим всевозможные методы восстановления — произвольные отображения m: L 2 ( S d — 1 ) ^ L 2 ( B d ) . Для каждого m определим величину, называемую погрешностью метода
e(Bh 2 'K'5,m)= SUp WmS) — f k L 2 (B d ) .
f EBh 2 , kKf — g kL2(Sd-1) 6^
Оптимальным назовем метод, который имеет наименьшую погрешность, т. е. тот, на котором достигается погрешность оптимального восстановления
E(Bh 2 ,K,d)= inf e(Bh 2 'K'6,m). (3)
m: L.^' d ■/.,(Bd)
Теорема 1. Положим
(х 0 'У 0 ) = (0' О),
. i 2 ' 2i + d — 2 )' i = 1' 2 •••'
y s+1 — y s -? y s X s +1 — y s +1 X s
1 = ----------' ^2 = ---------------- xs+1 — xs xs+1 — xs где число s > 0 таково, что xs <5 2 6 xs+1. Тогда погрешность оптимального восста- новления равна
/---- ----
E(Bh 2 'K'5) = VA 1 + А 2 5 2 .
Методы
^ N ( l,d )
m a (g)(x) =ЕЕ a kl (l + 1)g kl | x | l Y kl l=0 k=1
x
| x | ,
где gkl — коэффициенты разложения функции g в ряд Фурье по ортонормированной системе Ykl gki = У g(Z)Yl(Z) dZ'
Sd-1
b2 . у A1A2(l + 1) /-у 2l + d~ akl = ----~ ~+ ekl^~----~---~\ A1(2l + d) + A2 , x2 - 1,(7)
A i (l + 1)2 + A 2 A i (l + 1)2 + A2V (l + 1)2
€ ki — произвольные числа из отрезка [ — 1; 1], которые являются оптимальными.
<1 С экстремальной задачей (3) тесно связана двойственная к ней задача kfkL2(Bd) ^ maX- f £ Bh2- kKf kL2(Sd-i) 6 5(8)
Эта связь подробно изучена и описана в [3] и других работах тех же авторов. Нам же потребуется следующее утверждение:
E(Bh 2 ,K,5') > sup k f k L 2 (B d ) .
f EBh ^ , kKf k L2(Sd-1) 6^
Действительно, если функция f допустима в (8), то функция - f также является допустимой. Поэтому верна цепочка неравенств
SUP HS) - f k L 2 (B d ) > SUP llm (0) - f k L 2 (B d )
f EBh2, f EBh2, kKf—gkL2(Sd-1) 6^ kKf kL2(Sd-1) 6^
llm (0) - f k L 2 (B d ) + k - m(0) - f W L 2 (B d )
> SUP ---------------------4--------------------- > SUP Wf WL2 (Bd )• f EBh2, 2 f EBh2, kKf kL2(Sd-1) 6^ kKf kL2(Sd-1) 6^
Таким образом, погрешность оптимального восстановления ограничена снизу значением двойственной задачи. Решив ее, получим явное выражение для этой оценки.
Из (1) следует
^ N (l,d)„
Kf(Z) = E E Tf+rYkl(Z)• l=0 k=1 1
Используя (1), (2), (9) и равенство Парсеваля, получим следующие формулы:
^ N(l,d)
WfWL2(Bd) = E E ^- l=0 k=1
^ N (l,d)
WfWh2 = E E fk^2- l=0 k=1
^ N (l,d) |2
WKf
«
1
,
Введем обозначение
N ( l,d )
bl = E ifkii2- k=1
Тогда задача (8) может быть переписана в виде
∞ ∞∞
XXX 2T++d ^ max- XXX b l 6 *• XXX (i+ l i) 2 6 52- b l > 0 (10)
(для удобства мы рассматриваем квадраты функционала и ограничений). Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
L(b,Ai , A2) = —Ai - A252 + XX l=0
b l
(l +1) 2
A i (l + 1) 2 + A 2 —
(l + 1) 2
2l + d ,
b — (b o ,b i ,...).
Множество точек { (x i , y i ) : i > 0 } , определенное в (4), лежит на графике функции y = 2 ^ x + d - 2 , которая является вогнутой при x > 0 . Отсюда следует, что все это множество лежит под прямой, соединяющей соседние точки (x i ,y i ) и (x i+1 ,y i+1 ) (см. рис. 1). Прямая, соединяющая точки (x s , y s ) и (x s+1 ,y s +1 ) , имеет вид y = A 1 x + A 2 , где A 1 , A 2 определены в (5). Тогда y i 6 A 1 x i + A 2 , i > 0. Подставляя i — l + 1 , получим
(2+12 6 Ai (i + 1)2 + A• откуда следует, что L(b, A1, A2) > — A1 — A252.

Рис. 1. На рисунке изображено множество точек {(x l , y l ) 1 1 > 0}, при 5 -2 = 12, d = 2.
Точки, изображенные квадратом, соответствуют тем значениям l, для которых можно положить a kl-1 = 1, k = 1,..., N (1, d), ромбом — тем 1, для которых a kl-1 = 0, k = 1,..., N (1, d).
Пусть x s <5 2 6 x s+1 . Тогда определены неотрицательные числа
А _ 52 xs+i — 1 a _ 1 — 52 xs bs — xs , bs + 1 — xs + 1
x s+i — x s x s+i — x s
Положим b i — 0 , при i / { s, s + 1 } . Тогда получившийся набор b допустимый в (10), удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости
/^
b i
∞
Eb i l=0
∞
+ b2 ( Т l=0
b l
(l+1) 2

и доставляет минимум функции Лагранжа
/— /— /^ ^^ /^ ^^ ^^
min L(b, A 1 , Х 2 ) — L(b, Х 1 , A 2 ) — — А 1 — b 2 5 . b l >0
---ч ---ч
В силу того, что Ai,A2 > 0, верно неравенство откуда
---ч ---ч
L(b,A i ,А 2 >
∞
- X
1=0
b l
21 + d’
---ч ---ч min L(b, Ai, А2) 6 bi>0
min b i > 0 , P^ o b l 61, P ^ bl <Л2 2^l=0 (i+i)2 6°
∞
- X l=0
b l
21 + d"
Но из (11), (12) следует
---4 ---4 ---4 ---4 ---4 min L(b, A i , A 2 ) = L(b, A i , A 2 ) b i > 0
∞
- X
---4
b l
21 + d"
Таким образом,
∞
-
---4
b l
21 + d
6 min bi>0,
PSo b i 6 1 , P^o^ 6° 2
∞
-X l=0
b l
21 + d’
---ч означает, что набор b является точкой максимума
в
задаче (10). Решение этой задачи
равно A i + A 2 ^ 2 , а решение задачи (8), соответственно,
/.--4 ---4
— у Xi + X 2 § 2 .
Итак, мы оценили погрешность оптимального восстановления снизу E(Bh 2 , K, 5) > у/b i + X 2 ^ 2 . Покажем теперь, что на самом деле в этой оценке выполнено равенство.
Рассмотрим метод m a , определенный в (6). При A 2 = 0 (эквивалентно s = 0 или 5 > 1 ) из (7) следует, что a = (0) и m e (g) = 0 . Тогда
sup f евн 2 , kKf—gk L2(Sd-1) 6 °
11т0 (д) - f llL 2 (B d ) 6 sup IlfllL 2 (B d ) 6 A i - f eBh 2
При A 2 > 0 , используя (1), имеем
i fll2 X V^ (ak1(1 + 1)gk1 - fk1)2 HMg) - f kL2(Bd) = 2^ 1. ------2Г+1------ l=0 k=i
^ N ( 1,d )
= XX l=0 k=i
a kl (1 + 1)(g kl
— 1+1 ) + f k1 (a k1 — 1))
21 + d
Применяя неравенство Коши — Буняковского |h x,y i| 6 | x |k y k к векторам
x=
a k1 (1 + 1) q^

y=
Ab 2
g kl
-
f kl
!"+у ) ’ V A i f k1 ) ’
получим
II ( f II2 < \" \" 1 (ak1(1 + 1)2 (ak1 - 1)2 \f\( fk1 \2 f2 A lima(g) - f kL2(Bd) 6 X X X----- + T---- / ( A2 Vkl - ) + Aifk1 / "
l =0 k =i 21 + d A 2 A i 1 + 1
Введем обозначение д _ 1 (aki (1 + 1)2 , (aki - I)2 A
kl = 21 + dV b 2 + b i У
Тогда
e(Bh 2 ,K,5,m a ) 2 = sup ||m(g) — f k L (B d )
f GBh 2 , 2'
kKf - gk L2(Sd-l) 6^
6 sup f GBh2, kKf—gkL2(Sd-1)6
^ N ( i,d) ,
E E A« ^2 (g ki - i=0 k=1
fr) 2 +f.
Равенства (7) эквивалентны неравенствам A ki 6 1 , откуда
~ N ( l,d ) f 2 b b b
e(Bh2,K, 5, ma)2 6 sup ^^ ^^ ( b2 gkkl — ) + b1f2i ) 6 b252 + bl- f GBh2, V V 1 + 1/ У kKf-g\k2(sd-i)68l 0 k 1
Таким образом, мы получили, что оценки снизу и сверху для величины E(Bh2, K, 5) совпадают. Отсюда немедленно следует утверждение теоремы ma
) 6 ^/b 1 + b 2 5 2 . >
Vbl + b252 = sup kf kL2в) 6 E(Bh2, K, 5) 6 e(Bh2, K, 5, f GBh2, kKf—gkL2(Sd-1) 6^
Определенный в теореме 1 набор коэффициентов (a ^i ) является фильтром, определяющим значение каждой гармоники в восстановлении функции f . Заметим, что при 5 > 1 погрешность оптимального восстановления становится равной ^^, а оптимальным оказывается метод m o (g) = 0 . Покажем, что в зависимости от величины погрешности 5 некоторые гармоники не нуждаются в фильтрации, а другие вовсе можно не учитывать.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда можно положить a ki = 0
1 / Т 1 (i+1)2 / Т пРи 2l+d 6 А1 и aki = 1 пРи 6 Х2.
C Подставляя a ki = 0 и a ki = 1 в (13), получаем, что условие A ki 6 1 эквивалентно, (i+1) 2
соответственно, условиям 2i+d 6 Ь 1 и 2Z +d" 6 А 2 . в
Приведенное следствие означает, что, начиная с некоторой степени, все гармоники большего порядка не влияют на погрешность восстановления и коэффициент перед ними можно взять равным нулю. Также все гармоники, степень которых не превосходит определенного значения, не нуждаются в фильтрации и коэффициент может быть выбран равным единице. С ростом погрешности измерения δ число ненулевых коэффициентов в наборе a уменьшается, пока они все не становятся равными нулю при 5 > 1 . При уменьшении погрешности измерения δ увеличивается число гармоник, не нуждающихся в фильтрации, а оптимальный метод m a переходит в точную формулу восстановления
^ N ( i,d )
x
| x | .
m i (g) = X X (1 + 1)g ki 1 x11 Y i i =0 k =1
Сказанное проиллюстрировано на рис. 1. На рис. 2 указаны области значений фильтра a , при которых метод m a (g) является оптимальным. Видно, для каких 1 значение a ki , к = 1,..., N(1, d) , может быть взято равным 1 или 0.
Решая задачу оптимального восстановления функции f по неточно заданному значению оператора K , мы считали, что информация, которой мы владеем есть функция g G L 2 ( S d-1 ) , удовлетворяющая условию || Kf — g | L 2 (s d-i ) 6 £• В действительности, мы сразу перешли от функций f и g к рассмотрению их рядов Фурье и далее работали лишь с наборами коэффициентов Фурье { f kl } и { g kl } . Предположим теперь, что вместо всего множества { g kl } нам известно лишь конечное число первых его элементов. Получим следующую задачу. Пусть для каждой функции f G Bh 2 нам известен набор g G R q , q = P N01 N(l, d) такой, что
N - 1 N ( l,d )
E E iKf ki — g ki i 2 6 ^ 2 , l=0 k=1
где
Kf ki = J Kf (Z)Y l (Z ) dZ.
S d-1
В качестве методов восстановления рассмотрим отображения m : R q ^ L 2 ( B d ) . Определим погрешность метода
e(Bh 2 ,K,5,m)= sup km(g) — f k L 2 (B d )
f EBh 2 ,
P N-1 P™ IKf ik -g ik V 2 6 S 2
и погрешность оптимального восстановления
E (Bh 2 ,K,6) = inf e(Bh 2 ,K,5,m).
m : R q ^ L 2 (B d )

Рис. 2. На рисунке изображена область возможных значений фильтра a kl , k = 1,.. ., N (l, d), в зависимости от параметра l, при 5 -2 = 12, d =2.
Теорема 2. Положим
(x i ,y i ) =
i 2
i 2
, 2i + d — 2
y N +1 ys+1 y s 1
i = 0,1,..., s n = min s > 0 : ------ > ----------- >,
X N +1 X s+1 — X s
E y s+1
A1 = ---- xs+1
-
-
y s x s ,
y s x s +1
A 2 = ------
-
y s +1 X s
x s+1
-
x s
при x s < δ
2 < X s+1 , 0 6 s < S N , (14)
---ч λ
y N +1 v
= -----’ A 2 = ysN
X N +1
-
---ч
X s N A 1 при 5
> X S N •
Тогда погрешность оптимального восстановления равна
/ ---4 ---4
E(Bh 2 ’K^ = VA 1 + A 2 ^ 2 .
Методы
N-1 N (l,d) , x ma(g)(x) = 52 52 akl(l + 1)gkl |x|l Y^W )’ l=0 k=1 Xlxl/
где a kl , определенные равенствами (7) , являются оптимальными.
<1 Рассмотрим двойственную задачу
N - 1 N ( l,d )
kf k L 2 (B d ) ^ max, f e Bh 2 , X X \Kf lk | 2 6 ^ l=0 k=1
Аналогично доказательству теоремы 1, получим оценку снизу
E(Bh 2 ,K,5) >
sup f €Bh 2 , p N -1 p N^-d) iKf ik i 2 6 s 2
kf k L 2 (B d ) •
Переходя к квадратам функционала и ограничений, используя (9) и обозначение b i = P N=id) I f kl l 2 , перепишем задачу (17) в виде
∞b
Е —^ max, b 6 1,
2l + d ’ l=0
N -1 A
E 6 b i > a
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
∞
L(b, A1, A2 ) = — A1 — A252 + X /7,-142 l=0 (l + 1) 2
A 1 (l + 1) 2 + X N (l)A 2 — 21^+ d
,
где X N (l ) — характеристическая функция множества { 0, • • • ,N — 1 } , b = (b o , b 1 , • • •) .
Рассмотрим два случая.
Пусть xs < 5-2 < xs+1, s < sN. Выберем A1 и A2 как в (14). Следуя тем же рассуждениям, что и в доказательстве теоремы 1, получим yj+1 6 A1Xj+1 + A2, j 6 N — 1-При j > N, имеем b _ ys+1 — ys x yN+1 x n
A 1 x j+1 y j+1 = _ X j+1 y j+1 > X j+1 y j+1 > 0
x s+1 x s X N +1
Таким образом, выполнено неравенство L(b, A1, A2) > — A1 — A2^2^ Положим bs = Xs 52Xs+1 1, bs+1 = Xs+1 1 52xs xs+1 - xs xs+1 - xs bi = 0 при i / {s, s + 1}. Тогда получившийся набор условиям дополняющей нежесткости
---ч b допустим в (18), удовлетворяет
( ^ \ / N — 1
XA - 1 + Ц X 1=0 / X 1=0
и доставляет минимум функции Лагранжа
---ч b l
(l+ 1) 2
-
=0
min L(b,A i ,A 2 ) = L(b,A i ,A 2 ) = L(b,A 1 ,A 2 ) = b i >0
---4
— A1
- А 2 Й 2 .
Отсюда (аналогично доказательству теоремы 1) следует, в задаче (18), что означает что
---ч b доставляет максимум
E (Bh 2 ,K,S) > b l + A 2 S 2 .
Пусть S 2 > Xsn . Выберем Ai и A2 как в (15), так что прямая y = Aix + A2 проходит через точку (xsN ,ysN) параллельно прямой у = У^^^ х. Тогда при 0 6 j 6 s— — 1 имеем yj+1 6
y s - y s - 1 y s - y s - 1
-----------X j + 1 + y s N — X s n----------- x s N - x s N - 1 x s N - x s N - 1
(точки (xj+i,yj+i) лежат под прямой, соединяющей (xsn—i,ysN-1) и (xsn,ysN)), откуда yj+1 6 ysN — ^"N ^"N (xsjv — xj+1) 6 ysN — ^ + (xsjv — xj+1) = A1xj+1 + A2-Xsn — X"n — 1 X-+1
При s— 6 j 6 N — 1 выполнено ys +1 — ys ys +1 — ys yj+1 6 -----------Xj+1 + ysN — XsN-----------
X s n +1 — X s n x s N +1 — X s n
(точки (xj+1,yj+1) лежат под прямой, соединяющей (xsn,ysN) и (xsn+1,ysN+1)), откуда yj+1 6 ysN + ^ N +---^"N" (xj+1 — xsN ) 6 ysN + ^ + (xj+1 — xsN ) = A1xj+1 +
XsN + 1 — XsN
Если j > N, то
A ( 11 A .
A 1 x j y j = x j <2N + d — 2 2j + d — 2 J > 0
Таким образом, выполнено ---- ---- ---- --- ^
L(b, A 1 , A 2 ) > — A 1 — A 2 ^ .
Положим b i = 0 , i / { s N — 1, N } , b s N — 1 = S 2 x s N , b N = 1 — 62x s N . Тогда набор A допустим в (18), удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости
/ ^ \ N-—1 a\
A1 ( XA1 — 1) + A2 ( X (7+l1p — 5) = 0 1=0
и доставляет минимум функции Лагранжа
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ^ min L(b, A 1 , A 2 ) = L(b, A 1 , A 2 ) = — A 1 — A 2 S . b l> 0
Отсюда E(Bh 2 ,K, S) > ^/A 1 + A 2 S 2 .
Для произвольного 6 рассмотрим метод ma, определенный в (16). При A2 = 0 из (7) следует, что a = (0) и mg(g) = 0. Тогда sup km(g) - fkL (Bd) 6 sup kf kL (Bd) 6 A1.
f eBh 2 , ' ' f eBh2 ' '
P N-1 P™ IKf ik -g ik l 2 6 6 2
При A2 > 0 имеем
N - 1 N ( l,d ) kWg) - f ku (B d ) = X X l=0 k=1
(a kl (l + 1)g kl - f kl ) 2
2l + d
^ N ( l,d )
XX l = N - 1 k=1
(a kl (l + 1)(g kl - f l ) + f kl (a kl - 1))
2l + d
^ N ( l,d )
+ XX l=N k=1
^ N ( l,d )
+ XX l=N k=1
2 f kl
2l + d
f kl
2l + d"
Аналогично теореме 1 применим неравенство Коши — Буняковского, получим
N-1 N (l,d) , p 9 \ m N(l,d) ^2
Tfkr) + - XX ^
++
7 l= N k =1
km a (g) - f llL 2 (B d ) 6 XX A kl (b2 g 9k l - l=0 k=1
где A ki определено в (13). Равенства (7) эквивалентны неравенствам A ki 6 1 . Заметим также, что 2N d 6 A 1 и потому с^ 6 А 1 при l > N . Тогда
e(Bh 2 ,K,5,m a ) 2 = suP к т(д) - f k L 2 ( B d )
P N=-1 P N f IKf lk -g lk l 2 6 8 2
N - 1 N ( l,d )
6 sup A A 2 g kl -
« , N<faBfl2’ l=0 k=1
P N-1 P N=1'd) IKf lk -g lk l 2 6 6 2
f 2 ^ N ( l,d )
1+1) + X X A 1 f 2l 6 A 2 6 2 + A 1 " > l=0 k=1
В рассмотренном выше случае мы располагали неточной информацией о конечном наборе первых коэффициентов Фурье функции Kf , причем отличие этой информации от точной мы измеряли в метрике I 2 . Пусть теперь нам дан набор чисел {6 kl > 0 : l = 0,..., N — 1, k = 1,..., N(l, d) } , характеризующий неточность информации для каждого коэффициента g kl в отдельности, т. е. для каждой функции f Е Bh 2 нам известен набор g Е R q , q = P lN - )1 N (l, d) такой, что
| Kf kl — g kl | 6 6 kl , l = 0,...,N — 1, k = 1,...,N(l,d).
В качестве методов восстановления рассмотрим отображения m : R q ^ L 2 ( B d ) . Определим погрешность метода
e(Bh 2 ,K,6,m) = sup k m(g) — f H l 2 (B d )
f BBh2,
|Kfkl-gkl |6δkl и погрешность оптимального восстановления
E(Bh 2 ,K,5) = inf e(Bh 2 , K, 5, m).
m:R q ^ L 2 (B d )
Теорема 3. Положим p N (l,d)
p = max j 0 6 p 6 N - 1 : X X S^l + 1) 2 6 1 к l=0 k=1
b 1 b (l + 1)2
b = 2(p + 1) + d’ bki = 2l + d b(l + 1) ’ l = 0,‘‘‘,p’ k = 1,---,N(l,d)i при S10 6 1’ или b = d bkl = 0’ l = 0’...’P’k = 1’...’N (l’d), при S10 > 1.
Тогда погрешность оптимального восстановления равна p N (M)
E(Bh 2 ’K’S) = tb + b fci d 2l .
l =0 k =1
Метод
p N Vd / x ma(g)(x) =^2 52 akl(l + 1)g^l |x|l YU |X| )’ l=0 k=1 \lxl/
где
λ kl
a kl = ~---------~—’
b (l + 1) 2 + bkl
является оптимальным.
C Рассмотрим двойственную задачу kfkL2(Bd) ^ max’ f e Bh2’ lKfkll 6 Skl’ l = 0’...’N - 1’ k = 1’...’N (l’d).
Имеем оценку снизу
E (Bh 2 ’K’5) > SUp ||f ||L2(B d ) .
f ∈ Bh 2 ,
| Kf kl | 6 δ kl
Переходя к квадратам функционала и ограничений и используя (9), перепишем задачу (23) в виде
^ N ( l,d ) ,, |2 ^ N ( l,d ) ., 2
EE 2^ - max. ££f kd2 6 1. (fL 6 » kl ’ (24)
l =0 k =1 l =0 k =1
l = 0’...’N - 1’ k = 1’...’N (l’d).
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
N — 1 N(l,d) N — 1 N(l,d) \ г \2 / I -i \2 \
\\ X X д2 X X \Jkl\ 2 (l + 1)
L(J’b) = - b - 2_^ / v b kl 6 kl + (l + 1)2 ( b(l + 1) + b kl — 2l + d )
l =0 k =1 l =0 k =1
^ N ( l,d )
+X X l=N k=1
f fk l ?
(l + 1) 2
b(l + 1) 2 -
(l + 1П 2l + d /
где b = { b’ b 10 ’ • • • ’ b N ( l,d ) N — 1 } .
Пусть Jw 6 1 , возьмем
Заметим, что
A=
2(p + 1) + d2
_ ( (l+1) 2
' = {o 2'+d
-
—(l + 1) ,
l
6
p,
p
A ki =
(l + 1) 2 (l + 1) 2
-
2l + d 2(p + 1) + d
> 0,
l 6 p.
Тогда при l 6 p
A(l + 1) 2 + A ki - <2^
= 0.
При l > p
A—(l + 1)
-
(l + 1) 2
(l + 1) 2
2l + d 2(p + 1) + d
-
(-^ > 0.
2l + d
Таким образом,
----
.——
N - 1 N ( l,d )
L(b,A) > - A
-
E E A ki 5 2 = -a l=0 k=1
-
p N (M
E E A ki J 2i . l=0 k=1
Положим
J kl (l + 1)2
fl = V1 - P p P N^d W + D22
0, l 6 p, l = p +1, l > p + 1.
Функция f(x) = P l°= 0 P NE) f' ki lxl1 Y ' (| X |) допустима в (24), так как
^ N ( l,d ) |2
ЕЕ If ki l 2 = 1, 7f^2 - d 2 i = 0, l 6 p,k = 1,...,N (l,d). i =0 k =1 (l + 1) 2 ki
Если p < N - 1 , то
| f kp+1| / r2 (p + 2) 2 6 д kp+1 ,
так как в противном случае имели бы P p+g1 P N(1d) ^ ki (l + 1) 2 < 1, что противоречит определению p . Тогда
/ ю N ( l,d ) \ N -1 N ( l,d ) /1—1 \
A EE&
1
2
-
1 + ЕЕ AkA fL
-
\ l =0 k =1 / l =0 k =1
и
N - 1 N ( l,d ) p N ( l,d )
L(/, A) = - A - E E Ak^h = - A - E E A ki J 2i . l=0 k=1 l=0 k=1
Следовательно, p N(l,d)
E(Bh 2 , K, J) > t A + E E Aki52kl.
l =0 k =1
Пусть 6 1o > 1- Положим A = ( d , 0,..., 0). Тогда, очевидно,
----
L(f,A) >
- d.
Функция f (x) = Y10(|X|) допустима в (24), удовлетворяет условиям дополняющей нежест- кости и L(f, A) =
— d , откуда следует
e (Bh 2 ,K,6) > yd.
Для произвольного 6 рассмотрим метод ma, определенный в (21). При Akl = 0 из (22) следует, что akl = 0. Тогда sup f∈Bh2, |Kfkl-gkl |6δkl
Ilm o (g)
-
f k L2(B d ) 6 su P kfkL, (B d ) 6 A f ∈ Bh 2
В противном случае, имеем kma^) — fl^d) =
p N (M)
XX l =0 k=1
(a kl (l + 1)g kl — f kl )
2l + d
_ XNX (aki(l + 1)(gki l=0 k=1
-
fe) + f ki (a ki — 1)) 2
2l + d
Аналогично теореме 1 применим неравенство
p N (l,d) , kma(g) — f kL2(Bd) 6 XX Akl (Akl(gkl l=0 k=1
где
A kl =
^ N ( l,d )
+ X X l=p+1 k=1
^ N ( l,d )
+ l=p+1 k=1
Коши — Буняковского.
-
1 ( akl (l + 1)
2l + d
---ч λ kl
2 f kl
2l + d
f 2 f kl
2l + d
.
Получим
, 9 x ^ N ( l,d )
fy + Af k2l) + X X
A l=p+1 k=1
- +
(a kl - 1) 2
---4 λ
.
2 f kl
2l + d,
Равенства (22) эквивалентны равенствам A kl = 1 . при l > p + 1 . Тогда
Заметим также, что 27+d
---4 λ ,
e(Bh k ,K, 6, m a ) 2
sup I m ( g )
f ∈ Bh 2 ,
| Kf lk | 6 δ kl
-
f k L 2 (B d )
6 sup f ∈ Bh 2 , | Kf lk | 6 δ kl
p N (M)
Список литературы Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования
- Michelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery//Optimal Estimation in Approximation Theory/Eds. C. A. Michelli, T. J. Rivlin.-New York: Plenum Press, 1977.-P. 1-54.
- Michelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on optimal recovery//Lecture Notes in Math. Numerical Anal. Lancaster.-Berlin: Springer-Verlag, 1984.-P. 21-93.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление операторов по неточной информации//Мат. форум. Том 2. Исследования по выпуклому анализу.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.-C. 158-192.-(Итоги науки. Южный федеральный округ).
- Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций//Мат. заметки.-1972.-Т. 12, № 4.-С. 465-476.
- Osipenko K. Yu., Stessin M. I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions//Constr. Approx.-2010.-Vol. 31, № 1.-P. 37-67.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации//Тр. МИАН.-М.: МАИК, 2010.-Т. 269.-С. 181-192.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру//Функ. анализ и его приложения.-2010.-Т. 44, № 3.-С. 76-79.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Неравенство Харди -Литтлвуда -Полиа и восстановление производных по неточной информации//Докл. АН.-2011.-Т. 438, № 3.-С. 300-302.
- Natterer F. The mathematics of computerized tomography.-Stuttgart: John Wiley & Sons, 1986.-222 p.
- Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. Second edition.-New York: Springer-Verlag, 2001.-270 p.