Оптимизация затрат на рекламу

Прибыль, как основная характеристика деятельности предприятия, может определяться целым рядом параметров, например, таких как неоднородность используемого капитала [2].

В свою очередь, на величину этого показателя значительным образом влияет величина затрат предприятия в том числе и затраты, связанные с продвижением продукции.

Немаловажная роль в продвижении продукции отводится рекламе, формы которой разнообразны: участие в салонах, выставках, презентациях и т.п. Всё это связано со значительными затратами.

Зачастую, бывает довольно сложно определить: какое влияние на прибыль оказывают вышеназванные затраты. Решить эту проблему позволит построение экономико-математической модели, основу которой составляет установление связи между затратами на рекламу и объемом реализации продукции, а следовательно, и величиной прибыли.

Для построения модели необходимо связать затраты на рекламу с объемом выпуска продукции:

N(t)=y[F(t)] (1)

где: N(t)- объём выпуска продукции в момент t ; ( 0

F(t) - затраты на рекламу;

При этом следует учитывать, что текущие затраты на рекламу продвигают продукцию, которая будет выпущена в следующий период времени. Поэтому, с учетом запаздывания, модель приобретает вид:

N(t+^)=y[F(t)]          (2)

Предполагается, что объём выпуска продукции равен или незначительно превышает спрос на неё.

Соотношение для общей себестоимости можно записать в виде:

R(t)=D+F(t)+G(t)=K/T+F(t)+G(t )  (3)

где: R(t) – общая себестоимость продукции;

D – амортизационные отчисления от основных фондов или стоимости технологической линии;

G(t) – прочие затраты, включаемые в себестоимость;

K – стоимость основных фондов или технологической линии. [1]

В целях упрощения можно допустить, что G(t)=aN(t).

То-есть, в данный показатель входят все переменные затраты, которые напрямую зависят от объема выпускаемой продукции. Параметр а является эндогенным параметром, который определяется уровнем заработной платы, степенью использова- ния трудовых ресурсов, сменностью работы, величиной оборотных средств и т.п., то есть технологией производства. С достаточной степенью точности он является известным.

Затраты на рекламу являются постоянными в течение всего рассматриваемого периода, то есть F(t)=F=const.

Это сильно упрощает анализ.

Наконец, используем соотношение, связывающее объём выпуска или реализации продукции с затратами на рекламу:

N ( t ) = bF ^a (4)

Параметры b и α являются экзогенными параметрами и определяются конъюнктурой рынка. Параметр b иллюстрирует прямую зависимость между объемом продаж (выпуска) и затратами на рекламу, а параметр α – показывает степень зависимости объема продаж от затрат на рекламу. Иными словами – это эластичность объема продаж по затратам на рекламу. Значения этих параметров могут быть заданы на основе прошлых статистических наблюдений и прогностических оценок.

Поскольку доход определяется как произведение объема продаж на цену, то, используя уравнение (4), можем построить уравнение дохода:

X ( t ) = pbF ^a             (5)

где: X(t) – доход в момент t;

p – цена единицы продукции.

Соотношение для прибыли примет вид:

S ( t ) = pbF ^a - KIT - F - abF ² = ( p - a ) bF ^a - F - KIT (6)

Для определения значения F , при котором прибыль достигает максимума, найдём выражения для первой и второй производной.

dS ( t ) dF

= a ( p - abF ^{a 1} - 1 = 0

d² S ( t ) dF²

= a ( a - 1 )( p - a ) bF ^{a 2}

Далее, необходимо рассмотреть влияние значений параметра α, который характеризует чувствительность рынка к рекламе на данную модель.

Рассмотрим три случая.

• 1.    α=1 , то есть объем продаж пропорционально зависит от затрат на рекламу.

• 2.    α>1 , объем продаж очень чувствителен к затратам на рекламу.

• 3.    α<1 , объем продаж слабо чувствителен к затратам на рекламу.

Тогда вторая производная равна нулю, а первая не зависит от F.

Из (6) получаем выражение для прибыли: S(t)=[(p-a)b-1]F-K/T

Если выражение в квадратных скобках больше нуля, а для этого по крайней мере должно быть p>a , то прибыль монотонно растёт с ростом затрат на рекламу и является положительной величиной при амортизационных отчислениях меньших первого слагаемого. Из этого условия можно определить минимальную цену, при которой производство является рентабельным. Максимальная величина прибыли определяется значением максимального выпуска продукции Nmax , при котором затраты на рекламу F равны Nmax/b, а прибыль S(t)=[(p-a)b-1](Nmax/b)-K/T.

Для определённости рассмотрим случай α=2. Это допущение не нарушает общности, но значительно упрощает выкладки. Тогда из (7) имеем, что в точке экстремума F=1/2(p-a)b>0 при p>a. Подставив в (8), получим, что вторая производная положительна. То есть экстремальная точка является точкой минимума. При этом из (6) следует, что S(t)=-1/4(p-a)b-K/T<0. Поэтому максимальное значение прибыли находится на границе по F. При F=0 N(t)=0 и S(t)=-K/T. Следовательно, прибыль становится положительной при некотором значении F. Максимальное значение она принимает при максимальном выпуске, что соответствует максимальным затратам на рекламу F = V N max/ b . Прибыль при этом       равна        S(t)=(p-a)Nmax-

V N maxI b - KIT. Отметим, что должно выполняться условие (p-a)>0.

Как и в предыдущем случае, для определённости положим, что α=1/2. Тогда из (7) имеем, что в точке экстремума F = [ а ( p - a ) b ]² >  0. Подставив в (8), получим, что вторая производная отрицательна при p>a. То есть экстремальная точка является точкой максимума при выполнении указанного условия. Из (6) следует, что в точке максимума   S(t)=

а(1 - а)(p - a)2b2 - K / T > 0, если первое слагаемое по абсолютной величине боль- солютного максимума при F= [а(p - a)b]2 <(Nmax/b)2. В противном случае F=(Nmax/b) 2 и максимальная прибыль S(t)=(p-a)Nmax-(Nmax/b) 2 -K/T. При этом должно быть p>a.

Применение предлагаемой модели позволит определить объем затрат предприятия на рекламную деятельность обеспечивающий максимизацию объема продаж рекламируемой продукции.

ше второго. Эта точка является точкой аб-