Основные краевые задачи теории потенциала

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называемые нефредгольмовые краевые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, причем для этих задач нарушается альтернатива Фредгольма. Благодаря разработанности теории одномерных сингулярных интегральных уравнений [5,6] краевые задачи для эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными в настоящее время полностью изучены [1,6], что нельзя сказать о краевых задачах для эллиптических уравнений с многими независимыми переменными. Ряд важных вопросов в этой области не решен до сих пор, так как нет достаточно общих методов исследований.

Поэтому важно рассмотреть некоторые вопросы теории линейных эллиптических уравнений в трёхмерном случае и сделать некоторые обобщения на многомерный случай.

Постановка задачи

Изучение некоторых физических явлений приводит к естественной постановке следующих двух краевых задачи теории потенциала [1].

Задача Дирихле . Найти регулярную в области D непрерывную в замкнутой области D U Γ гармоническую функцию u , принимающую наперед заданные значения f на границе Γ области D , т.е. u = f на Γ , где f – заданная непрерывная функция.

Задача Неймана . В области D , граница Г которой имеет непрерывно меняющуюся нормаль, найти регулярную и непрерывно дифференцируемую в D U Г гармоническую функцию и , удовлетворяющую условию д и / д n = g на Г , где g - заданная непрерывная функция, а д / д n - производная по нормали к Г .

Задача Неймана есть частный случай следующей важной более общей задачи.

Задача о наклонной производной . Пусть на границе Г , обладающей непрерывно меняющейся нормалью, области D задано поле направлений l , т.е. в каждой точке Г задан вектор l единичной длины. Найти регулярную в D непрерывно дифференцируемую в замкнутой области D U Г гармоническую функцию и, удовлетворяющую условию д и / д l = h на Г , где h - заданная непрерывная функция.

Все три сформулированные задачи являются частными случаями следующей граничной задачи.

Задача Пуанкаре . В области D , граница Г которой имеет непрерывно меняющуюся нормаль, найти регулярную гармоническую функцию и , удовлетворяющую на Г условию

а( P ) д и + в( P ) и = f ( P ) ,

∂l где а,в и f - заданные на Г непрерывные функции, а искомая функция и такова, что замкнутой области D U Г существует производная, фигурирующая в граничном условии.

Доказательство основных теорем

Рассмотрим задачу Дирихле. Если для уравнения Лапласа удалось бы построить в области D фундаментальное решение О такое, что О = 0 на границе Г области D , то формула

1 Г ^ии      1 г дО и =— [О—dS--[и--dS,          (1)

4п Г дn     4п Г дn где Q = r-1 + ю фундаментальное решение с особенностью и точке P выражала бы решение задачи Дирихле. Функцией Грина оператора Лапласа для области D будем называть специальное фундаментальное решение G(P, Q) уравнения Лапласа, зависящее от параметрической точки Q = (§1,§2,...,§n), имеющее вид

n

G(P,Q) = Иr) + ЮP,Q), r2 =2(xt- §i? , i=1

И равное нулю, когда точка P = ( x 1 ,..., x_n ) лежит на поверхности Г .

Слагаемое to непрерывно в замкнутой области D U Г. При помощи функции Грина решение задачи Дирихле записывается формулой u (P) = 4 f (Q)dGP’ Q) dS Γ        ∂Qn

Формула (2) при предположении существования функции Грина получается как следствие формулы Грина, а для применимости этой последней функция f должна удовлетворять некоторым условиям гладкости. Однако нетрудно проверить непосредственно, что формула (2) дает решение задачи Дирихле при любой непрерывной функции f [4].

Для произвольной области трудно построить функцию Грина, и задача её построения ничуть не проще исходной задачи Дирихле. Но в некоторых важных частных случаях эту функцию можно выписать явно. Так, функция Грина шара 2 : { X 2 + ... + x n <  R ² } имеет вид

G (P, Q) = ^( r) - V(orJ R ), W(s) = [(n - 2)ton ]-1 s2-n, nn   n r2 = 2(xk-^<)2, г2 = 2(xk -R °-2 ^<)2, °2 = 2 ^.

к = 1                             k = 1                                          k = 1

Здесь (x 1,...,xn)- точка P, а (£1,§2,...,^n)- точка Q [3]. То, что эта функ- ция удовлетворяет всем требованиям, наложенным на функцию Грина, проверяется непосредственно. Также прямым подсчетом нетрудно прове- рить, что д G (P, Q ) ∂n

I QеS = ^Хr)

R ²

-

РР

rR

n

, Р2 = 2 X2, i=1

где S - сфера x2 +... + x2 = R2. Формула (2) для шара 2 теперь прини- мает вид

= - R-p- J ^ rr ) fdS .           (3)

Если в этой формуле перейти к сферическим координатам, то получаем

= - R n ^{- 2}( R ² - р ²) г           f , d o

ton       J (р2 -2Rpcos9 + R2)n/2, f1(П1,...,Пп) = f (Rn1,...,Rnn), p2 = X12 +... + X2, 9 - угол между ра диусами-векторами точки X и точки Q = (Rn 1,...,Rnn), а интегрирование ведется по n-мерной единичной сфере o : {n1 +... + nn = 1}. Формула (4) называется интегральной формулой Пуассона.

Очевидно, что в соотношении

R^{n - 2}( R ² -р ²)

[ р ² + R ² - 2 R p cos 0 ] ^{n /2}

1 - р ² / R ²

₂ n /2

1 - 2 ^Р cos 0 + ^Р R      R ²

” Г р ^n

Ek i g "^{(cos 0} )

n = 0 V ^R )

ряд сходится для всех р < R , причем при р <  R 1 <  R сходится абсолютно и равномерно. Так как

cos0 = ,      '§ +... + xn^n x2 +...+x2 • §1 +...+х то выражения

n

H " ( X ) = — 1 р 1 [ f , g " (cos 0 ) d a

Ш VR J a

представляют собой однородные функции целой степени n , т.е. однородные многочлены степени n . Подставив (5) в (4) и поменяв порядок суммирования и интегрирования, получим

^ u ( X ) = ^ H " ( X ) . n = 0

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Всякую регулярную в шаре Е гармоническую функцию можно разложить в ряд по однородным многочленам, причем этот ряд во всякой строго внутренней подобласти шара Z сходится абсолютно и равномерно.

Из этой теоремы следует, ещё одна теорема теорема 2. Всякая гармоническая функция аналитична внутри своей области регулярности.

Для полупространства H: {xn > 0} также можно написать аналог формулы Пуассона (4). Этот аналог имеет вид

+ го u ( X ) =    ■ JkJ

Ш n - ГО

f ( § ! ,..., § n - 1 ) d § _x,..., d § n - 1

^{[ (} x 1 ^- § 1^{) 2 +} ... ^{+ (} x n - 1 ^- § n - 1^{) 2 +} x n ^{2 ]}

Из формулы Пуассона можно получить ещё целый ряд полезных следствий [4]. Имеются и другие методы для решения задачи Дирихле [5,6], но мы здесь не будем останавливаться, поскольку основной нашей целью является изучение задачи о наклонной производной. Рассмотрим лишь некоторые свойства функции Грина.

Функция Грина G ( P , Q ) области D обращается в нуль на границе

Г области D, а в достаточно малой окрестности точки P она положи- тельна, так как у (r) в этой точке обращается в + да . В силу принципа максимума получаем, что G(P, Q) > 0 всюду в области D. Из того же принципа максимума вытекает, что решение задачи Дирихле единственно, поэтому, положив в (2) f = 1, имеем и = 1, следовательно,

[ ' ‘"^{PQ |} ds = i .

Γ ∂ Q ⁿ

Если область D ограничена, то для любой её точки P найдется число R такое, что шар Е радиуса R с центром в данной точке содержит внутри область D . Функция Грина этого шара имеет вид

G ( P , Q ) = у ( r ) - у ( R ) = [( n - 2) ® ] ^{- 1}( r² - ⁿ - R² - ⁿ ).

Пусть G ( P , Q ) - функция Грина области D с характеристической особен -ностью той же точке P . Гармоническая функция

h ( P , Q ) = G 1 ( P , Q ) - G ( P , Q ) регулярна в области D и неотрицательна на границе Г области D . В силу принципа максимума всюду в D имеем

G ( P , Q ) <  [( n - 2. ® ] ^{- 1}( r² - ⁿ - R² - ⁿ ).               (6)

Из этой оценки вытекает справедливость утверждения.

Теорема 3. Пусть G(P, Q) - функция Грина области D, а B - её подобласть с диаметром меньше h. Тогда j G(P, Q)d ® < е(h),

B где s(h) зависит только от h, а не от вида подобласти B , и стремится к нулю вместе с h.

При помощи этой теоремы нетрудно показать, что для любой непрерывной, по Гельдеру, в ограниченной области D функции f ( X ) выражение

u ( X ) = j G ( X , Q ) f ( Q ) d ®

D дает решение уравнения Пуассона Au = - f (X), непрерывное в D U Г и равное нулю на границе Г .

То, что и непрерывна в D U Г и удовлетворяет уравнению Пуассона, следует из теоремы 1. Остается показать, что и = 0 на Г . Пусть P - точка на Г . Построим шар радиуса h с центром P и обозначим через B пересечение области D с этим шаром. Имеем

u ( X ) = j G ( X , Q ) f ( Q ) d Q ® + j G ( X , Q ) f ( Q ) d Q ® ,

D'                                B где D’ - часть области D, которая остается после выбрасывания B на D. Если точка X стремится к точке P, то интеграл, взятый по D’, стремится к нулю равномерно, а в силу теоремы 3 имеем

J G(X, Q)f (Q)d to < Ms(h), B причем M - максимум по |f| подобласти B. Так как h можно взять сколь угодно малым, то lim u(X) = 0, P е Г.

X ^ P

Нетрудно показать, что для функции Грина можно вывести формулу G ( X, P ) - G ( P , X ) =

= J G ( Q, P >  г -

d G ( Q, X )           д G ( Q, P )

--G ( Q, X )--------- д n                  д n

dS ,

но в силу того, что функция Грина на границе Г области D обращается в нуль, отсюда получаем свойство симметрии функции Грина G(X, P) = G(P, X) [7].

Попытаемся построить аналог функции Грина для задачи Неймана. Эта функция должна быть фундаментальным решением уравнения Лапласа

Q = r

1 + to удовлетворяющим на Г условию дО / дn = 0. Следователь- но, регулярная в области D гармоническая функция to должна удовлетворять на Г условию

dto      д ,

----=-- ( r ). д n     д n

По теореме 2:

(Пусть задан кусок поверхности Г, ограничиваемой кривой C, и точка P, не принадлежащая Г. Тогда потенциал двойного слоя с постоянной плотностью а = 1 поверхности Г в точке P по абсолютной величине равен телесному углу, под которым кривая C видна из точки P. В частности, потенциал двойного слоя поверхности, ограничивающей область D, имеет постоянное значение — 4п во всех внутренних точках D, а вне D равен нулю), доказанной в [3], интеграл от правой части этого равенства равен 4п , а из теоремы 1:

(Если гармоническая функция регулярна в ограниченной области D и непрерывно дифференцируема в замкнутой области D U Г, то интеграл по поверхности Г от ее нормальной производной равен нулю), доказанной также в [3], теперь следует, что регулярной в области D гармонической функции, удовлетворяющей условию (8), не существует. Аналогичная ситуация имеет место и при n > 3 [8].

Для того, чтобы обойти эту трудность, зафиксируем в области точку A и аналог функции Грина для задачи Неймана будем искать в виде N(X,Q;A) = V(r) — V(P) + to(X,Q;A), где r - расстояние L(Q,X) от точки X до Q, а р - расстояние L(X, A) от точки X до A. Функция to регулярна в области D и на границе Г удовлетворяет условию

∂ω  ∂∂

— = —V( Р)- г 'Л r)• ∂n   ∂n∂

Аналогично формуле (7) выводится соотношение u (X ) - u (A ) = f N (X, Q; A ) du ^qS , Γ в силу которого для решения задачи Неймана получается формула

u(X) = C + JN(X, Q; A)g(Q)dQS ,(9)

Γ где u (A) = C - произвольная постоянная, причем данная функция g удовлетворяет условию теоремы 1 из [3],

Γ

Функция N фигурирующая в формуле (9), называется функцией Неймана области D .

Заключение

При изучении задачи о наклонной производной мы рассмотрели задачу Дирихле. Доказали теорему о разложении регулярной гармонической функции в ряд, рассмотрели некоторые свойства функции Грина.

Мы пока не касались проблемы существования функции Грина и Неймана. Решение данного вопроса эквивалентно исследованию исходных задач Дирихле и Неймана. Решим в дальнейшем обе задачи путем сведения их к интегральным уравнениям Фредгольма для случая, когда граница области является достаточно гладкой поверхностью, а именно предположим, что граница области имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость, а в некоторых случаях будем требовать непрерывности главных кривизн границы.