Параметрические колебания одноклетьевых реверсивных станов холодной прокатки

Одной из причин появления автоколебаний на станах холодной прокатки являются неконсервативные гидродинамические силы, действующие на рабочие валки в процессе прокатки [1–3]. В тонких щелях между рабочим валком и стальной полосой возникает гидродинамический клин. В случае несимметричного зазора и достаточно большой скорости прокатки в клине возникают неконсервативные силы, приводящие к возникновению автоколебаний [4–6]. Модель возникновения автоколебаний (чаттера) с учетом нестационарной смазки разработана в работах [7, 8], с использованием методов конечных элементов – в работах [9, 10]. Математическая модель клети с использованием уравнений Ван дер Поля предложена в работе [11–13].

Классическое уравнение Ван дер Поля имеет вид [14, 15]

t           0

здесь г - малая положительная постоянная.

Член при первой производной — е(1 — и ² ) меняет знак при увеличении виброперемещения U. При малых значениях виброперемещений знак при первой производной отрицательный и происходит мягкое возбуждение колебаний. С увеличением уровня виброперемещений после смены знака осциллятор переходит в равновесное состояние. И система совершает колебания с ограниченной амплитудой.

Кроме того, как показано в работе [15], в клети стана могут возникать параметрические колебания. Причиной могут быть переменная жесткость в зубчатом зацеплении редукторов и переменное трение рабочих валков при неравномерности зазора между валками и полосой в очаге деформации.

Линейный осциллятор с гармоническим, параметрическим возбуждением описывается уравнением Матье [16]:

% + 2 2(1 + f cos((2 t^x = 0. (2)

В многоклетьевых станах холодной прокатки и двухклетьевых реверсивных станах существенное влияние на процесс возникновения автоколебаний оказывает величина натяжения между клетями. На рис. 1 представлена принципиальная схема одноклетьевого реверсивного стана. В отличие от многоклетьевого стана натяжение осуществляется между клетью прокатного стана и левой и правой моталками, при этом прокат проводится в несколько проходов.

При каждом проходе натяжение прокатываемой полосы формируется рабочей клетью и соответствующей моталкой. В случае однопроходной прокатки натяжение полосы в клети стана создается непосредственно на разматывателе, на котором отсутствуют условия формирования неконсервативных гидродинамических сил.

Рис. 1. Принципиальная схема одноклетьевого реверсивного стана холодной прокатки Fig. 1. Schematic diagram of a single-cell reversible cold rolling mill

Однако на корпусе разматывателя консольно установлен заправочный ролик вместе с приводом. Этот ролик используется только во время подготовки стана к прокатке. Непосредственно во время прокатки он не используется, но ведет себя как динамический вибровозбудитель. Упругая заделка и угловые маятниковые колебания приводят к изменению во времени жесткости колебательной системы заправочного ролика. Такую колебательную систему можно рассматривать как параметрическую колебательную систему. При определенных условиях при воздействии внешней гармонической силы может возникать параметрический резонанс [15].

В качестве модели одноклетьевого прокатного стана, работающего в один проход непосредственно с разматывателем, можно использовать два осциллятора, соединенных упругой полосой. Прокатная клеть описывается уравнением Ван дер Поля, разматыватель – уравнением Матье. Та- кая модель позволяет исследовать влияние параметрических колебаний разматывателя, автоколебаний рабочей клети стана и влияние натяжения прокатываемой полосы на процесс синхронизации и захвата частот.

Для классического уравнения Матье зоны неустойчивости определяются диаграммой Айнса Стретта (рис. 2). Для этого уравнение (2) преобразовывается в уравнение [16]

% + (a + 2q co s2t)x = 0.                                                            (3)

Здесь a = 4ш²/ ш ², q = 2ш ^q f/ш ², т = ^ш f/^

Собственная частота системы - ш ₀ , частота вынужденных колебаний - ш .

Рис. 2. Границы зон неустойчивости на плоскости параметров (a, q) для уравнения Матье

Fig. 2. Boundaries of instability zones on the plane of parameters (a, q) For the Mathieu equation

Зависимость между собственными частотами и вынужденными колебаниями можно записать следующим образом:

ш ~ —. и

Здесь п - номер гармоники.

Координатная ось а соответствует квадрату номера гармоники, т. е. для первой гармоники а = 1, для второй гармоники а = 4, для пятой гармоники а = 25, для шестой гармоники а = 36 и т. д.

С учетом демпфирования уравнение Матье принимает вид [17, 18]:

X + 2цХ + (a + 2q os s2t)x = 0.                                                    (5)

Для /л = 0,1 на рис. 2 приведены уровни потери устойчивости (пунктирные линии). Как видно из рис. 2, потеря неустойчивости имеет пороговый характер.

Отличительной особенностью параметрических колебаний является изменение формы колебаний с увеличением номера гармоники. Первая гармоника представляет собой гармонические колебания, вторая – квазигармонические колебания. Начиная с третьей гармоники параметрические системы совершают сложные негармонические колебания. Теоретическое и экспериментальное исследование возникновения параметричеcких колебаний и потери устойчивости проведено в работе [19]. В качестве примера на рис. 3 приведены диаграмма Айнса Стретта и временные формы колебаний для ультрагармоник до 7 включительно, полученные экспериментально.

Разработка математических моделей и исследование условий возникновения автоколебаний, синхронизации и захвата частот двух осцилляторов типа Ван дер Поля с упругой связью проведено в работах [20–22]. Разработка моделей и исследование условий возникновения автоколебаний двух осцилляторов различного типа, например, осциллятора Ван дер Поля и осциллятора, описываемого уравнениями Матье, связанных жесткой упругой связью, проведены в работах [23, 24].

Рис. 3. Области возбуждения ультрагармонических колебаний и формы колебаний.

Эксперимент [19]

Fig. 3. Areas of excitation of ultraharmonic oscillations and waveforms.

Experiment by [19]

Промышленный эксперимент

Классический процесс возникновения автоколебаний на станах холодной прокатки сопровождается взрывным увеличением амплитуды колебаний подушек рабочих валков. Причем автоколебания, как правило, возникают на последних клетях многоклетьевых станов. Основным способом борьбы с автоколебаниями (чаттером) является контроль момента возникновения и снижение скорости прокатки или полный останов стана.

Для одноклетьевых станов холодной прокатки характерным является возникновение автоколебаний с низкими амплитудами колебаний подушек рабочих валков и высоким уровнем амплитуды колебаний разматывателя, если прокат происходит в один проход непосредственно с разма-тывателя на правую моталку. Причем автоколебания возникают при преодолении определенного порога амплитуды колебаний подушек рабочих валков и уровня колебаний разматывателя, т. е. при незначительном увеличении амплитуды колебаний подушек клети могут возникать автоколебания, приводящие к появлению дефекта поверхности прокатываемой полосы.

Построение численной модели одноклетьевого стана холодной прокатки

Упрощенную структурную схему стана, работающего в один проход, можно представить в виде двухмассовой колебательной системы, установленной на массивном фундаменте (рис. 4).

Колебательные звенья представляют собой массы на пружине с учетом сил демпфирования. Клеть стана холодной прокатки нелинейна, описывается уравнениями Ван дер Поля, разматыва-тель представим в виде параметрической колебательной системы, которая описывается уравнением Матье. Клеть и разматыватель связаны упругой прокатываемой полосой. Дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие движения колебательных звеньев, раскладываем на два уравнения первого порядка. В результате получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

– клеть реверсивного стана. Уравнение Ван дер Поля

X 1(t) = -^xo( t),

M1 • f 1(0;

^x 1(0^ + [21 + (b1 • (xo(0) }

• x1(0 + cl • (xo(0) + к(yo(0 - xo(0) = F(0 +

– разматыватель. Уравнения Матье с учетом демпфирования и малого параметра Ван дер Поля

y 1(£) = diyo(t)

M2 • ^y1(0j + yo0=0.

[ 22 + (b2 • (y o(0) )

• y1(0 + c2 • (1 — FM(t)) • yo(0) + к(xo(0 -

Рис. 4. Принципиальная схема динамической модели одноклетьевого стана

Fig. 4. Schematic diagram of a dynamic model of a single-cell mill

Параметры системы сведены в табл. 1.

Таблица 1

Параметры колебательной системы

Table 1

Parameters of the oscillating system

Параметры	Разматыватель	Клеть
Масса	М1	М2
Жесткость	c1	c2
Малый член уравнения Ван дер Поля	d1	d2
Демпфирование	b1	b2
Натяжение	k	k
Параметр уравнения Матье	FM (0 = MM cos(M • t)
Частота параметра Матье	Ω1
Амплитуда параметра Матье	UM
Сила, генерируемая рабочими валками	F 1(0 = Mb in(m • t)
Частота	Ω1
Амплитуда	U1
Начальные условия. Виброперемещения	x 0(0	x 1(0
Начальные условия. Виброскорость	y 0(0	y 1(t)

Численный эксперимент с использованием цифрового двойника

Параметрические колебания стана с частотой первой гармоники под действием параметра Матье с частотой, вдвое выше собственной частоты системы

Цифровая модель стана построена в пакете MathCAD. Параметры модели и начальные условия приведены в табл. 2 и 3.

Таблица 2

Таблица 3

Параметры цифровой модели стана в безразмерном виде

Table 2

The parameters of the digital mill model in dimensionless form

М1	М2	С1	С2	d1	d2	b1	b2	п	U	Ω1	UM	F
10	10	10	10	–0,0	–0,0	0,0	10,0	1	0	2	0,1	0

Начальные условия

Table 3

Initial conditions

х 0(t)	х 1(t)	у 0(0	у 1(0
0,0	0,0	0,01	0,0

Результаты моделирования параметрических колебаний для первой гармоники

Параметрические колебания механических систем, например колебания маятника, на первой гармонике представляют собой гармонические колебания [16]. Однако в монографии Тихиро Хаяси [19] приведены данные экспериментальных исследований колебаний параметрической системы для гармоник начиная с первой по двенадцатую, в которых получены сложные, негармонические колебания (см. рис. 3).

Параметрическая колебательная система при безразмерном демпфировании, равном 10,0, и амплитуде параметра Матье, равной 0,1, в соответствии с разработанной математической моделью совершает гармонические колебания, что согласуется с данными монографии [16]. На рис. 5 Приведены колебания параметра Матье (FM(t) и виброперемещения параметрической системы у 0(t). На рис. 6 приведена спектральная характеристика, на рис. 7 - предельный цикл. Частота колебаний параметра Матье в два раза выше частоты колебаний параметрической системы по первой гармонике.

Рис. 5. Виброперемещение и колебание параметра FM

Fig. 5. Vibration displacement and oscillation of the FM parameter

Рис. 6. Спектральная характеристика разматывателя

Fig. 6. Spectral characteristic of the uncoiler

Рис. 7. Предельный цикл разматывателя

Fig. 7. Decoiler limit cycle

Результаты моделирования параметрических колебаний системы для шестой гармоники

Автоколебания стана и дефект поверхности прокатываемой полосы появляются на частотах в диапазоне от 9 до 12 Гц. Источником автоколебаний могут быть неконсервативные силы клети стана либо ультрагармоническая синхронизация собственной частотой разматывателя и частоты вращения рабочих валков. На разматывателе консольно закреплен заправочный ролик, возбуждение которого происходит колебаниями в заделке. Заправочный ролик можно рассматривать как параметрическую колебательную систему. При воздействии на параметрическую систему внешнего гармонического воздействия с частотой вращения рабочих валков возможно возникновение параметрического резонанса на кратных частотах. Параметры модели стана для условий возникновения шестой гармоники и начальные условия приведены в табл. 4, 5. Результаты численного моделирования для шестой гармоники с частотой ΩМ = 0333 и амплитудой UM = 0,1 приведены на рис. 8-10. На рис. 8 приведены колебания параметра Матье (FM(t) и виброперемещения параметрической системы y0(t)). На рис. 9 показано отношение частоты вращения рабочих валков и частоты колебаний разматывателя. На рис. 10 приведена спектральная характеристика разматы-вателя, на рис. 11 – предельный цикл. Численное моделирование показало, что при амплитуде параметра Матье 0,1 колебательная система совершает гармонические колебания. В спектре частот 2 основные гармоники – собственная частота колебаний системы и частота параметра Матье (частота вращения рабочих валков).

Таблица 4 Параметры цифровой модели стана в безразмерном виде

Table 4 The parameters of the digital mill model in dimensionless form

М1	М2	С1	С2	d1	d2	b1	b2	п	U	ΩМ	UM	F
10	10	10	10	–0,0	–0,0	0,0	1,0	1	0	0.333	0,1	0

Начальные условия

Initial conditions

Таблица 5

Table 5

% 0(0	% 1(0	у 0(0	у 1(0
0,0	0,0	0,1	0,0

Рис. 8. Виброперемещение

Fig. 8. Vibration displacement

Рис. 9. Виброперемещение

Fig. 9. Vibration displacement

Рис. 10. Спектральная характеристика виброперемещения разматывателя

Fig. 10. Spectral characteristic of vibration displacement of the uncoiler

Рис. 11. Предельный цикл

Fig. 11. Limit cycle

Результаты моделирования параметрических колебаний системы для шестой гармоники с амплитудой параметра Матье, равной 1,4

Проведено численное моделирование устойчивости параметрических систем для различных величин параметра Матье и уровня демпфирования. Критические параметры Матье параметрических систем в зависимости от номера гармоники приведены для безразмерного демпфирования, равного 1,0 и 0,1, на рис. 12.

Рис. 12. Зависимость критического параметра Матье от номера гармоники для безразмерного демпфирования, равного 1,0 – кривая 1 и 0,1 – кривая 2

Fig. 12. Dependence of the Mathieu critical parameter on the harmonic number for dimensionless damping equal to 1.0 – curve 1 and 0.1 – curve 2

Для шестой гармоники критическое значение параметра Матье равно 1,4. Параметры цифровой модели стана в закритическом состоянии приведены в табл. 6. Начальные условия соответствуют табл. 3.

Таблица 6

Параметры цифровой модели стана в закритическом состоянии

Table 6

Parameters of the oscillatory system in a supercritical state

М1	М2	С1	С2	d1	d2	b1	b2	Ω	U	ΩМ	UM	F
10	10	10	10	–0,0	–0,0	0,0	1,0	1	0	0.333	1,4	0

Формирование установившихся колебаний, виброперемещения и виброускорения в закрити-ческой зоне приведены на рис. 13 и 14. На рис. 15 приведено установившееся сложное негармоническое колебание параметрической системы. Спектральные характеристики для виброперемещения и виброскорости приведены на рис. 16 и 17, на рис. 18 приведен предельный цикл, странный аттрактор. В спектре частот присутствуют ультрагармоники и субгармоники. Составляющие спектра зависят от уровня демпфирования и амплитуды параметра Матье.

Рис. 13. Виброперемещение. Формирование установившихся колебаний

Fig. 13. Vibration displacement. The formation of steady-state fluctuations

Рис. 14. Виброскорость. Формирование установившихся колебаний

Fig. 14. Vibration velocity. The formation of steady-state fluctuations

Рис. 15. Виброскорость

Fig. 15. Vibration velocity

Рис. 16. Спектральная характеристика виброперемещения

Fig. 16. Spectral characteristic of vibration displacement

Рис. 17. Спектральная характеристика виброскорости

Fig. 17. Spectral characteristic of vibration velocity

Рис 18. Предельный цикл. Странный аттрактор

Fig. 18. Limit cycle. The strange attractor

Заключение

• 1.    Построен цифровой двойник (математическая модель) одноклетьевого стана холодной прокатки при работе в один проход. Математическая модель представляет собой два осциллятора, соединенных упругой связью. Один осциллятор моделирует клеть и описывается уравнением Ван дер Поля. Второй осциллятор моделирует поведение разматывателя и описывается уравнением Матье. Упругая связь моделирует прокатываемую полосу.

• 2.    Первые гармоники параметрической системы совершают гармонические колебания при любых уровнях демпфирования и любой амплитуде параметра Матье. Частота параметра Матье в два раза превосходит частоту собственных колебаний первой гармоники системы.

• 3.    Третья и последующие гармоники представляют собой гармонические колебания при уровне безразмерного демпфирования ниже 1,0 и амплитуды параметра Матье меньше 1,0.

• 4.    Третья и последующие гармоники представляют собой сложные негармонические колебания, если амплитуда параметра Матье превышает критическую величину. Для гармоник от 3-й до 7-й пороговое значение критической амплитуды параметра Матье находится в пределах от 1,2 до 1,7.