Полиограниченность относительно части фазовых переменных решений одной нелинейной управляемой системы в аспекте реализации принципа развивающего обучения



Методическое обеспечение формирования математической культуры должно реализоваться с опорой на принципы непрерывности, индивидуальности и поэтапности и способствовать усилению интегративной и методологической сущности фундаментального и прикладного математического знания. Требования к построению методического обеспечения включают в себя непрерывность изучения всех разделов математики и всех компонентов формирования математической культуры, акцент на наиболее значимых в профессиональной деятельности аспектах математической подготовки, обеспечение индивидуализации образовательной траектории в условиях региональной билингвальной языковой среды, регулирование сложности учебного материала как с позиции математики, так и с позиции языка.

В целом проблема формирования математической культуры студента в учебном процессе определяется новой ролью математического знания в постиндустриальном обществе и потребностью в более высоком уровне математической культуры личности, рассматриваемой как компонент ее общей культуры. Этот процесс в регионах должен опираться на взаимосвязь математической культуры и исторически обусловленных национальных особенностей. С точки зрения подготовки по определенной специальности формирование математической культуры должно осуществляться с учетом специфики профессиональной деятельности и ее отражения в профессиональной культуре специалиста.

ПРИМЕЧАНИЯ

• ¹    См.: Гессен С. И. Основы педагогики. Введение в прикладную философию / С. И. Гессен. М., 1982.

• ²    См.: Библер В. С. От наукоучения — к логике культуры : Два философских введения в двадцать первый век / В. С. Библер. М., 1990.

• ³    См.: Бахтин М. М. Эстетика словесного творчества / М. М. Бахтин. М., 1979.

• ⁴    См.: Игнатов С. В. Социально-культурные факторы развития математического знания : авто-реф. дис. ... д-ра пед. наук / С. В. Игнатов. М., 2000.

• ⁵    См.: Исхакова 3. Л. Современная этноязыковая ситуация в Республике Татарстан / 3. А. Исхакова, Р. И. Зиннурова, Р. М. Мусина. Казань, 2002 ; Исхакова 3. Л. Двуязычие в городах Татарстана (1980—90 гг.) / 3. А. Исхакова. Казань, 2001.

Поступила 19.12.05.

ПОЛИОГРАНИЧЕННОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ В АСПЕКТЕ РЕАЛИЗАЦИИ ПРИНЦИПА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ

В работах В. И. Зубова, В. А. Плиса, В. В. Румянцева, А. С. Озиранера, Т. Иосидзавы1 доказаны теоремы о равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в пределе решений нелинейных систем дифференциальных уравнений относительно всех фазовых переменных. В развитие этих результатов в данной работе доказана теорема о полиограниченности, т. е. о равномерной (x, ^-ограниченности и о равномернойу-ограниченности в пределе, решений относительно части переменных одной нелинейной управляемой системы.

В дальнейшем будем писать: решения системы (x, у)-ограничены и равномерно у -ограничены в пределе. Здесь вектор X = (х^т, у^т, z^T)^T. Индекс т означает транспонирование. Под нормой вектора будем понимать евклидову норму.

Итак, рассмотрим управляемый динамический процесс, моделируемый системой дифференциальных уравнений dx

= Фг( t, x, y, z), dy

= ф2(t, x, y, z), dx dz

— = ^Ф 3 ⁽ t , x , y , z ) , dt

где Ф i ( t , x , y , z ) e C ( J ⁺ x R m ¹ x R m ² x R m ³ ) ^

—> mi^mi m, + m₄ + m, = n i = 1, 2, 3 9   12   3    9        .

Справедлива следующая теорема.

T е о р е м а. Предположим, что:

• 1)    для любой точки ⁽ t о , ^x о , y о , z _о) ^e

e J ⁺ x R m ¹ x R m ² x R m ³ существует единственное решение ( x ( t , t о , x о , y о , z о ), y ⁽ t , t о , x о , z о ), z ⁽ t , t _о, ^x _о, y _о, ^z _о)) системы (1);

• 2)    существует единственное решение системы

c(r ) — непрерывная функция и, кроме того, c(r) >  0 при r >  L 1 ;

• 5)    существуют постоянная L 2 >  0 , непрерывная функция W ( t , x , z ) , определенная на множестве { 0 <  t < ^,| |x|| - L ₂ ,||z|| < ~ } , и положительная функция h₃ e C ( J ⁺ ^ J ⁺ ) такие, что

• ai(||x|I) < W(t,x,z) < M|x|I),    (2J

|W (t, x, z) - W (t,x,z)| <  ^ з (||x||) , (2 2 ) dW ( t , x, z)

------|(2) <-ci(||x|), ||x|| - L2, (2з) где a1(r) и b1(r) — непрерывные возрастающие функции, причем lim a1(r) = ^, c(r) — неотрицательная н^прерывная функция и h3(r) > 0, ci(r) - 0, r - L2,     (3i)

lim r ^^

^c 1 ^{( r} )

h 3 ^{( r} ) h 1 ^{( r} )

= ^ .

Тогда решения системы (1) равномерно (x, у )-ограничены и равномерно у-ограничены в пределе.

Доказательство. Предположим, что l > max(L1,L2). Тогда существуют q = q(l), q1 = q1(l) такие, что dx

= Ф 1 ( t , x , о, z ), dt

^{x ( t} 0 ) = x o , ^{z ( t} 0 ) ^z 0 ;

a ( q ( l )) >  b ( l ) >  l ,

-(ТЙ --max - 1

h ₁( r ) h ₂( r ) ^r <  q ( l )

3) существуют непрерывные функции

для r >  q ^{( l} ) , a 1 ( q ( l )) >  b 1 ( q 1 ( l )) .

h 1 (||x||) и h(||y||) такие, что

|^ф 1⁽ t , x , y , z ) - ^ф 1⁽ t , x ^,о , z )|| <  h ⁽|| x |I) h 2⁽ y I)

при ( t ,x, y , z ) e J ⁺x R m x R m x R m ³ ;

4) существуют постоянная L1 и непрерывная функция V(t, x, y, z), определенная на множестве { о < t < +^,||x | < ~, IIy|| - A,zll <^ Ь такая, что а(|М|) < V(t-x, У, z) < b(||y|I), dV (t, x, y, z) dt

I (1) <^-c(lly| D, IM - L ,

где a(r ) и b(r) — непрерывные возрастающие функции, причем lim a(r ) = ^ , r ^^

Имеем ||x ( t , t о , x о , y о , z о)|| <  q 2 ( l ) , ||y ( t , t о , ^x о , y о , ^z о )|| <  q ( ^l ) при t > t 0 , ||^x0|| <  ^l , 11^01| <  ^l , ||z0I <^.

Если это не так, то возможны два случая.

Первый случай. Существуют числа 1 ₂ >  t 1 >  t₀ такие, что

||^{x (} t 1 , t о , ^x о , y о , ^z о)|| = q 1 ^{( l} ) , I x ⁽ t 2 , t о , x о , y о , z о)| = q 2 ^{( l} ) , q 1^{( l} ) <  x ⁽ t , t о , x о , y о , z о ) <  q 2^{( l} ) , t e (t_pt₂) , y ⁽ t , t о , ^x о , y о , z о)|| <  q ^{( l} ) , z ⁽ t , t о , ^x о , y о , ^z о )|| <^, t e [ t i , 1 2 ) .

Второй случай. Существуют числа 14 > tз > tо такие, что ||y(t3,t0,x0,y0,z0)|| = l, IIУ(t4, t0, x0,У0, z0)11 = q(l), l < |y(t, t0,x0,у0,z0)|| < q(l), tе (13,14),

II x ⁽ t , t 0 , x 0 , У 0 , z 0)1 <  q 2 ^{( l} ) , t e [ t 3 , t 4 ) ,

II z ⁽ t , t 0 , x 0 , У 0 , z 0 )11 <~, t >  t o .

Во dV (t, x(t)) dt

втором случае имеем

1 (1) < ⁰ , t _е [ t ₃, t ₄ ] , _и, значит,

a ⁽ q ^{( l} )) <  V ⁽ t 4 , x ⁽ t 4 ), У ⁽ t 4 ), z ⁽ t 4 )) <

< V ⁽ t 3 , x ⁽ t 3 ), У ⁽ t 3 ), Z ⁽ t 3 )) <  b ⁽ I ) .

Но это противоречит тому, что a ( q ( l )) >  b ( l ) .

dW ( t , x ( t ), z ( t )) dt

1 (2) <

1 1 +1 < I|y(t)|| <  q ( l ). Тогда можно указать число t ₅ е [ t ₀ , t ₀ + T 1 ( l ) ] такое, что ||У (t 5 )|| <  L 1 + 1 , т ( l ):: = ( b ( l ) - a i( li + 1))/ m ( l ).

Выбором числа q(l [ + 1) можно добиться того, чтобы ||y(t )|| <  q(l j + 1) при t >  1 ₅ . В результате будем иметь IIy ^{( t} )|| <  q ^{( l} 1 ⁺ 1) при t >  t o + T 1 ( l ) .

Выберем теперь l3 > l2 так, чтобы выполнялось неравенство c2 (r) /(hj (r)h3 (r)) - max l2 (r) > 1

при r <  q(l 1 + 1).

Пусть Y = Y(l) есть заданное положительное число, для которого hi(||x| I) h3(||x| b > Y2( p),        если только l2 < ||x|| < q2 (l). Тогда для любого t > 10 + t(1 ), для которого l3 < ||x(t)|| < q2(l), будем иметь

W ( t, x (t X z( t)) < - hi( x (t )||) h3(| x(t )||)c 2 (| x (t )||), i /(h (| x (t )|) h 3 (| x (t )|)) - h 2 (|| y (t )|) < y2 (l).(4)

Из (4) следует, что существует число 1 ₆ е [ t o + T 1 ( l ), t o + T 1 ( l ) + t 2 ( l ) ] такое, что ||x(t, t_o, x_o, y _o, z_o )|| < l₃ ■ Следовательно, ⁽||^{x( t} 6 , t o , x o , y o , z o )|| ^Л I|y ^{( t} 6 , t o , x o , y o , z o )X <  ^l 4 , ||^z(t , t o ,^x o , y o , z ol <~ , l₄ = max(l₃, q(l 1 + 1)).

Поэтому для всех t >  t ₃ справедливы неравенства

| x ( t , t o , ^x o , y o , ^z o)|| <  q 2 ^{( l} 4 ) ,

I y ^{( t} , t o , x o , y o , z o )!! < q ^(l 4 ) .

Таким образом, данные неравенства справедливы для всех t >  t _o + T 1 ( l ) + t ₂ ( l ) , что и доказывает равномерную у-огра-ниченность в пределе решений системы (1), т. е. выполнение условий 1—5, теоремы. Теорема доказана.