Полное описание стабильных элементов свободной нильпотентной группы F2, 12

Элемент g группы G называется стабильным, если для любого автоморфизма φ ∈ Aut ( G ) выполняется условие φ ( g ) = g .

Вопросами о существовании нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах занимались В.В. Блудов, А. Папистас, Е. Форманек.

Так, в 1998 году В.В. Блудов [1] доказал, что в свободных нильпотентных группах ранга 2, ступени 4 k , k ≥ 2, такие элементы существуют и тем самым ответил на вопрос, поставленный А. Мясниковым в электронном проекте MAGNUS

: Пусть G - свободная нильпотентная группа конечного ранга r. Пусть элемент g ∈ G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?

В 2001 году A. Папистас [9] и E. Форманек [7], на основании работ Ф. Вефера [10] и М. Барроу [5,6], указали необходимые и достаточные условия существования нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах. Однако, такие элементы достаточно сложно найти. Примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп впервые привел В.В. Блудов [1]. В 2010 году автором [2] был разработан метод нахождения нетривиальных стабильных элементов группы F_rc - свободной нильпотентной группы ранга r и ступени c. Данный метод был использован при доказательстве единственности нетривиального стабильного элемента группы F 2 ₈ (с точностью до его степеней) [4], а для группы F 2 ₁₂ позволил найти подгруппу ранга 9, любой элемент которой является стабильным элементом этой группы [3]. Отметим, что при построении этой подгруппы рассматривались только базисные коммутаторы с однородным вхождением образующих. С целью получить полное описание стабильных элементов в группе F 2 ₁₂ в данной работе будут рассмотрены базисные коммутаторы с неоднородным вхождением образующих.

1. Вспомогательные сведения

В работе мы будем использовать базисные коммутаторы , определени е которых можно найти в [8]. Для более наглядного восприятия формул для умножения элементов используем знак + и квадратные скобки заменяем на круглые.

Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы F _2,12 со свободными образующими a , b :

Ф₁₂ : a ^ a + b , b ^ b ;

Ф₂₁ : a ^ a , b ^ a + b ; a 1 : a ^ - a , b ^ b ;

a ₂: b ^ - b , a ^ a .

Известно, что стабильные элементы лежат в центре группы. Далее, пусть элемент g - центральный элемент группы F212, равный линейной комбинации базисных коммутаторов us с целыми коэффициентами ms.

Справедливы следующие утверждения:

g = ^ msus был стабильным

Утверждение 1. Для того чтобы элемент относительно автоморфизмов ai, i = 1,2, необходимо и достаточно, чтобы число вхождений каждого из образующих в коммутаторы us было четным.

Утверждение 2. Для того чтобы элемент g был стабильным, необходимо и достаточно, чтобы g был неподвижен относительно автоморфизмов ф₁₂ и ф₂₁ .

Обозначим через V a a - множество всех базисных коммутаторов веса

12, в которые образующий а входит а₁ раз, а образующий b входит а ₂

раза. Очевидно, что а₁ + а ₂ = 12.

Утверждение 3. Пусть g = ^ msus -

линейная комбинация базисных

коммутаторов us из Va a , ms е Z. Тогда автоморфные образы элемента g определяются следующим образом:

а gф12 = g + Z wk k=1

где  wk - линейная комбинация коммутаторов, полученных из us заменой к вхождений образующего а на b ;

^а 2

g^{ф 21} = g ⁺ Z vk , к = 1

где  vk - линейная комбинация коммутаторов, полученных из us заменой k вхождений образующего b на а .

При этом, если w ₁ или v ₁ отличны от нуля, то элемент g является нестабильным.

Множество всех базисных коммутаторов веса 12 мы разобьем на подмножества Ai коммутаторов одного вида в зависимости от расположения коммутаторных скобок. Для этого введем обозначения для расположения скобок в базисных коммутаторах. Считаем по определению, что все левонормированные базисные коммутаторы [х^...,xm] веса m, где x1,k,xm е{а,b}, имеют вид (m). Пусть ui-коммутатор вида (ki), i = 1,., s . Тогда считаем, что коммутатор [u 1,k, um ] имеет вид (k 1,., ks). Через M1 обозначим множество базисных коммутаторов вида (12) , M2 - множество базисных коммутаторов видов (k 1 k2), где k 1 + k2 = 12 и k 1 > k2 > 1.

Справедливо утверждение:

Утверждение 4. Если в представление элемента g е F212 входит линейная комбинация элементов из M1 или M2 , то существует автоморфизм ф, под действием которого gф Ф g.

Рассмотрим следующие виды коммутаторов:

§ 1 = (8,2,2); § 2 = (5,2,5); § 3 = (7,2,3); §₄ = (6,2,4);

§ 5 = (6,3,3); § 6 = (3,3,6); § 7 = (4,2,6); § 8 = (4,4,4);

§ 9 = (6,2,2,2); 5 10 = (4,2,2,2,2); 5 _П = (4,3,5); § 12 = (3,2,2,5);

§ 13 = (5,2,2,3); § 1 ₄ = (3,2,2,2,3); § 15 = (5,3,4); § 1 ₆ = (3,2,3,4);

5„ = (4,2,3,3); 5 18 = (3,3,3,3); 5 19 = (4,2,2,4); 5 20 = ((4,2),(4,2));

5 21 = ((6,1),(3,2)); 5 22 = ((4,3),(3,2)); 5 23 = ((5,2),(3,2));

5 24 = ((3,3), (4,2)); 5 ₂ 5 = ((3,3), (3,3)); 5 ₂ б = ((3,2,2), (3,2)).

Множество базисных коммутаторов вида 5j , j = 1, k ,26, обозначим через A j . Количество элементов множества A j обозначим через r^ . Нетривиальную линейную комбинацию элементов u ^{( j} ■ из A j обозначим

rj

( i 11                            т т I ~ ( i ) i X ¹ ( i ) ( i )                     ( i ) ( i )            ( i )

-

m ~^{( J} ) ) , то есть Uj ( m ^{( J} ) ) = \ mi^J ) ui ^{( J} ) , где m ⁽,, m ^{( J} 2,..., m ⁽ "

i=1                                                             j целые числа, одновременно не равные нулю, u(ji е A j.

Рассмотрев все возможные варианты базисных коммутаторов из A j, j = 1,к,26, получаем, что элементы из Aj в результате одной замены какого-либо образующего на другой переходят в сумму коммутаторов из Ai, где i зависит от j. Так, например, элементы из A1 переходят в сумму коммутаторов из Ai, i = 1,9,12,13,19,20,23, что записываем в виде

A 1 ^ A 1 + A ₉ + A ₁₂ + A ₁₃ + A ₁₉ + A ₂₀ + A ₂₃. Далее устанавливаем такие же связи для остальных A j , j = 1, k ,26 :

A2 > A 2 + A12 + A 23; A3 > A 3 + A13 + A16 + A17 + A22 + A 24 ;

^A 4 ^ ^A 4 + ^A 16 + ^A 19 ^{; A} 5 ^ ^A 5 ^{+ A} 6 ^{+ A} 17 ^{+ A} 18 ^{+ A} 25 ; ^A 6 ^ ^A 6 ^{+ A} 24 ^{+ A} 25 ;

^A 7 ^ ^A 7 ^{+ A} 20 ^{+ A} 24 ; ^A 8 ^ ^A 8 ; ^A 9 ^ ^A 9 ^{+ A} 10 ^{+ A} 14 ^{+ A} 26 ; ^A 10 ^ ^A 10 ;

^A 11 ^ ^A 11 ^{+ A} 22^;

^A 12 ^^A 12 ^+A 26 ; ^A 13 ^^A 13 ^+A 14^{; A} 14 ^ ^A 14 ; ^A 15 ^ ^A 15 ^{+ A} 16 ; ^A 16 ^ ^A 16 ;

^A 17 ^ ^A 17 ^{+ A} 24 ; ^A 18 ^ ^A 18 ^{+ A} 25 ; ^A 19 ^ ^A 19 ;

A ₂₀

^ ^A 20 ; ^A 21 ^ ^A 21 ^{+ A} 22 ^{+ A} 23 ; ^A 22 ^ ^A 22 ; ^A 23 ^ ^A 23 ^{+ A} 26 ;

^A 24 ^ ^A 24 ; ^A 25 ^ ^A 25 ; ^A 26 ^ ^A 26 •

Чтобы установить, входят ли, например, базисные коммутаторы из A ₁₂ в стабильный элемент, надо сначала выполнить все необходимые вычисления для коммутаторов из A 1 и A ₂, так как под действием автоморфизмов а 1 или а ₂ автоморфные образы элементов из A 1 и A ₂ содержат коммутаторы из A ₁₂.

• 2.    Основной результат

Нами были установлены связи между подмножествами базисных коммутаторов одного и того же вида в зависимости от автоморфных образов элементов этих подмножеств. Множества Va a , а1 + а2 = 12, также связаны посредством коммутаторов, получающихся в их образах относительно автоморфизмов ϕ12 или ϕ21 . Согласно утверждению 1, мы рассматриваем коммутаторы из Va ,a для четных целых чисел a1 и a2 . Из видов коммутаторов, являющихся элементами множеств Δ j , j = 1,K,26, следует, что число вхождений каждого образующего в эти коммутаторы не меньше 3. Следовательно, коммутаторы из V2,10 и V10,2 входят только в M1 или M2 , а значит, согласно утверждению 4, всякая их нетривиальная линейная комбинация не является стабильной. Поэтому, нас интересуют следующие распределения числа вхождений образующих a и b в базисные коммутаторы: один из образующих входит 4 раза, а другой - 8 раз и каждый из образующих входит одинаковое число раз. Таким образом, в разложении элемента g могут входить базисные коммутаторы множеств V4,8 , V8,4 , V6,6 .

Пусть g = ∑ msus . Если коммутаторы us принадлежат V4,8 , то в образе элемента g под действием автоморфизма ϕ12 , элемент w1 является линейной комбинацией коммутаторов из V3,9 . Если коммутаторы us принадлежат V8,4 , то в автоморфном образе gϕ12 элемент w5 является линейной комбинацией коммутаторов из V3,9 . Наконец, если коммутаторы us принадлежат V6,6 , то в автоморфном образе gϕ12 линейная комбинация коммутаторов из V3,9 задается элементом w3 . Таким образом, если в представление элемента g входят базисные коммутаторы из множеств V4,8 , V8,4 и V6,6 , то надо рассмотреть в gϕ12 линейные комбинации w1 , w3 и w5 , соответственно для коммутаторов из множеств V4,8 , V6,6 и V8,4 , при условии равенства нулю линейной комбинации, полученной в результате замены одного вхождения образующего a на b в коммутаторах из V8,4. Подобным образом проводим рассуждения и для автоморфизма ϕ21 . Так, если в представление элемента g входят базисные коммутаторы из множеств V4,8 , V8,4 и V6,6 , то надо рассмотреть в gϕ21 линейные комбинации v1 , v3 и v5 , соответственно для коммутаторов из множеств V8,4 , V6,6 и V4,8 , при условии равенства нулю линейной комбинации, полученной в результате замены одного вхождения образующего b на a в коммутаторах из V4,8 . Поэтому, чтобы найти стабильный элемент с неоднородным вхождением образующих, надо сначала установить линейные комбинации, полученные в результате замены одного вхождения образующего a на b в коммутаторах из V8,4 и в результате замены одного вхождения образующего b на а в коммутаторах из V48. Проверить полученные линейные комбинации на их равенство нулю.

Теорема: Среди линейных комбинаций базисных коммутаторов с неоднородным вхождением образующих в свободной нильпотентной группе F 2 ₁₂ нет нетривиальных стабильных элементов.

Доказательство: Пусть m ^{( j )}, m ⁽ j 2 ,..., m ⁽ ^ - целые числа, одновременно не равные нулю. Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию ( )\               ( ) ( )                                                              ( )

Uj ( mj ⁾ ) = ^ m - j ⁾ u ⁽ j ⁾ базисных коммутаторов u ⁽ j- eA j с неоднородным i = 1

числом вхождений образующих. Выделим два случая:

Случай 1. Коммутаторы u ^{( j}i принадлежат множеству V ₈₄.

Рассмотрим множество A 1 , оно содержит единственный базисный коммутатор u ⁽¹⁾ = (( abbaaaaa )( ab )( ab )), входящий в V ₈₄. Указанный элемент u ₁⁽¹ⁱ не является стабильным, так как применив к нему автоморфизм ф ₁₂ получим, что в разложение ( u ⁽¹⁾ j" ¹² входит элемент (( abbbaaaa )( ab )( ab )) с коэффициентом 5 m ⁽¹⁾ * 0.

Рассмотрим множество A ₂. Его элементами, входящими в V ₈₄ являются u ⁽²⁾ = (( abaaa )( ab )( abbaa )) и u 2 ²⁾ = (( abbaa )( ab )( abaaa )). Применим к элементу U ₂( m ⁽²⁾) = ^ mi ⁽²⁾ ui ⁽²⁾ автоморфизм ф ₁₂. Запишем линейную i = 1

комбинацию базисных коммутаторов, полученных из ui ⁽²⁾, i = 1,2 заменой одного вхождения образующего a на b и принадлежащих A ₂ :

(3 m ⁽²⁾ + 3 m 2 ²⁾)(( abbaa )( ab )( abbaa )) + 2 m ⁽²⁾(( abaaa )( ab )( abbba )) + + 2 m 2 ²⁾(( abbba )( ab )( abaaa ))

Так как m 22 ⁾ * 0 или m ⁽²⁾ * 0, то все коэффициенты полученной линейной комбинации одновременно не равны нулю.

Рассмотрим множество A ₃. Базисные коммутаторы ui ⁽³⁾, входящие в V _{8 4} есть u ⁽³⁾ = (( abbaaaa )( ab )( aba )) и u 2 ³⁾ = (( abaaaaa )( ab )( abb )). Линейная комбинацию базисных коммутаторов, полученных из ui ⁽³⁾, i = 1,2 заменой одного вхождения образующего a на b и принадлежащих A ₃

равна

( m ⁽³⁾ + 5 m 2 ³⁾)(( abbaaaa )( ab )( abb )) + 4 m ⁽³⁾ (( abbbaaa )( ab )( aba )) + + 5 m 2 ³⁾(( abbaaaa )( ab )( abb )).

Полученная линейная комбинация входит в автоморфный образ элемента U з ( m ~⁽³⁾ ) , а так как хотя бы одно из чисел m ⁽³⁾ или т 2 ³⁾ отлично от нуля, то элемент U ₃ ( т ⁽³⁾ ) - нестабильный.

Рассмотрим множество А ₄. Определим базисные коммутаторы u ⁽⁴⁾, входящие в V _{8 4}: u ⁽⁴⁾ = (( abaaaa )( ab )( abba )) и u 2 ⁴⁾ = (( abbaaa )( ab )( abaa )).

Тогда (4 m ⁽⁴⁾ + 2 m 2 ⁴⁾)(( abbaaa )( ab )( abba )) + 3 m 2 ⁴⁾(( abbbaa )( ab )( abaa )) +

+ m^ ( abaaaa )( ab )( abbb ))

-

коммутаторов, полученных из

линейная комбинация базисных

u ⁽⁴⁾ ( i = 1,2) заменой одного вхождения

образующего а на b и принадлежащих А ₄. В этой комбинации не все

коэффициенты одновременно равны нулю, следовательно, U ₄ ( m^w )

-

нестабильный элемент.

Аналогичным образом определяются линейные комбинации Uj ( m ( j ) ) , 5 <  j <  26 и для каждой из них доказывается существование нетривиальной линейной комбинации базисных коммутаторов в автоморфном образе ( Uj ( m ⁽ j ) ) ^{ф 21}, что в свою очередь влечет нестабильность Uj ( m ( ^j ) ) относительно автоморфизма ф₁₂ .

Случай 2. Коммутаторы u ^{( j}i принадлежат множеству V ₄₈.

Для всех j = 1, k ,26 определяем элементы, одновременно принадлежащие А j и V _{4 8}. Затем составляем линейные комбинации Uj ( m^4j ) ) и действуем на них автоморфизмом ф ₂₁. Заменив одно вхождение образующего b на a и разложив полученные коммутаторы по базисным, вычисляем коэффициенты линейной комбинации базисных коммутаторов, входящей в образ ( Uj ( m ⁽ j ) )) ^{ф 21}. Далее проверяем равенство нулю всех найденных коэффициентов, зависящих от чисел m ^{( j )}, m ^{( j} 2 ,..., m ⁽ r), одновременно не равных нулю. Приведем вычисления, например, для j = 15 . Определим элементы множества А ₁₅, входящие в

V

u ⁽¹⁵⁾ = (( abbbb )( abb )( abba )),

u 2 ¹⁵⁾ = (( abbbb )( aba )( abbb )),

u 3 ¹⁵⁾ = (( abbba )( abb )( abbb )). Применим к элементу U ₁₅( m ⁽¹⁵⁾) = ^ m ⁽¹⁵⁾ u ⁽¹⁵⁾ i = 1

автоморфизм ф ₂₁. Запишем линейную комбинацию базисных коммутаторов, полученных из ui ⁽¹⁵⁾ ( i = 1,2,3) заменой одного вхождения образующего b на a и принадлежащих А ₁₅:

(3 m ⁽¹⁵⁾ + 2 m 3 ¹⁵⁾)(( abbba )( abb )( abba )) + ( m ⁽¹⁵⁾ + 2 m 2 ¹⁵⁾)(( abbbb )( aba )( abba )) + + m ⁽¹⁵⁾(( abbbb )( abb )( abaa )) + (3 m ₂ ¹⁵⁾ + m 3 ¹⁵⁾)(( abbba )( aba )( abbb )) +

+ 2 m 3 ¹⁵⁾(( abbaa )( abb )( abbb )).

Так как m ⁽¹⁵⁾, m⁽¹⁵⁾, m ⁽¹⁵⁾ одновременно не равны нулю, то хотя бы один из коэффициентов полученной линейной комбинации отличен от нуля. Действительно, предположив противное

3 m <¹⁵⁾ + 2 m 3 ¹⁵⁾ = 0, m ⁽¹⁵⁾ + 2 m 2 ¹⁵⁾ = 0, 3 m 2 ¹⁵⁾ + m 31 ⁵⁾ = 0,

m(15) = 0, 2m315) = 0, мы получим   m(15)=m (152)=m (15з= 0,   что противоречит выбору последовательности чисел m(15-, i = 1,2,3 .

Для остальных A j доказательство проводится подобным образом. При этом, для каждого из множеств A j проверено, что среди линейных комбинаций элементов этих множеств нет нетривиальных стабильных элементов.

С учетом результатов [3] получено полное описание стабильных элементов группы F ₂₁₂ , а именно, справедлива теорема:

Теорема: В свободной нильпотентной группе F 2 ₁₂ существует всего 9 линейно независимых стабильных элементов.

Заключение

Показано применение метода нахождения стабильных элементов для поиска стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах ранга 2 ступени 12.

Автор благодарен профессору Блудову В.В. за постановку вопросов и внимание к работе.