Полное описание стабильных элементов свободной нильпотентной группы F2, 12
Автор: Ковыршина Анна Ивановна
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Алгебра и геометрия
Статья в выпуске: 2, 2015 года.
Бесплатный доступ
Настоящая работа посвящена поиску стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих в свободной нильпотентной группе ранга 2 ступени 12. Изучены автоморфные образы коммутаторов с неоднородным вхождением образующих. Доказана теорема о том, что среди нетривиальных линейных комбинаций таких элементов нет стабильных. Рассмотрен случай построения стабильного элемента, состоящего одновременно из базисных коммутаторов, как с однородным, так и с неоднородным вхождением образующих.
Нильпотентные группы, автоморфизмы групп, неподвижные точки
Короткий адрес: https://sciup.org/14835141
IDR: 14835141
Текст научной статьи Полное описание стабильных элементов свободной нильпотентной группы F2, 12
Элемент g группы G называется стабильным, если для любого автоморфизма φ ∈ Aut ( G ) выполняется условие φ ( g ) = g .
Вопросами о существовании нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах занимались В.В. Блудов, А. Папистас, Е. Форманек.
Так, в 1998 году В.В. Блудов [1] доказал, что в свободных нильпотентных группах ранга 2, ступени 4 k , k ≥ 2, такие элементы существуют и тем самым ответил на вопрос, поставленный А. Мясниковым в электронном проекте MAGNUS
: Пусть G - свободная нильпотентная группа конечного ранга r. Пусть элемент g ∈ G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?
В 2001 году A. Папистас [9] и E. Форманек [7], на основании работ Ф. Вефера [10] и М. Барроу [5,6], указали необходимые и достаточные условия существования нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах. Однако, такие элементы достаточно сложно найти. Примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп впервые привел В.В. Блудов [1]. В 2010 году автором [2] был разработан метод нахождения нетривиальных стабильных элементов группы Frc - свободной нильпотентной группы ранга r и ступени c. Данный метод был использован при доказательстве единственности нетривиального стабильного элемента группы F 2 8 (с точностью до его степеней) [4], а для группы F 2 12 позволил найти подгруппу ранга 9, любой элемент которой является стабильным элементом этой группы [3]. Отметим, что при построении этой подгруппы рассматривались только базисные коммутаторы с однородным вхождением образующих. С целью получить полное описание стабильных элементов в группе F 2 12 в данной работе будут рассмотрены базисные коммутаторы с неоднородным вхождением образующих.
1. Вспомогательные сведения
В работе мы будем использовать базисные коммутаторы , определени е которых можно найти в [8]. Для более наглядного восприятия формул для умножения элементов используем знак + и квадратные скобки заменяем на круглые.
Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы F 2,12 со свободными образующими a , b :
Ф12 : a ^ a + b , b ^ b ;
Ф21 : a ^ a , b ^ a + b ; a 1 : a ^ - a , b ^ b ;
a 2: b ^ - b , a ^ a .
Известно, что стабильные элементы лежат в центре группы. Далее, пусть элемент g - центральный элемент группы F212, равный линейной комбинации базисных коммутаторов us с целыми коэффициентами ms.
Справедливы следующие утверждения:
g = ^ msus был стабильным
Утверждение 1. Для того чтобы элемент относительно автоморфизмов ai, i = 1,2, необходимо и достаточно, чтобы число вхождений каждого из образующих в коммутаторы us было четным.
Утверждение 2. Для того чтобы элемент g был стабильным, необходимо и достаточно, чтобы g был неподвижен относительно автоморфизмов ф12 и ф21 .
Обозначим через V a a - множество всех базисных коммутаторов веса
12, в которые образующий а входит а1 раз, а образующий b входит а 2
раза. Очевидно, что а1 + а 2 = 12.
Утверждение 3. Пусть g = ^ msus -
линейная комбинация базисных
коммутаторов us из Va a , ms е Z. Тогда автоморфные образы элемента g определяются следующим образом:
а gф12 = g + Z wk k=1
где wk - линейная комбинация коммутаторов, полученных из us заменой к вхождений образующего а на b ;
а 2
gф 21 = g + Z vk , к = 1
где vk - линейная комбинация коммутаторов, полученных из us заменой k вхождений образующего b на а .
При этом, если w 1 или v 1 отличны от нуля, то элемент g является нестабильным.
Множество всех базисных коммутаторов веса 12 мы разобьем на подмножества Ai коммутаторов одного вида в зависимости от расположения коммутаторных скобок. Для этого введем обозначения для расположения скобок в базисных коммутаторах. Считаем по определению, что все левонормированные базисные коммутаторы [х^...,xm] веса m, где x1,k,xm е{а,b}, имеют вид (m). Пусть ui-коммутатор вида (ki), i = 1,., s . Тогда считаем, что коммутатор [u 1,k, um ] имеет вид (k 1,., ks). Через M1 обозначим множество базисных коммутаторов вида (12) , M2 - множество базисных коммутаторов видов (k 1 k2), где k 1 + k2 = 12 и k 1 > k2 > 1.
Справедливо утверждение:
Утверждение 4. Если в представление элемента g е F212 входит линейная комбинация элементов из M1 или M2 , то существует автоморфизм ф, под действием которого gф Ф g.
Рассмотрим следующие виды коммутаторов:
§ 1 = (8,2,2); § 2 = (5,2,5); § 3 = (7,2,3); §4 = (6,2,4);
§ 5 = (6,3,3); § 6 = (3,3,6); § 7 = (4,2,6); § 8 = (4,4,4);
§ 9 = (6,2,2,2); 5 10 = (4,2,2,2,2); 5 П = (4,3,5); § 12 = (3,2,2,5);
§ 13 = (5,2,2,3); § 1 4 = (3,2,2,2,3); § 15 = (5,3,4); § 1 6 = (3,2,3,4);
5„ = (4,2,3,3); 5 18 = (3,3,3,3); 5 19 = (4,2,2,4); 5 20 = ((4,2),(4,2));
5 21 = ((6,1),(3,2)); 5 22 = ((4,3),(3,2)); 5 23 = ((5,2),(3,2));
5 24 = ((3,3), (4,2)); 5 2 5 = ((3,3), (3,3)); 5 2 б = ((3,2,2), (3,2)).
Множество базисных коммутаторов вида 5j , j = 1, k ,26, обозначим через A j . Количество элементов множества A j обозначим через r^ . Нетривиальную линейную комбинацию элементов u ( j ■ из A j обозначим
rj
( i 11 т т I ~ ( i ) i X 1 ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) ( i )
-
m ~( J ) ) , то есть Uj ( m ( J ) ) = \ miJ ) ui ( J ) , где m (,, m ( J 2,..., m ( "
i=1 j целые числа, одновременно не равные нулю, u(ji е A j.
Рассмотрев все возможные варианты базисных коммутаторов из A j, j = 1,к,26, получаем, что элементы из Aj в результате одной замены какого-либо образующего на другой переходят в сумму коммутаторов из Ai, где i зависит от j. Так, например, элементы из A1 переходят в сумму коммутаторов из Ai, i = 1,9,12,13,19,20,23, что записываем в виде
A 1 ^ A 1 + A 9 + A 12 + A 13 + A 19 + A 20 + A 23. Далее устанавливаем такие же связи для остальных A j , j = 1, k ,26 :
A2 > A 2 + A12 + A 23; A3 > A 3 + A13 + A16 + A17 + A22 + A 24 ;
A 4 ^ A 4 + A 16 + A 19 ; A 5 ^ A 5 + A 6 + A 17 + A 18 + A 25 ; A 6 ^ A 6 + A 24 + A 25 ;
A 7 ^ A 7 + A 20 + A 24 ; A 8 ^ A 8 ; A 9 ^ A 9 + A 10 + A 14 + A 26 ; A 10 ^ A 10 ;
A 11 ^ A 11 + A 22;
A 12 ^A 12 +A 26 ; A 13 ^A 13 +A 14; A 14 ^ A 14 ; A 15 ^ A 15 + A 16 ; A 16 ^ A 16 ;
A 17 ^ A 17 + A 24 ; A 18 ^ A 18 + A 25 ; A 19 ^ A 19 ;
A 20
^ A 20 ; A 21 ^ A 21 + A 22 + A 23 ; A 22 ^ A 22 ; A 23 ^ A 23 + A 26 ;
A 24 ^ A 24 ; A 25 ^ A 25 ; A 26 ^ A 26 •
Чтобы установить, входят ли, например, базисные коммутаторы из A 12 в стабильный элемент, надо сначала выполнить все необходимые вычисления для коммутаторов из A 1 и A 2, так как под действием автоморфизмов а 1 или а 2 автоморфные образы элементов из A 1 и A 2 содержат коммутаторы из A 12.
-
2. Основной результат
Нами были установлены связи между подмножествами базисных коммутаторов одного и того же вида в зависимости от автоморфных образов элементов этих подмножеств. Множества Va a , а1 + а2 = 12, также связаны посредством коммутаторов, получающихся в их образах относительно автоморфизмов ϕ12 или ϕ21 . Согласно утверждению 1, мы рассматриваем коммутаторы из Va ,a для четных целых чисел a1 и a2 . Из видов коммутаторов, являющихся элементами множеств Δ j , j = 1,K,26, следует, что число вхождений каждого образующего в эти коммутаторы не меньше 3. Следовательно, коммутаторы из V2,10 и V10,2 входят только в M1 или M2 , а значит, согласно утверждению 4, всякая их нетривиальная линейная комбинация не является стабильной. Поэтому, нас интересуют следующие распределения числа вхождений образующих a и b в базисные коммутаторы: один из образующих входит 4 раза, а другой - 8 раз и каждый из образующих входит одинаковое число раз. Таким образом, в разложении элемента g могут входить базисные коммутаторы множеств V4,8 , V8,4 , V6,6 .
Пусть g = ∑ msus . Если коммутаторы us принадлежат V4,8 , то в образе элемента g под действием автоморфизма ϕ12 , элемент w1 является линейной комбинацией коммутаторов из V3,9 . Если коммутаторы us принадлежат V8,4 , то в автоморфном образе gϕ12 элемент w5 является линейной комбинацией коммутаторов из V3,9 . Наконец, если коммутаторы us принадлежат V6,6 , то в автоморфном образе gϕ12 линейная комбинация коммутаторов из V3,9 задается элементом w3 . Таким образом, если в представление элемента g входят базисные коммутаторы из множеств V4,8 , V8,4 и V6,6 , то надо рассмотреть в gϕ12 линейные комбинации w1 , w3 и w5 , соответственно для коммутаторов из множеств V4,8 , V6,6 и V8,4 , при условии равенства нулю линейной комбинации, полученной в результате замены одного вхождения образующего a на b в коммутаторах из V8,4. Подобным образом проводим рассуждения и для автоморфизма ϕ21 . Так, если в представление элемента g входят базисные коммутаторы из множеств V4,8 , V8,4 и V6,6 , то надо рассмотреть в gϕ21 линейные комбинации v1 , v3 и v5 , соответственно для коммутаторов из множеств V8,4 , V6,6 и V4,8 , при условии равенства нулю линейной комбинации, полученной в результате замены одного вхождения образующего b на a в коммутаторах из V4,8 . Поэтому, чтобы найти стабильный элемент с неоднородным вхождением образующих, надо сначала установить линейные комбинации, полученные в результате замены одного вхождения образующего a на b в коммутаторах из V8,4 и в результате замены одного вхождения образующего b на а в коммутаторах из V48. Проверить полученные линейные комбинации на их равенство нулю.
Теорема: Среди линейных комбинаций базисных коммутаторов с неоднородным вхождением образующих в свободной нильпотентной группе F 2 12 нет нетривиальных стабильных элементов.
Доказательство: Пусть m ( j ), m ( j 2 ,..., m ( ^ - целые числа, одновременно не равные нулю. Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию ( )\ ( ) ( ) ( )
Uj ( mj ) ) = ^ m - j ) u ( j ) базисных коммутаторов u ( j- eA j с неоднородным i = 1
числом вхождений образующих. Выделим два случая:
Случай 1. Коммутаторы u ( ji принадлежат множеству V 84.
Рассмотрим множество A 1 , оно содержит единственный базисный коммутатор u (1) = (( abbaaaaa )( ab )( ab )), входящий в V 84. Указанный элемент u 1(1i не является стабильным, так как применив к нему автоморфизм ф 12 получим, что в разложение ( u (1) j" 12 входит элемент (( abbbaaaa )( ab )( ab )) с коэффициентом 5 m (1) * 0.
Рассмотрим множество A 2. Его элементами, входящими в V 84 являются u (2) = (( abaaa )( ab )( abbaa )) и u 2 2) = (( abbaa )( ab )( abaaa )). Применим к элементу U 2( m (2)) = ^ mi (2) ui (2) автоморфизм ф 12. Запишем линейную i = 1
комбинацию базисных коммутаторов, полученных из ui (2), i = 1,2 заменой одного вхождения образующего a на b и принадлежащих A 2 :
(3 m (2) + 3 m 2 2))(( abbaa )( ab )( abbaa )) + 2 m (2)(( abaaa )( ab )( abbba )) + + 2 m 2 2)(( abbba )( ab )( abaaa ))
Так как m 22 ) * 0 или m (2) * 0, то все коэффициенты полученной линейной комбинации одновременно не равны нулю.
Рассмотрим множество A 3. Базисные коммутаторы ui (3), входящие в V 8 4 есть u (3) = (( abbaaaa )( ab )( aba )) и u 2 3) = (( abaaaaa )( ab )( abb )). Линейная комбинацию базисных коммутаторов, полученных из ui (3), i = 1,2 заменой одного вхождения образующего a на b и принадлежащих A 3
равна
( m (3) + 5 m 2 3))(( abbaaaa )( ab )( abb )) + 4 m (3) (( abbbaaa )( ab )( aba )) + + 5 m 2 3)(( abbaaaa )( ab )( abb )).
Полученная линейная комбинация входит в автоморфный образ элемента U з ( m ~(3) ) , а так как хотя бы одно из чисел m (3) или т 2 3) отлично от нуля, то элемент U 3 ( т (3) ) - нестабильный.
Рассмотрим множество А 4. Определим базисные коммутаторы u (4), входящие в V 8 4: u (4) = (( abaaaa )( ab )( abba )) и u 2 4) = (( abbaaa )( ab )( abaa )).
Тогда (4 m (4) + 2 m 2 4))(( abbaaa )( ab )( abba )) + 3 m 2 4)(( abbbaa )( ab )( abaa )) +
+ m^ ( abaaaa )( ab )( abbb ))
-
коммутаторов, полученных из
линейная комбинация базисных
u (4) ( i = 1,2) заменой одного вхождения
образующего а на b и принадлежащих А 4. В этой комбинации не все
коэффициенты одновременно равны нулю, следовательно, U 4 ( mw )
-
нестабильный элемент.
Аналогичным образом определяются линейные комбинации Uj ( m ( j ) ) , 5 < j < 26 и для каждой из них доказывается существование нетривиальной линейной комбинации базисных коммутаторов в автоморфном образе ( Uj ( m ( j ) ) ф 21, что в свою очередь влечет нестабильность Uj ( m ( j ) ) относительно автоморфизма ф12 .
Случай 2. Коммутаторы u ( ji принадлежат множеству V 48.
Для всех j = 1, k ,26 определяем элементы, одновременно принадлежащие А j и V 4 8. Затем составляем линейные комбинации Uj ( m4j ) ) и действуем на них автоморфизмом ф 21. Заменив одно вхождение образующего b на a и разложив полученные коммутаторы по базисным, вычисляем коэффициенты линейной комбинации базисных коммутаторов, входящей в образ ( Uj ( m ( j ) )) ф 21. Далее проверяем равенство нулю всех найденных коэффициентов, зависящих от чисел m ( j ), m ( j 2 ,..., m ( r), одновременно не равных нулю. Приведем вычисления, например, для j = 15 . Определим элементы множества А 15, входящие в
V
u (15) = (( abbbb )( abb )( abba )),
u 2 15) = (( abbbb )( aba )( abbb )),
u 3 15) = (( abbba )( abb )( abbb )). Применим к элементу U 15( m (15)) = ^ m (15) u (15) i = 1
автоморфизм ф 21. Запишем линейную комбинацию базисных коммутаторов, полученных из ui (15) ( i = 1,2,3) заменой одного вхождения образующего b на a и принадлежащих А 15:
(3 m (15) + 2 m 3 15))(( abbba )( abb )( abba )) + ( m (15) + 2 m 2 15))(( abbbb )( aba )( abba )) + + m (15)(( abbbb )( abb )( abaa )) + (3 m 2 15) + m 3 15))(( abbba )( aba )( abbb )) +
+ 2 m 3 15)(( abbaa )( abb )( abbb )).
Так как m (15), m(15), m (15) одновременно не равны нулю, то хотя бы один из коэффициентов полученной линейной комбинации отличен от нуля. Действительно, предположив противное
3 m <15) + 2 m 3 15) = 0, m (15) + 2 m 2 15) = 0, 3 m 2 15) + m 31 5) = 0,
m(15) = 0, 2m315) = 0, мы получим m(15)=m (152)=m (15з= 0, что противоречит выбору последовательности чисел m(15-, i = 1,2,3 .
Для остальных A j доказательство проводится подобным образом. При этом, для каждого из множеств A j проверено, что среди линейных комбинаций элементов этих множеств нет нетривиальных стабильных элементов.
С учетом результатов [3] получено полное описание стабильных элементов группы F 212 , а именно, справедлива теорема:
Теорема: В свободной нильпотентной группе F 2 12 существует всего 9 линейно независимых стабильных элементов.
Заключение
Показано применение метода нахождения стабильных элементов для поиска стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах ранга 2 ступени 12.
Автор благодарен профессору Блудову В.В. за постановку вопросов и внимание к работе.
Список литературы Полное описание стабильных элементов свободной нильпотентной группы F2, 12
- Блудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах.//Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тез. докл. часть 5. Новосибирск, 1998.
- Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три//Вестник Омского университета. -2010. -№4 (58). -С. 20-23.
- Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга два//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2010. -Т.З, № 4. -С.48-57.
- Ковыршина А.И. О стабильных элементах в свободных нильпотентных группах ранга два//Вестник Бурятского государственного университета. Серия: Математика и информатика. -2015. -№ 9. -С. 3-6.
- Burrow M.D. Invariants of free Lie rings//Communications on pure and applied mathematics. 1958. No. 11. Pp. 419-431.
- Burrow M.D. The enumeration of Lie invariants//Communications on pure and applied mathematics. 1967. No. 20. Pp. 401-411.
- Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups//Communications in algebra. 2002. No. 30. Pp. 1033-1038.
- Магнус В. Комбинаторная теория групп /В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. -М.: Наука, 1974. -455 с.
- Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups//Communications in algebra. 2001. No. 29, Pp. 4693-4699.
- Wever, F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen//Mathematische Annalen. 1949. No. 120. Pp. 563-580.