Полный список полных k-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для k = 8, 9, 10
Бесплатный доступ
Найден полный список, с точностью до изоморфизма, полных k-дуг плоскости сдвигов порядка 9 для k = 8, 9, 10. Метод исследования основан на двойственности плоскости сдвигов и плоскости трансляций.
Плоскость сдвигов порядка 9, плоскость трансляций порядка 9, полные дуги
Короткий адрес: https://sciup.org/147158818
IDR: 147158818
Текст краткого сообщения Полный список полных k-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для k = 8, 9, 10
Одним из важных аспектов исследования конечной проективной плоскости (КПП) данного порядка является изучение k - дуг в данной КПП.
Определение 1. k - дугой КПП называется множество из k точек этой КПП, любые три из которых не лежат на одной прямой.
В трех известных проективных плоскостях порядка 9: дезарговой, трансляций и хьюзовой, полное исследование k - дуг было проведено ранее [1]. Для четвертой известной плоскости, плоскости сдвигов, аналогичное исследование осложнялось отсутствием необходимых сведений о группе коллинеаций этой плоскости.
Для решения указанной задачи мы применили метод исследования, основанный на двойственности плоскости сдвигов и плоскости трансляций. Наша цель – продолжить исследование к - сторонников, которое было проведено ранее для к = 1,2,3 в [2], до значений к = 4,5,6,7,8,9,10 с помощью метода поэтапных отождествлений [3]. На первом этапе мы получили список всех опорных k - сторонников в плоскости трансляций, с точностью до изоморфизма, затем по определенному правилу перехода [2] преобразовали их в k - дуги плоскости сдвигов.
Определение 2. k - сторонник называется полным, если он не является собственной частью ( к + 1) -сторонника.
Полнота k - сторонника возможна лишь в том случае, если множество допустимых прямых данного k - сторонника пусто.
Теорема 1. В плоскости трансляций порядка 9 имеются 45 типов полных восьмисторонни-ков, 1 тип полных девятисторонников, 1 тип полных десятисторонников.
Поскольку каждый опорный k - сторонник плоскости трансляций преобразуется в опорную k - дугу плоскости сдвигов, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Плоскость сдвигов порядка 9 содержит 45 типов полных 8-дуг, 1 тип полных 9-дуг, 1 тип полных 10-дуг.
Результаты исследования полных k - дуг плоскости сдвигов порядка 9 приведены в таблице 1, где Si k – полная опорная k - дуга с номером i (в лексикографическом порядке), Gi k – порядок группы автоморфизмов k - дуги, Ni k – общее число k - дуг, изоморфных Si k .
Результаты исследования полных k - дуг плоскости сдвигов порядка 9 для к = 8 , 9 , 10
|
i |
S ik |
G ik |
N ik |
|
к = 8 |
|||
|
1 |
∞, 0, 00, 11, 23, 32, 46, 75 |
1 |
311040 |
|
2 |
∞, 0, 00, 11, 23, 32, 46, 84 |
4 |
77760 |
|
3 |
∞, 0, 00, 11, 23, 46, 52, 67 |
1 |
311040 |
|
4 |
∞, 0, 00, 11, 23, 47, 64, 75 |
2 |
155520 |
1 Работа была поддержана грантом Министерства образования России в рамках государственного задания Челябинскому государственному педагогическому университету.
2 Шарафутдинова Анна Михайловна – аспирант, кафедра математики и методики обучения математике, лаборатория дискретной математики, физико-математический факультет, Челябинский государственный педагогический университет.
|
5 |
∞, 0, 00, 11, 23, 47, 64, 82 |
3 |
103680 |
|
6 |
0, 00, 2, 01, 13, 14, 38, 45 |
2 |
155520 |
|
7 |
0, 00, 2, 01, 13, 14, 38, 82 |
2 |
155520 |
|
11 |
0, 00, 2, 01, 13, 17, 38, 55 |
2 |
155520 |
|
12 |
0, 00, 2, 01, 13, 17, 38, 66 |
2 |
155520 |
|
13 |
0, 00, 2, 01, 13, 17, 38, 82 |
1 |
311040 |
|
14 |
0, 00, 2, 01, 13, 17, 42, 45 |
2 |
155520 |
|
16 |
0, 00, 2, 01, 13, 34, 35, 77 |
1 |
311040 |
|
17 |
0, 00, 2, 01, 13, 34, 56, 62 |
1 |
311040 |
|
18 |
0, 00, 2, 01, 32, 33, 65, 67 |
8 |
38880 |
|
19 |
0, 00, 2, 01, 32, 33, 76, 87 |
2 |
155520 |
|
20 |
0, 00, 2, 01, 32, 35, 74, 76 |
2 |
155520 |
|
21 |
0, 00, 2, 01, 32, 38, 44, 45 |
4 |
77760 |
|
22 |
0, 00, 2, 01, 32, 38, 66, 67 |
16 |
19440 |
|
23 |
0, 00, 2, 01, 32, 38, 76, 87 |
4 |
77760 |
|
24 |
0, 00, 2, 01, 32, 44, 67, 83 |
4 |
77760 |
|
25 |
0, 00, 2, 11, 13, 24, 35, 72 |
1 |
311040 |
|
26 |
0, 00, 2, 11, 13, 27, 62, 68 |
2 |
155520 |
|
27 |
0, 00, 2, 11, 13, 34, 35, 87 |
1 |
311040 |
|
28 |
0, 00, 2, 11, 13, 34, 37, 45 |
1 |
311040 |
|
29 |
0, 00, 2, 11, 13, 35, 37, 72 |
1 |
311040 |
|
30 |
0, 00, 2, 11, 13, 35, 64, 68 |
2 |
155520 |
|
31 |
0, 00, 2, 11, 23, 24, 35, 72 |
1 |
311040 |
|
32 |
0, 00, 2, 11, 32, 37, 43, 45 |
2 |
155520 |
|
33 |
0, 00, 2, 11, 32, 43, 45, 76 |
1 |
311040 |
|
34 |
0, 00, 2, 11, 34, 35, 86, 87 |
4 |
77760 |
|
35 |
0, 00, 2, 13, 14, 38, 82, 87 |
1 |
311040 |
|
37 |
0, 00, 2, 13, 16, 37, 38, 51 |
1 |
311040 |
|
38 |
0, 00, 2, 13, 18, 34, 42, 86 |
1 |
311040 |
|
39 |
0, 2, 10, 11, 32, 33, 75,76 |
6 |
51840 |
|
40 |
0, 2, 10, 11, 32, 34, 75, 78 |
2 |
155520 |
|
43 |
0, 2, 10, 11, 32, 36, 54, 55 |
8 |
38880 |
|
44 |
0, 2, 10, 11, 32, 54, 63, 88 |
2 |
155520 |
|
46 |
0, 2, 10, 13, 34, 35, 56, 57 |
3 |
103680 |
|
47 |
0, 2, 10, 13, 34, 35, 56, 72 |
2 |
155520 |
|
48 |
0, 2, 10, 13, 34, 35, 57, 78 |
2 |
155520 |
|
49 |
0, 2, 10, 13, 34, 45, 47, 68 |
2 |
155520 |
|
50 |
0, 2, 10, 13, 34, 45, 51, 62 |
2 |
155520 |
|
51 |
0, 2, 10, 21, 32, 44, 65, 88 |
6 |
51840 |
|
52 |
0, 2, 10, 23, 31, 42, 65, 84 |
4 |
77760 |
|
53 |
0, 2, 10, 23, 34, 45, 56, 88 |
1 |
311040 |
|
k = 9 |
|||
|
3 |
0, 2, 10, 11, 32, 36, 43, 44, 78 |
4 |
77760 |
|
k = 10 |
|||
|
1 |
0, 00, 2, 01, 13, 16, 24, 27, 35, 68 |
32 |
9720 |
Шарафутдинова А.М.
Полный список полных k-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для k = 8, 9, 10
Список литературы Полный список полных k-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для k = 8, 9, 10
- Васильков, В.И. Опорные дуги и группы их автоморфизмов проективных плоскостях малых порядков: справочное пособие/В.И. Васильков, Ю.Н. Зверева, Г.В. Масленников. -Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2005. -261 с.
- Васильков, В.И. О строении проективных плоскостей порядка 9: дис. канд. физ-мат. наук/В.И. Васильков. -Екатеринбург, 1995. -189 с.
- Гонин, Е.Г. Метод поэтапных отождествлений/Е.Г. Гонин, Е.Е. Гонина//Известия научно-образовательного центра «Математика». -Вып. 3. -Пермь: ПГТУ, 2006. -С. 16-38.
