Порядковые свойства однородных ортогонально аддитивных полиномов

Полиномы от бесконечного числа переменных или, точнее, полиномы, определенные в бесконечномерных пространствах, исследовались с конца XIX века, см. [1]. Однако, изучение порядковых свойств полиномов в векторных решетках начато сравнительно

^# Исследование выполнено в рамках гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (грант № МК-4347.2021.1.1).

недавно. Важная роль отношения порядка при изучении структуры полиномов в банаховых решетках была впервые обнаружена в работе [2]. Прогресс, достигнутый к 2013 году, представлен в обзорной статье [3] и диссертациях [4, 5, 6]; дальнейшее развитие отражено в литературе, цитируемой в статьях [7]–[11]. К настоящему времени наибольшее продвижение достигнуто в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов в векторных и квазибанаховых решетках.

Цель настоящей статьи — представить обзор результатов автора о строении ортогонально аддитивных однородных полиномов, полученных в цикле работ [7]–[17]. В § 1 представлены результаты о линеаризации ортогонально аддитивных однородных полиномов, а в § 2 дано несколько приложений к теореме о линеаризации. § 3 посвящен результатам о строении сохраняющих дизъюнктность полиномов в векторных решетках. В § 4 представлены решения проблем компактного и слабо компактного доминирования для ортогонально аддитивных однородных полиномов в банаховых решетках. В § 5 рассмотрены вопросы вогнутости и выпуклости однородного ортогонально аддитивного полинома в квазибанаховых решетках, а в § 6 — условия, при которых квазибанахова решетка регулярных полиномов, действующих между квазибанаховыми решетками, является (p, q)-выпуклой, (p, q)-вогнутой, геометрически выпуклой. В § 7 дается полное описание однородных полиномов (полилинейных операторов), представимых в виде суммы сохраняющих дизъюнктность однородных полиномов (полилинейных операторов). Наконец, в § 8 сформулированы нерешенные задачи.

Необходимые сведения об однородных полиномах, векторных и квазибанаховых решетках можно найти в [1], [18] и [19] соответственно. Все рассматриваемые ниже векторные решетки считаются вещественными и архимедовыми.

Приведем несколько базовых определений.

Определение 0.1. Векторной решеткой называют вещественное векторное пространство E, снабженное отношением (частичного) порядка С , причем для любой пары векторов x, y ∈ E существуют супремум x ∨ y и инфимум x ∧ y, положительный конус E . : = { х Е E : 0 С х } замнут относительно сложения векторов и умножения на положительные скаляры, а неравенсто х С У равносильно включению у — х Е Е ₊ . Модуль | х | Е X вектора х Е E определяется формулой | х | = х V ( — х); два вектора х,у Е E называют дизъюнктными и пишут х ± у, если | х | Л | у | = 0. Линейный оператор T : E ^ F между векторными решетками называют решеточным гомоморфизмом , если для любых х,у Е E имеет место равенство T(х V у) = T (х) V T (у). Векторные решетки изоморфны, если между ними существует биективный решеточный гомоморфизм.

Определение 0.2. Пусть E и F — векторные решетки, Y — произвольное векторное пространство, s — целое число ^ 1 . Отображение P : E ^ Y называется однородным полиномом степени s (или s- однородным полиномом ), если существует симметричный s-линейный оператор P : E ^s ^ Y , именуемый ассоциированным оператором полинома P , такой, что P (х) = Р(х, ..., х) для всех х Е E. Говорят, что полином P : E ^ Y ортогонально аддитивен , если для любых дизъюнктных x, y ∈ E выполняется

P (х + у) = P (х) + P (у). (1)

Однородный полином P : E ^ F называют положительным, если P (х 1 ,... ,x _s ) ^ 0 для всех 0 С х 1 ,... ,x _s Е E, и регулярным, если P представим в виде разности двух положительных однородных полиномов. Полином P называют полиморфизмом , если ассоциированный оператор P является решеточным гомоморфизмом по каждой переменной, при условии, что остальным переменным приписаны положительные значения, см. ниже определения 3.1, 3.2.

Определение 0.3. Квазинормированным пространством называют пару ( X, || • ||) , в которой X — пространство вещественных чисел и || • || — квазинорма, а именно, функция, действующая из X в R такая, что выполнены следующие условия:

• (1)    | x | ^ 0 для всех x G X и | x | = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

• (2)    | Ax | = | A || x | для всех x G X и A G R;

• (3)    существует константа C ^ 1, называемая квазитреугольной константой, такая, что | x + y | <  C ( | x | + 1 у 1 ) для всех x,y G X.

Как видно, при C = 1 получаем определение нормированного пространства.

По теореме Аоки — Ролевича каждая квазинорма эквивалентна квазинорме ||р||| , обладающей тем дополнительным свойством, что 111 x + y 111 p ^ 111 x 111 p + 111 y 111 p (x,y G X) для некоторого 0 < p ^ 1 (см. [19]). Квазинормированное пространство представляет собой локально ограниченное топологическое векторное пространство, если взять за базу окрестностей нуля семейство множеств { x G X : | x | <  е } (0 < Е G R). Более того, эта топология порождается метрикой d(x,y):= ||| x — уЩ^р (x,y G X).

Определение 0.4. Квазибанахово пространство — это квазинормированное пространство, полное в своей метрической топологии. Квазибанаховой решеткой называют квазибанахово пространство (X, | • | ), если X — векторная решетка и квазинорма | • | монотонна, в том смысле, что неравенство | x | ^ | y | влечет | x | ^ | y | для всех x,y G X. (Если C = 1, то говорят о банаховых пространствах и банаховых решетках.)

В квазибанаховом пространстве X не выполняется теорема Хана — Банаха. В частности, может оказаться, что X = { 0 } , но при этом X ‘ = { 0 } . Поэтому не применим метод двойственности. В то же время, многое из теории банаховых пространств переносится на квазибанахов контекст и на этом пути развиты новые эффективные методы исследования (см. обозорные статьи Н. Кэлтона [20] и Л. Малигранды [19]).

1.    Линеаризация

В этом параграфе изложим результат о линеаризации ограниченных ортогонально аддитивных однородных полиномов, установленный в работе [12, теорема 4], а также некоторые его следствия.

Основная идея состоит в том, что для линеаризации ортогонально аддитивного однородного полинома область определения и область значений неравноправны: от первой требуется конструкция степени векторной решетки , для второй основную роль играет ни порядок, ни топология, а только лишь борнология .

Определение 1.1. Борнологией на множестве X называют возрастающий (относительно отношения с ) фильтр B, элементы которого образуют покрытие множества X. При этом множества из B называют ограниченными . Базой борнологии B на X называют любую базу фильтра B . Отображение, действующее между множествами с борноло-гией, называется ограниченным оператором , если оно каждое ограниченное множество отображает в ограниченное множество.

Определение 1.2. Борнологическим векторным пространством называют пару (X, B), состоящую из векторного пространства X и борнологии B на X, если отображения сложения X х X ^ X и умножения на скаляры R х X ^ X ограничены. Борнологическое векторное пространство (X, B) называют выпуклым борнологическим пространством , если B устойчива относительно образования выпуклых оболочек; отделимым, если { 0} — единственное ограниченное векторное подпространство X.

Векторная решетка рассматривается с борнологией порядково ограниченных подмножеств, а топологическое векторное пространство (и, в частности, квазинормированное пространство) — с борнологией топологически (метрически) ограниченных подмножеств. Рассмотрим теперь понятие s-степени векторной решетки, где s G N .

Определение 1.3. s- Степенью векторной решетки E именуют пару (E s ® ,j s ), если

• (a)    E s ® — векторная решетка, а j s : E ^ E s ® — s-однородный полиморфизм;

• (b)    для любой векторной решетки F и любого s-однородного полиморфизма P : E ^ F имеется единственный решеточный гомоморфизм P : E s ® ^ F такой, что P = P о j s .

Решеточный гомоморфизм P называют линеаризацией P , а js — каноническим ортогонально аддитивным полиномом; используются также обозначения j s,E := j s и j s (x) = x s ® .

Для каждой векторной решетки E и любого натурального числа s ^ 1 существует единственная (с точностью до решеточного изоморфизма) s-степень E s ® (см. [7, 21]). При этом для данной векторной решетки E при некоторых условиях универсальное свойство s-степени E s ® из определения 1.3 (b) (существование линеаризации) имеет место не только для полиморфизмов, но и для любых ограниченных ортогонально аддитивных s-однородных полиномов со значениями в борнологических пространствах (с одним и тем же каноническим полиномом j _s,E ).

Обозначим символом P O ( ^s E,Y ) пространство всех ограниченных s-однородных ортогонально аддитивных полиномов из E в Y и положим L ^b (E, Y ) := P O ( 1 E, Y ). Следующий результат утверждает, что ортогонально аддитивный ограниченный однородный полином из равномерно полной векторной решетки в выпуклое отделимое борнологическое пространство допускает линеаризацию с помощью линейного ограниченного оператора и канонического полинома.

Теорема 1.1 (Теорема о линеаризации) . Пусть E — равномерно полная векторная решетка, а F — выпуклое отделимое борнологическое пространство. Тогда для любого ортогонально аддитивного ограниченного s-однородного полинома P : E ^ F существует единственный ограниченный линейный оператор S : E ^s ® ^ F такой, что

P(x) = S(x ^s ® ) (x G E).                                  (2)

Более того, соответствие P <—> S есть изоморфизм: P _o ^b ( ^s E, F ) ~ L ^b (E ^s ® , F ) .

<1 Доказательство см. [12, теорема 4]. >

Замечание 1.1. Бен Амор [22, теорема 26] показал, что в теореме 1.1 можно опустить требование выпуклости борнологического пространства. Тем самым, этот факт имеет место и для квазинормированных пространств.

Пусть P _o (^sE, Y ) и P O ( ^s E, F ) обозначают пространства соответственно непрерывных и регулярных ортогонально аддитивных s-однородных полиномов из E в Y и из E в F .

Следствие 1.1. Пусть E — квазибанахова решетка, Y — квазинормированное пространство и P : E ^ Y — ограниченный по квазинорме ортогонально аддитивный s-однородный полином. Тогда существует единственный огрниченный по квазинорме линейный оператор T : E s ® ^ Y такой, что справедливо представление (2) . Более того, соответствие T н- T о j _s является изометрическим изоморфизмом квазинормированных пространств L(E s ® , Y ) и P _o ( ^s E, Y ) .

Следствие 1.2. Пусть E — квазибанахова решетка, F — квазинормированная решетка, а P : E ^ F — регулярный ортогонально аддитивный s-однородный полином.

Тогда существует единственный регулярный линейный оператор T : E s ® ^ F такой, что имеет место представление (2) . Более того, соответствие T н- T о j s является изометрическим изоморфизмом упорядоченных квазинормированных пространств L r (E s ® , F ) и P^T _o (^SE, F ) . Если F — порядково полна, то L r (E s ® , F ) и P^( ^s E, F ) являются изометрически решеточно изоморфными порядково полными квазинормированными решетками.

Замечание 1.2. Теорема 1.1 вместе с замечанием 1.1 содержат в себе все предшествующие результаты о линеаризации ортогонально аддитивных полиномов (см., например, Беньямини, Лассаль и Лавона [23]). Отметим также работы, в которых позже передоказаны частные случае теоремы 1.1: Иборт, Линарес и Лавона в [24, теорема 3.3] установили теорему 1.1 для векторных решеток E и F , а в работе Бу и Бускеса [3, теоремы 4.3 и 5.4] доказаны следствия 1.1 и 1.2 для случая банаховых решеток E и F и банахова пространства Y .

2.    Некоторые приложения

Теорема 1.1 о линеаризации позволяет некоторые задачи об ортогонально аддитивных однородных полиномах решать путем сведения к случаю линейных операторов. Рассмотрим несколько таких приложений, полученных в работах [13, 14, 15]. Начнем с классической задачи об интегральном представлении.

Определение 2.1. Пусть (Q, S,^ ) — пространство с мерой, а L 0 := L ⁰ (Q, 2,^ ) — пространство (классов эквивалентности) всех вещественнозначных функций на множестве Q. Идеальным пространством над (Q, Х,ц) называется любой порядковый идеал векторной решетки L 0 , т. е. такое подпространство E С L 0 , что если f G L 0 , g Е E и I f | < | g | , то f Е E, см. [25, гл. IV, §3].

Определение 2.2. Пусть E и F — идеальные пространства над σ -конечными пространствами с мерами (Q i , Х 1 , ^ i ) и (Q 2 , Х ₂ , ^ 2 ) соответственно. Говорят, что однородный полином P : E ^ F степени s допускает интегральное представление, если существует

^1 0 ^2-измеримая функция двух переменных K : Q2 х Qi ^ R такая, что для каждой функции x Е E для ^i-почти всех s Е Q2 функция t н- K(s,t)xs(t) ^i-интегрируема на Qi и

(Px)(s) = У

Ω 1

K (s, t) x ^s (t) d^ 1 (t)

( x Е E )

(см. [25, гл. XI, §1]).

Теорема 2.1 (Критерий интегральной представимости) . Пусть P : E ^ F — орто гонально аддитивный s-однородный полином. Эквивалентны утверждения:

• (1)    P допускает интегральное представление (3) ;

• (2)    если 0 <  x n <  x Е E (n Е N) и x n ^ 0 по мере ц 1 , то Px n ^ 0 ц ₂ -п. в.;

• (3)    полином P удовлетворяет следующим условиям:

• ( a) если щ(В п ) ^ 0 (B n Е Х 1 ) и X B n <  x Е E (n Е N) , то P (x B n ) ^ 0 Ц 2 -п.в.;

• ( b) если 0 <  x n <  x Е E (n Е N) и x n ^ 0 ц 1 -п. в.;, то Px n ^ 0 ц ₂ -п. в.

• < 1 Доказательство см. [14, теорема 4]. >

  Замечание 2.1. Проблема интегральной представимости линейного оператора, восходящая к Джон фон Нейману, была решена А. В. Бухваловым в 1984 г.; это решение содержится в качестве частного случая s = 1 в теореме 2.1. В свою очередь, теорема 2.1 выводится из теоремы Бухвалова с помощью теоремы 1.1 о линеаризации.

Обратимся теперь к проблеме продолжения. Пусть E, F и G — произвольные векторные решетки, причем F порядково полна, а G — мажорирующая подрешетка в E . Как и выше, P or ( s E, F ) обозначает пространство регулярных ортогонально аддитивных s-однородных полиномов из E в F , упорядоченное конусом положительных полиномов, т. е. P i ^ P 2 означает, что полином P i — P 2 положителен. Применив теорему Канторовича [18, теорема 1.32] о продолжении положительных операторов к линейной части положительного ортогонально аддитивного однородного полинома, получим результат о продолжении полинома 0 С P Е P O ( s G,F) до полинома 0 С P Е P O ( s E,F ). Более того, множество E ₊ (P ) всех таких продолжений является выпуклым множеством и в нем имеются крайние точки, называемые крайними продолжениями (см. [18, теорема 1.33]). Здесь возникают две интересные задачи: о существовании оператора продолжения и о характеризации крайних продолжений.

Определение 2.3. Символом R обозначим оператор ограничения, т. е. линейный оператор из P oo (^S E,F ) в P or ( s G,F ), сопоставляющий полиному P его ограничение P | g на подрешетку G . Оператором одновременного продолжения называют правый обратный к оператору R , т. е. такой оператор E из P or (^S G,F ) в P oo ( s E,F ), что R _p о E — тождественный оператор на P or (^S G,F ).

Теорема 2.2 (Существование оператора продолжения) . Пусть G — мажорирующая подрешетка векторной решетки E и F — порядково полная векторная решетка. Тогда существует оператор одновременного продолжения E : P or ( s G,F) ^ P oo (^S E,F ) , являющийся порядково непрерывным решеточным гомоморфизмом.

• < 1 Доказательство см. [13, теорема 4]. >

Теорема 2.3 (Характеризация крайних продолжений). Пусть E, F и G — те же, что и выше, причем E и G равномерно полны. Тогда полином P Е E+(P) является крайним продолжением полинома 0 С P Е Poo (sG,F) в том и только в том случае, когда для любого x Е E выполняется inf |P’d (xs + us) s 1}

u Е g} = 0.

• <    Доказательство см. [13, теорема 6]. >

Замечание 2.2. Теорема 2.2 верна и для решетки всех регулярных однородных полиномов P r ( ^s E,F ); при s = 1 она утверждает существование одновременного продолжения линейных регулярных операторов с мажорирующей подрешетки — результат, полученный А. Г. Кусраевым [26, теорема 3.4.11]. Линейный случай теоремы 2.3 при s = 1 совпадает с теоремой Липецкого — Плахки — Томсена (см. [18, теорема 1.31]). Обе теоремы 2.2 и 2.3 доказываются редукцией к линейному случаю с помощью теоремы 1.1 о линеаризации.

Определение 2.4. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, N Е N, m = max { s,N } и x i ,..., x _m Е E. Степенные суммы S _s (x i ,..., x s ) и средние геометрические G (x i , ... ,x n ) определяются в E с помощью однородного функционального исчисления (см. [27, теорема 2.1.20]):

N        ¹ s                           N       N ¹

S s ( xi,...,x n ) := 52|x i | ^s    , G (x i >"->x N ) := Hl x i l

Теорема 2.4 (Тождества для степенных сумм и средних геометрических) . Пусть E — равномерно полная векторная решетка, Y — квазиполное локально выпуклое пространство, P : E ^ Y — ортогонально аддитивный ограниченный s-однородный полином,

P : E s ^ Y — порождающий его симметричный s-линейный оператор. Тогда для любых x i ,..., x _s Е E + имеют место следующие равенства:

P ( S s (x i ,..., X N )) = P (x i ) +-----+ P ( x n );

P ( G (x i , . . . ,X s )) = P (x i ,. . . ,X s ).

• < 1 Доказательство см. в [15, теорема (основной результат)]. >

3.    Однородные полиномы, сохраняющие дизъюнктность

Замечание 2.3. Бускес и Шванке [28, теорема 2.3] установили, что справедливость каждого из равенств (4) для ограниченного s-однородного полинома P влечет за собой ортогональную аддитивность полинома P . В этой же работе найдены другие равенства, также характеризующие класс ограниченных ортогонально аддитивных однородных полиномов. В [29] равенства (4) названы «тождествами Кусраевой».

В этом параграфе изложены результаты о строении сохраняющих дизъюнктность полиномов в векторных решетках, опубликованные в [16]. Этот класс можно рассматривать как абстрактное описание наименьшего множества полиномов, которые можно сконструировать, комбинируя операции взвешенного сдвига, возведения в степень и суммирования.

Определение 3.1. Полилинейный оператор y : E i х ••• х E s ^ F называется сохраняющим дизъюнктность, если линейный оператор y a k : E k ^ F , k = 1,...,s, где y a k (x) := y(a i ,..., a k - i , x, a k+i ,..., x s ), причем a o и a s+i опускаются, сохраняет дизъюнктность, каковы бы ни были фиксированные a Е E i , i = k, т. е.

( V x, y Е E k ) x X y ^ y a k (x) X y a k (y) (k = 1,... ,s).

Введем теперь основной объект изучения. Как и выше, E и F — векторные решетки.

Определение 3.2. Однородный полином P : E ^ F степени s называют сохраняющим дизъюнктность , если таковым является порождающий его симметричный полилинейный оператор P : E s ^ F. При этом решеточный полиморфизм — сохраняющий дизъюнктность положительный однородный полином.

Следующий результат дает характеризацию сохраняющих дизъюнктность порядково ограниченных однородных полиномов. Из него следует, в частности, что всякий такой полином является ортогонально аддитивным.

Теорема 3.1. Пусть E и F — векторные решетки, P : E ^ F — порядково ограниченный однородный полином степени s . Эквивалентны утверждения:

• (1)    P сохраняет дизъюнктность;

• (2)    x X у влечет dⁿP (x)(y) = 0 и Px X Py для всех x, у Е E и 1 С n < s ;

• (3)    P ортогонально аддитивен и x X у влечет Px X Py для всех x, у Е E;

• (4)    существуют векторная решетка G и решеточные гомоморфизмы S i , S 2 : E ^ G такие, что G ^s ® С F , S _i (E) X S 2 (E) и Px = (S _i x) ^s ® — (S ₂ x) ^s ® для всех x Е E;

• (5)    существует сохраняющий дизъюнктность порядково ограниченный линейный оператор T : E ^s ® ^ F такой, что Px = T(x s ® ) для всех x Е E .

< Доказательство см. [16, теорема 3.3]. >

Для полиномов имеет место вариант теорема Мейера [16, предложение 3.2]. В частности, полином, сохраняющий дизъюнктность, имеет модуль, являющийся решеточным полиморфизмом. Характеризация решеточных полиморфизмов содержится в следующем следствии.

Следствие 3.1. Пусть E и F — векторные решетки, P : E ^ F — однородный полином степени s . Эквивалентны следующие утверждения:

• (1)    P — решеточный полиморфизм;

• (2)    P ортогонально аддитивен и P(x V y) = P (x) V P (у) для всех x,y Е E + ;

• (3)    P ортогонально аддитивен и P(x Л y) = P (x) Л P (у) для всех x,y Е E + ;

• (4)    P ортогонально аддитивен и x Л у = 0 влечет P (x) Л P (у) = 0 для всех x,y Е E;

• (5)    существует решеточный гомоморфизм T : E s ® ^ F такой, что справедливо представление Px = T (x s ® ) для всех x Е E;

• (6)    существуют векторная решетка G и решеточный гомоморфизм S : E ^ G такие, что G s ® С F и имеет место представление Px = (Sx) s ® для всех x Е E.

⊳ Доказательство см. [16, следствие 3.10]. ⊲

Дальнейшее развитие связано с комбинированием полученной характеризации полиномов, сохраняющих дизъюнктность, с теорией А. Е. Гутмана сохраняющих дизъюнкт-ность линейных операторов. Предположим, что E и F — фундаменты универсально полных векторных решеток E и F соответственно. В пространствах E и F зафиксируем порядковые единицы Ie и If , служащие одновременно кольцевыми единицами соответствующих f -алгебр. При этом ортоморфизм представляет собой оператор умножения на элементы f -алгебры и отождествляется с соответствующим мультипликатором [18, с. 128].

Для произвольного f Е E существует единственный элемент g Е E , для которого fg = [f] Ie и [f] ^± 9 = 0, где [f] — проектор на полосу { f }^ . Этот элемент g будем обозначать символом 1/f := Ie /f . Произведение e(1/f) обозначается также символом e/f . Обозначим через P (E) булеву алгебру порядковых проекторов в E.

Определение 3.3. Решеточный гомоморфизм S : E o ^ F называют сдвигом полинома P , если E o — порядковый идеал в E, содержащий E С E o , и im(Pn)^ = im(Sn) ^±± для всех п Е P(E) (булевы алгебры п Е P(E) и п Е P(E o ) отождествляются).

Теперь все готово для формулировки основной теоремы о представлении ортогонально аддитивных однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность.

Теорема 3.2. Пусть E и F — порядково полные векторные решетки, P : E ^ F — s-однородный порядково ограниченный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует разбиение единицы (р ^ ) ^ _е = в булевой алгебре P (F) и семейство положительных элементов (е ^ ) ^ _е = в E такие, что имеет место представление

P (x) = o-^ 2 W ° Р ^ S(x/e ^ ) s ® (x Е E)                     (5)

ξ∈Ξ где оператор S — сдвиг полинома P, а ортоморфизм W : F ^ F представляет собой оператор умножения на о-^£д= Р^P(е^)•

⊳ Доказательство см. [16, теорема 4.7]. ⊲

Переходя к мультипликативному представлению сохраняющих дизъюнктность полиномов, рассмотрим экстремально несвязные компакты K и Q . Пусть E и F — фундаменты в расширенных K -пространствах E := C ^ (K ) и F := C ^ (Q) соответственно. Пусть

C o (Q,K ) обозначает множество всех непрерывных функций ст : Q o ^ K , определенных на открыто-замкнутых подмножествах dom(CT): = Q o С Q.

Определение 3.4. Для произвольного ст G C o (Q,K) и х G C ^ (K ) определим функцию х • ст : Q ^ R формулой:

(х • CT)(q):={x<^{CT ( q ))} -

если q G dom(CT), если q G Q \ dom(CT).

Замечание 3.1. Функция x • σ, как очевидно, непрерывна, но не принадлежит, вообще говоря, пространству C ^ (Q), поскольку она может принимать бесконечные значения на некотором подмножестве U ∈ Q с непустой внутренностью. Несмотря на это, произведение W (х • ст) корректно определяет функцию из C ^ (Q), если W обращается в ноль на внутренности U (подробности см. [30, 5.8.5]).

Теперь можем сформулировать теорему о мультипликативном представлении однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность.

Теорема 3.9 (Мультипликативное представление) . Пусть E и F — фундаменты в пространствах C ^ (K ) и C ^ (Q) соответственно, а P : E ^ F — порядково ограниченный ортогонально аддитивный s -однородный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют отображение ст G C o (Q,K) , семейство (w ^ ) ^ _G = положительных функций в C ^ (K ) и семейство (W ^ ) ^ _e s попарно дизъюнктных функций из C ^ (Q) такие, что 1/w G E для всех £ G Н, и справедливо представление

P (х) = o-^ 2 W ? ((w £ x) s • ст) (х G E).                         (6)

ξ ∈ Ξ

<1 Доказательство см. [16, теорема 4.9]. >

Замечание 3.10. Теоремы 3.2 и 3.3 при s = 1 представляют собой результаты А. Е. Гутмана для линейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. В то же время, соединив теорему 1.1 о линеаризации с линейной теорией А. Е. Гутмана [30], приходим к полному описанию класса однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность.

4.    Проблема доминирования

В этом параграфе представлено решение проблем компактного и слабо компактного доминирования для ограниченных по норме ортогонально аддитивных однородных полиномов в банаховых решетках, полученное в [17]. Случай линейных операторов покрывается знаменитыми теоремами Доддса — Фремлина и Висктеда.

Определение 4.1. Проблемой доминирования (или мажорации) для полиномов, действующих в банаховых решетках, называют вопрос: сохраняет ли однородный полином то или иное свойство (компактность, слабую компактность и т. д.), которым обладает его мажоранта? Точнее, если однородный полином P мажорируется однородным полиномом Q (т. е. | P | ^ Q или 0 ^ P ^ Q) и Q компактен (слабо компактен), то будет ли P также компактен (слабо компактен)? Проблема доминирования рассматривается и для других свойств помимо компактности и слабой компактности. Проблема доминирования хорошо изучена для линейных операторов. Решения, полученные для различных классов линейных операторов, представлены в книгах [18, 27] и обзорных статьях [31, 32].

Определение 4.2. Пусть 0 < p С q С то и p <  то . Квазибанахову решетку E называют (p, q)-выпуклой, если существует константа C такая, что

1/q

1/p

/ n \ ^1/q        mm \

ElXklj < c[ E «Xk «J для любого конечного набора {xi,... ,xm} в E, см. [33]. При p = q говорят о p-выпуклости E . Наименьшая возможная константа C в этом неравенстве обозначается символом M (p’q)(C).

Сформулируем наш результат о компактном доминировании ортогонально аддитивных однородных полиномов в банаховых решетках.

Теорема 4.1. Пусть 1 С p Е R , s С p и s Е N , а E и F — банаховы решетки, причем E — p-выпукла. Равносильны следующие утверждения:

• (1)    для любой пары s-однородных ортогонально аддитивных полиномов P , Q из E в F, удовлетворяющих условию 0 С P С Q, компактность Q влечет компактность P;

• (2)    выполняется одно из следующих (не взаимоисключающих) условий:

• (a)    E не содержит банаховых подрешеток, изоморфных l _s , а F порядково непрерывна;

• (b)    P' O ( ^s E, R) атомична, E не содержит банаховых подрешеток, изоморфных l _s ;

• (c)    F атомична и порядково непрерывна.

<1 Доказательство см. [17, теорема 1]. >

Замечание 4.1. Проблему компактного доминирования поставил в 1976 г. известный специалист по математической физике Б. Саймон в связи с исследованием резольвенты оператора Шрёдингера и теорией рассеяния. В 1978 г. П. Доддс и Д. Фремлин [18, теорема 5.20] доказали импликацию (2)(a) = ^ (1) теоремы 4.1 при s = 1, причем в (2)(a) фигурирует условие порядковой непрерывности нормы в E . Последнее равносильно тому, что E не содержит подрешеток, изоморфных l i [18, теорема 4.69]. Оставшуюся часть теоремы 4.1 при s = 1 установил Э. Викстед [34].

Теорема 4.2. Пусть s Е N и s С p Е R . Предположим, что E и F — банаховы решетки, причем E p-выпукла. Равносильны следующие утверждения:

• (1)    для любой пары s-однородных ортогонально аддитивных полиномов P и Q из E в F, удовлетворяющих условию 0 С P С Q, слабая компактность Q влечет слабую компактность P ;

• (2)    либо E не содержит банаховых подрешеток, изоморфных l_s, либо F порядково непрерывна.

5.    Вогнутость и выпуклость однородного ортогонально аддитивного полинома

Замечание 4.2. Теорема 4.2 для линейных операторов (p = s = 1) установлена в [35]: для того чтобы произвольный линейный положительный оператор из E в F , мажорируемый каким-нибудь слабо компактным линейным оператором, был слабо компактным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одна из банаховых решеток E и F была порядково непрерывной. Из этого факта выводится требуемое, с привлечением теоремы 1.1 о линеаризации.

Замечание 4.3. Теорема 4.2 верна также для положительных однородных полиномов (не обязательно ортогонально аддитивных) (см. [36, следствие 3.3]). В то же время, проблема компактного доминирования в классе регулярных однородных полиномов остается открытой. Частные результаты получены в работе [36, следствия 4.2 и 4.4]. Неясно также, какой вариант теоремы 4.1 имеет место в квазибанаховых решетках. Некоторое продвижение в этом направлении достигнуто в [37], однако не ясно до конца, в какой мере существенна двойственность для решения проблемы компактного доминирования.

В этом параграфе изложены результаты, полученные в [7].

Определение 5.1. Для любой конечной последовательности (x i , ...,x n ) в равномерно полной векторной решетке E выражение вида f (x i ,•••, x n ) может быть корректно определено, если только f G H(R N ), т. е. f — положительно однородная (f (Ax) = Af (x) для всех x G R N и A G R) непрерывная функция на R N . Изучение таких выражений называется однородным функциональным исчислением (см. [27, теорема 2.1.20]). Следующие утверждения позволяют однородное функциональное исчисление в степени квазинорми-рованной решетки описать в терминах исходной решетки.

Теорема 5.1. Для данного ^ G H(R n ) и 0 < s G R определим ^ s : R n ^ R , полагая y _s (t _i ,..., t n ) := ^(t S ,..., t n ) s для всех (t 1 ,..., t n ) G R n . Тогда y _s G H(R n ) и для всякой равномерно полной векторной решетки E и конечной последовательности x i ,..., x n G E верно следующее представление:

^ ^{( x} 1" , • • • , x n )     ^ S ⁽ x i , . . . , x n ) "  .

<1 Доказательство см. [7, предложение 3.9]. >

Следствие 5.1. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, s G N , 1 С r G R, и 0 С a i ,...,a _n G R таковы, что n T^ - k а & = 1 . Тогда для любого конечного набора x i ,..., x _s G E имеют место представления:

s ⊙

n           r          n

( Slx k° l r) = (Р^П '

n                n

П । xfr =  П ixk iak•

• k=1           \k=i/

Пользуясь однородным функциональным исчислением, введем общие понятия (p, q)- выпуклого и (p, q)-eorHymoro однородного полинома и рассмотрим некоторые взаимосвязи для этого специального класса однородных ортогонально аддитивных полиномов.

Определение 5.2. Пусть X — квазибанахово пространство, F — квазибанахова решетка и 0 < p С q С го. Непрерывный s-однородный полином P : E ^ F называют (p, q)-выпуклым, если существует такая константа C G R+, что m

Ei P (x + ) - P (x - ) i ^q/s

=i

s/q

\ s/q mm \ J С C     h xk 1П

s/p

для любого конечного набора x i ,..., x _m G E. Наилучшая константа C в (7) обозначается

M ( ^p,q ) (p). При p = q говорят о p-выпуклых полиномах.

Определение 5.3. Пусть E — квазибанахова решетка, Y — квазибанахово пространство и 0 < p С q С го . Непрерывный s-однородный полином P : E ^ F называют

(p, q)-вогнутым, если существует константа C Е R ₊ такая, что

1/q

( т                      \ 1/ ^q        m т \

Е || P ( x + ) - P ( x- ) ^ ^q/sJ    <  C lEhfl

1/p

для любого конечного набора x i , ..., x _m Е E. Наилучшая константа C в (8) обозначается M ( p,_q ) (P ). При Р = q говорят о p-вогнуты полиномах.

Если тождественный оператор I e : E ^ E является (p, q)-выпуклым ((p, q)-вог-нутым), то квазибанахову решетку E называют (p, q)- выпуклой ((p, q)- вогнутой ) (ср. определение 4.2).

Теорема 5.2. Пусть E — квазибанахова решетка, s Е N и 0 < p,q Е R . Тогда следующие утверждения эквиваленты:

• (1)    E (p, q')-выпукла;

• (2)    s-степень E ^s ® (p/s,q/s)-выпукла;

• (3)    канонический полином x н- x ^s ® , действующий из E в E ^s ® , (p, д)-выпуклый.

Если, сверх того, s ^ q, то утверждения (1) - (3) эквивалентны следующим:

• (4)    для всякой квазибанаховой решетки F любой положительный ортогонально адитивный s-однородный полином P, действующий из E в F, является (p, q)-выпук.лым;

• (5)    для всякой квазибанаховой решетки F любой положительный линейных оператор T, действующий из E ^s ® в F, является (p/s, q/s)-выпуклым;

• (6)    для всякой квазибанаховой решетки F любой положительный линейный оператор T, действующий из E в F, является (p, q)-выпуклым.

• <1 Доказательство см. [7, теорема 4.6]. >

С. Рейзнер [38], а также И. Рено и П. Традасет в [39] охарактеризовали p -вогнутые линейные операторы, как операторы, факторизуемые через p -вогнутые банаховые решетки. Этот факт допускает обобщение на случай ортогонально аддитивных однородных полиномов, действующих из квазибанаховых решеток в квазибанаховы пространства.

Теорема 5.3 (Факторизация) . Пусть E — квазибанахова решетка, Y — квазибанахо-во пространство, s Е N и 0 < p ^ то . s-Однородный ортогонально аддитивный полином P : E ^ Y является p-вогнутым тогда и только тогда, когда существует p/s-вогнутая квазибанахова решетка F, линейный ограниченный оператор S : F ^ Y и решеточный мультиморфизм, сохраняющий порядковые интервалы, Q : E ^ F такой, что Q(E ₊ ) плотно в F . и P = S о Q.

• < Доказательство см. [7, теорема 4.8]. >

  Следующее приложение связно с знаменитым неравенством Гротендика, установленным в 1953 г. и по настоящее время оказывающим существенное влияние на теорию банаховых пространств (см. [40]). Среди различных обобщений имеется вариант неравенства Гротендика для банаховых решеток, установленный Ж.-Л. Кривином [41]: Если T : E ^ F — ограниченный оператор, действующий между банаховыми решетками, то для любого конечного набора элементов x i ,..., x n Е E имеет место неравенство:

( n            \1/2

( рт(x k } | ²j

< K g | T I

( n \1/2 k=1"k^)

где KG — постоянная Гротендика. Н. Кэлтон в [42] доказал, что аналогичное неравенство верно и для ограниченных операторов, действующих из квазибанаховой решетки в L-выпуклую квазибанахову решетку, однако уже с другой константой. (Квазибанахова решетка E называется L-выпуклой, если E p-выпукла для некоторого 0 < p < то.) Результат Кэлтона вместе с теоремой 1.1 о линеаризации позволяют получить аналог неравенства Гротендика для полиномов.

Теорема 5.4. Пусть F — L -выпуклая квазибанахова решетка. Тогда существует константа A , зависящая только от F , такая, что если E — квазибанахова решетка и P : E ^ F — ограниченный ортогонально аддитивный s-однородный полином, то для всякой конечной последовательности элементов x i ,... ,x n Е E справедливо неравенство:

( n            \1/2

P^ ) i²J

< A\ \ P II

/ n          \ 1/(2s)

(ЭТ

где P (x) = P (x + ) — P (x ) для всех x Е E.

<1 Доказательство см. [8, теорема 4.9]. >

6.    Условия вогнутости и выпуклости решетки ортогонально аддитивных полиномов

Хорошо известен следующий результат о двойственности: (p, q)-выпуклость (соответственно, (p, q)-вогнутость) банаховой решетки E равносильна (p ‘ , q ‘ )-вогнутости (соответственно, (р ‘ , q ‘ )-выпуклости) двойственной банаховой решетки E', где p = p/(1 — p) и q ‘ = q/(1 - q) (см. [43, теорема 16.21]). Если в этом утверждении заменить функционалы на регулярные ортогонально аддитивные однородные полиномы, то условия его справедливости — нетривиальная задача. В этом параграфе представим вариант решения этой задачи, полученный в работе [8]. Приведем необходимые определения.

Пусть E — квазинормированная решетка и F — квазибанахова решетка, тогда каждый регулярный полином из E в F непрерывен (см. [7, предложение 2.6]). Тем самым P r ( ^s E,F ) является упорядоченным пространством с регулярной нормой

\ P \ r := inf{||Q \| : ± P ^ Q Е P r ( ^s E,F ) } .

Обозначим, как и ранее, символом P^T _O ( ^s E, F ) часть P r ( ^s E, F ), состоящую из ортогонально аддитивных полиномов. Будем рассматривать P O ( ^s E,F ) с индуцированными квазинормой и упорядочением.

Теорема 6.1. Пусть E — квазинормированная решетка и F — квазибанахова решетка. Если P r ( ^s E, F ) — векторная решетка, то (P r ( ^s E, F ), || • \ _r ) — квазибанахова решетка и II P h r = II I P I II для всех P Е P r ( ^s E,F ) . В частности, P r ( ^s E,F ) — порядково полная квазибанахова решетка с регулярной нормой, если F порядково полна.

Замечание 6.1. Бу, Бускес и Ли в [44, теоремы 3.1 и 3.3] доказали, что если E и F являются банаховыми решетками, то верны следующие два утверждения: (1) P r ( ^s E,F ) является AM -пространством, как только E — AL -пространство и F является порядково полным AM -пространством; (2) P r ( ^s E,F ) является AL-пространством, как только E — AM -пространство и F — AL -пространство. Учитывая, что AL - и AM -пространств определяются условиями 1-вогнутости и то -выпуклости соответственно, было бы интересно получить аналогичные результаты для пространств однородных полиномов P ^r ( ^s E,F ) в квазибанаховом антураже. В общем случае эта задача не решена. Имеющиеся решения для ортогонально аддитивных операторов приводятся ниже. Теоремы 6.2, 6.3 и 6.4 являются новыми даже в случае линейных операторов (см. [8]).

Теорема 6.2. Пусть E и F — квазибанаховы решетки, причем F порядково пол на. Тогда P^T r ( ^s E,F ) является (p, q)-вогнутой квазибанаховой решеткой для некоторого 1 С Р, q <  го , если F — 1 -вогнута и E — ( sp ‘ , sq ‘ ) -выпукла. Более того, выполняется следующее неравенство: M ( _p,_q ) (P 0 ( ^s E,F )) С M (1) (F)M ^{( sq} ‘ ^,sp ‘ ) (E).

<1 Доказательство см. [8, теорема 4.9]. >

Определение 6.1. Квазибанахову решетку E называют квази-AM -пространством, если E го-выпукла, т. е. существует константа C ^ 0 такая, что n

V x I k=1

n

С C\! ^Xk || k=1

для любого конечного набора x i ,..., x n в E. Наименьшую константу C в этом неравенстве обозначают символом M ⁽ ^ ) (E).

Определение 6.2. Говорят, что квазибанахова решетка (E, || • ||) обладает слабым свойством Фату, если существует константа K >  0 такая, что для любой сети (x _a ) в E и любого x Е E из 0 С x _a t x следует | x | С K sup _a | x _a | .

Теорема 6.3. Пусть E — квазибанахова решетка и F — порядково полное квази- AM -пространство, обладающее слабым свойством Фату с константой K . Тогда пространство регулярных s-однородных ортогонально аддитивных полиномов P _o ( ^s E, F ) является (p, q)-выпуклой квазибанаховой решеткой для некоторого 1 С Р, q <  го , если E — (sq ,sp)-вогнута с p = p/(p — 1) и q ‘ = q/(q — 1) . Более того, имеет место следующее неравенство: MWp( ^s E,F )) С KM ' F)M_Wqiy)(E).

< Доказательство см. [8, теорема 4.10]. >

Определение 6.3. Квазибанахову решетку называют 0 + -выпуклой или геометрически выпуклой, если существует константа M >  0 такая, что

/ n \ 1/n

Ш xki k=1

С м( П I x k f) k =1

1 /n

для любого конечного набора x i ,..., x n в E. Наименьшая возможная константа M в этом неравенстве обозначается символом M ^{(о + )} .

Теорема 6.4. Пусть E и F — квазибанаховы решетки, причем F порядкова полна. Если F геометрически выпукла, то P^T r ( ^s E, F ) также геометрически выпукло. Более того, выполняется следующее неравенство: M (0 + ) (p o ( ^s e,f )) с M ^{(0 +} ) (F) .

< Доказательство см. [8, теорема 4.11]. >

Замечание 6.2. Если p = q, то говорят о p-выпуклости и p-вогнутости. Вопрос о p-выпуклости и p-вогнутости для пространства линейных регулярных операторов в банаховых решетках впервые был рассмотрен Н. Данетом в [47]. Теоремы 6.2 и 6.3 показывают, в частности, что полученный им результат [47, теорема 1.5] имеет место для более широких классов квазибанаховых решеток и ортогонально аддитивных полиномов. Аналогичные результаты для квазибанаховой решетки общих регулярных полиномов будут опубликованы в одной из ближайших статей автора.

7.    Суммы порядково ограниченных однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность

В этом параграфе дается полное описание полилинейных операторов и однородных полиномов, представимых в виде суммы сохраняющих дизъюнктность полилинейных операторов и однородных полиномов, соответственно, полученное в работах [10, 11]. Для линейных операторов эту проблему решили Бернау, Гюйсманс и де Пахте [46].

Определение 7.1. n-Линейный оператор T : E i х • • • х E n ^ F называют положительным (обозначение T ^ 0), если T (x i ,...,x n ) ^ 0 для всех 0 С x i G E i ,..., 0 С x n G E _n ; решеточным мультиморфизмом или решеточным n- морфизмом, если линейный оператор x н- T (x i ,..., x j - i , x, x j+i ,..., x n ) является решеточным гомоморфизмом для любых 1 С j С n, 0 С x k G E k , j = к С n. (При этом x o и x n+i опускаются.)

Определение 7.2. Будем говорить, что конечный набор элементов (x ij , ...,x nj ) (j = 0,..., m) в E i х • • • х E n назвается спорадически дизъюнктным, если для любого 0 С к, 1 С m, к = 1, существует 1 С i С n с x i,k ± x i,l - n-Линейный оператор T G L(E i х • • • х E n ; G) называется m-дизъюнктным , если для любого спорадически дзъюнктного набора конечных последовательностей (x ij ,..., x nj ) (j = 0,..., m) в E i х • • • х E n выполняется равенство

^{| T ( x} i,0 , . . . , ^x n,0 ) | ^Л | T ^{( x} i,i , . . . , ^x n,i ⁾ | ^Л • • • ^{Л | T ( x} i,m , . . . , ^x n,m ^{) l} — ^0.

Скажем, что T полидизъюнктен , если T m-дизъюнктен для некоторого m G N.

Очевидно, 1-дизъюнктный оператор — это сохраняющий дизъюнктность оператор.

Теорема 7.1. Пусть E 1 , . . . , E _n и F — векторные решетки, причем F — K -пространство, а T — регулярный n-линейный оператор из E i х • • • х E n в F . Если T — m -дизъюнктный, тогда существует m сохраняющих дизъюнктность регулярных n -линейных операторов T j : E i х • • • х E n ^ F таких, что T = T + • • • + T _m и T j ± T k для всех 1 С j, к С n , к = j.

• <1 Доказательство см. [10, теорема 4.1]. >

Определим полилинейный оператор S i ® ... ® S _n из E i х ... х E n в F, полагая

S i ® . . . ® ^S n ^{( x} i , . . . , ^x n ) :-- ^S i ^{( x} i ) * . . . * ^S n ^{( x} n )    ^{( x} i ^{G E} i , . . . , ^x n ^{G E} n ) .

где * — умножение в универсальном расширении F u .

Теорема 7.2. Пусть E 1 , . . . , E _n , F — векторные решетки, причем F — K -пространство, а T — регулярный m-дизъюнктный n-линейный оператор из E i х • • • х E n в F . Тогда существуют порядковые проекторы n j (1 С j С m) в F , векторные решетки F i ,..., F _n , допускающие умножение в F , и n х m-матрица (S j,k ) , чьими элементами являются S j,k : E k ^ Fk — решеточные гомоморфизмы такие, что имеет место представление:                         _m

T = № - n f )S j,i ® ••• ® S j,n .

j=1

• < Доказательство см. [10, теорема 4.5]. >

Замечание 7.1. Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что множество всех m-дизъюнктных n-линейных операторов (при переменном m и фиксированном n) из декартова произведения векторных решеток в порядково полную векторную решетку представляет собой порядковый идеал в векторной решетке регулярных n-линейных операторов и совпадает с векторным подпространством, порожденным множеством всех произведений n-решеточных гомоморфизмов, определенных на векторных решетках — сомножителях декартова произведения (см. [10, следствие 6]).

Далее введем два понятия m-дизъюнктности для однородных полиномов.

Определение 7.3. Однородный полином является m-дизъюнктным, если он ортогонально аддитивен, и ассоциированный симметричный полилинейный оператор является m-дизъюнктным и слабо m-дизъюнктным, когда он имеет m-дизъюнктный порождающий (не обязательно симметричный) полилинейный оператор.

Теорема 7.3. Пусть E и F — векторные решетки, T : E s ® ^ F — порядково ограниченный линейный оператор и P : E ^ F — однородный полином, определенный формулой P (x) = T (x s ® ) для x G E. Рассмотрим утверждения:

• (1)    P m-дизъюнктен;

• (2)    T m-дизъюнктен;

• (3)    для любых попарно дизъюнктных элементов x g ,..., x m G E выполняется

| P(x ₀ ⁺ ) - P(x — ) | Л • • • Л | P(x m ) - P (x m ) | = 0;

• (4)    для любых попарно дизъюнктных элементов x g ,..., x m G E + выполняется

m

P (x g V . . . V x m ) = \/ P (x g V . . . V x k - i V x k₊i V . . . V x m ),             (11)

k=0

где x _{- i} := x g и x m +1 := x m опускаются.

Тогда (1) ^^ (2) и (2) = ^ (3) . Более того, если E равномерно полна то первые три утверждения эквивалентны. Если же, сверх того, оператор T положителен, то равносильны все четыре утверждения.

• <1 Доказательство см. [11, теорема 3.7]. >

Как и ожидалось, m-дизъюнктный полином представлен в виде суммы m сохраняющих дизъюнктность полиномов.

Теорема 7.4. Пусть E и F — векторные решетки, причем F — порядково полна и P : E ^ F — порядково ограниченный ортогонально аддитивный s-однородный полином. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

• (1)    P — m-дизъюнктен;

• (2)    существуют порядково ограниченные сохраняющие дизъюнктность s-однородные полиномы Pi,..., Pm : E ^ F такие, что Pk ± Pi (k = l) и P = Pi + • • • + Pm;

• (3)    существуют порядковые проекторы ni,..., n_mв P(F) и решеточные гомоморфизмы Ti,... ,T_mиз E в F(i/s) такие, что Tk ± T (1 ^ k,l ^ m, k = l) и имеет место представление

8.    Нерешенные задачи

m

P (x) = V    - п^(x) s ® (x G E).                   (12)

k =i

< Доказательство см. [11, теорема 3.11]. >

Следствие 7.1. Пусть E и F — векторные решетки, причем F порядково полна. Тогда порядковый идеал порядково ограниченных s -однородных полиномов из E в F , порожденный полиномами вида x Н- T (x) s® , где T : E ^ F (i/s) — решеточный гомоморфизм, состоит в точности из порядково ограниченных s -однородных полиномов из E в F , m -дизъюнктных для некоторого натурального m .

Замечание 7.2. Слабо m-дизъюнктные полиномы имеют существенно иное строение, чем m-дизъюнктные полиномы. Порядково ограниченные слабо m-дизъюнктные однородные полиномы (m пробегает N) из E в F образуют порядковый идеал, порожденный полиномами вида x ^ Ti(x)k1® * ... * Ti(x)kl®, где Tj : E ^ Fj — решеточный гомоморфизм и Fj — подрешетка в Fu . Комбинируя эти результаты с теорией Гутмана [30], так же, как и в разделе 3, приходим к мультипликативному представлению слабо m-дизъюнктных полиномов (ср. замечание 3.10 настоящей статьи). Соответствующие результаты изложены в [11].

В этом, заключительном, параграфе приведем несколько нерешенных задач. Обозначим символом P r ( s E,F ) пространство регулярных (не обязательно ортогонально аддитивных) s-однородных полиномов из E в F . Линеаризация полиномов из P r ( s E, F ) осуществляется с помощью n -кратного симметричного тензорного произведения по Фрем- лину ^ sn^ E , см. [3]. Последнее имеет более сложное строение, чем степень E ^s ® , и с этим обстоятельством связаны значительные трудности изучения порядковых свойств как индивидуального регулярного полинома, так и пространства полиномов P r ( s E,F ).

Задача 8.1. Пусть E и F — идеальные пространства над σ -конечными пространствами с мерой, см. определение 2.2. Найти необходимые и достаточные условия, при которых регулярный однородный полином P : E ^ F допускает интегральное представление (p i n = p i х • • • х p i — n-кратное произведение меры p i ):

(Px)(s) = j Q 1

K (s, t i ,..., t n ) x(t i )... x(t n ) dp in) (t i

t n ) (x E E).

Задача 8.2. Дать описание крайних точек единичного шара банаховой решетки P r (^SE,F ) для различных E и F (F порядково полна).

Имеющиеся результаты для класса интегральных полиномов см. в [47, 48].

Задача 8.3. Каковы должны быть банаховы решетки E и F, чтобы упорядоченное банахово пространство P r ( ^s E,F ) было банаховой решеткой?

Для линейных операторов (s = 1) полный ответ известен лишь в том случае, когда E либо сепарабельна либо порядково непрерывна, см. [49] и указанную там литературу.

Задача 8.4. Каковы должны быть банаховы решетки E и F, чтобы для любых однородных полиномов из P,Q : E ^ F , удовлетворяющих неравенствам 0 ^ P ^ Q, из компактности Q следовала бы компактность P ?

В этом направлении имеются лишь частичные результаты (см. замечание 4.2 и [36, 37]).

Задача 8.5. Какие условия на банахову решетку E обеспечивают (p, q)-выпуклость или (p,q)-вогнутость банаховой решетки ^)_sn_iWE?

Задача 8.6. Пусть E и F — квазибанаховы решетки. При каких условиях на E и F квазибанахова решетка P r (ⁿE,F ) будет (p, q)-выпуклой, (p, q)-вогнутой?

Мотивация постановок и достигнутые результаты по задачам 8.5 и 8.6 отражены в замечании 6.2 и работах [16, 44, 47].

Задача 8.7. Получить результаты о факторизации однородного полинома через p-выпуклый и q-вогнутый полиномы в духе работ [38, 39, 41].