Построение C1-гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка
Автор: Клячин Алексей Александрович
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика и механика
Статья в выпуске: 3 т.25, 2022 года.
Бесплатный доступ
В статье рассмотрены два подхода к решению краевых задач для уравнений 4-го порядка, основанных на построении кусочно-квадратичных функций. Показано на примерах, что первый подход не приемлем, поскольку не дает сходимости приближенных решений. Второй способ, основанный на сглаживании кусочно-линейных функций, показал свою эффективность не только в плане сходимости, но и в плане экономности времени расчета (он не требует решения систем уравнений, как в случае применения кубических сплайнов).
Кусочно-полиномиальная функция, вариационная задача, уравнения 4-го порядка, метод градиентного спуска, кубический сплайн
Короткий адрес: https://sciup.org/149141541
IDR: 149141541 | УДК: 514.142.2+514.174.6 | DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2022.3.1
Construction of C1-smooth piecewise quadratic functions for solving boundary value problems of 4th order equations
In this paper, two approaches to the construction of piecewise quadratic functions were presented with their subsequent application in solving boundary value problems for equations of the 4th order𝑑 𝑑2𝐺𝑦 - 𝐺𝑦′ + 𝑑𝑥2 𝐺𝑦′′ = 0,𝑦(𝑎) = 𝐴, 𝑦(𝑏)𝐵, 𝑦′(𝑎) = 𝐴′, 𝑦′(𝑏) = 𝐵′.For the first approach, it was shown that it cannot be used to find approximate solutions of the considered equations by the variational method. Next, a description was given of the second approach, which is based on smoothing the corner points of a piecewise linear function. In the process of such constructions, it turned out that the smoothing polynomial has the second degree. To demonstrate the correctness of this approach, computational formulas of the gradient descent method were obtained and two numerical examples of solving boundary value problems of 4th order equations were given.
Список литературы Построение C1-гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка
- Клячин, А. А. Оценка погрешности вычисления функционала, содержащего производные второго порядка, на треугольной сетке / А. А. Клячин // Сибирские электронные математические известия. - 2019. - № 16. - C. 1856-1867.
- Клячин, А. А. Аппроксимация уравнений с частными производными 4-го порядка в классе кусочно-полиномиальных функций на треугольной сетке / А. А. Клячин, В. А. Клячин // Математическая физика и компьютерное моделирование. - 2019. - № 22 (2). - C. 65-72. -.
- Клячин, А. А. О 𝐶1-сходимости кусочно-полиномиальных решений вариационного уравнения 4-го порядка / А. А. Клячин // Уфимский математический журнал. - 2022. - № 14 (3). - C. 63-73.
- ˇ Zeniˇsek, A. Interpolation Polynomials on the Triangle / A. ˇ Zeniˇsek // Numer. Math. - 1970. - № 15. - P. 283-296.
