Построение C1-гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка на треугольной сетке
Автор: Клячин А.А., Веревкин И.Ю.
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика и механика
Статья в выпуске: 2 т.26, 2023 года.
Бесплатный доступ
В настоящей работе представлен один подход построения непрерывно дифференцируемых кусочно-квадратичных функций на треугольной сетке, основанный на сглаживании кусочно-линейной функции в окрестности ребер и узлов триангуляции. Разработанный метод не требует решения систем линейных алгебраических уравнений как при построении сплайнов. Данное обстоятельство позволило применить этот класс функций для приближенного решения краевых задач уравнения 4-го порядка.
Бигармонические функции, треугольная сетка, кусочно-полиномиальные функции, погрешность вычисления, метод градиентного спуска
Короткий адрес: https://sciup.org/149143815
IDR: 149143815 | УДК: 514.142.2+514.174.6 | DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2023.2.1
Construction of C1-smooth piecewise quadratic functions for solving boundary value problems of fourth-order equations on a triangular grid
In this paper, we present one approach to constructing continuously differentiable piecewise-quadratic functions on a triangular grid, based on smoothing a piecewise-linear function in the vicinity of edges and triangulation nodes. In the works [7; 8], the issues of approximation of the functional (1) in triangular grids and the convergence of the variational method for solving the boundary value problem of the equation (2) were studied. However, in the numerical solution there are difficulties associated with the construction of continuously differentiable piecewise polynomial functions on triangulations. In particular, their construction requires solving large systems of equations at each step of the variational method. When trying to get by with only continuous piecewise polynomial functions, we got a negative result (divergence of approximate solutions was found) [9]. In this paper, we circumvent the difficulties that arise - we indicate a method for constructing piecewise polynomial functions that have continuous partial derivatives. With the help of this class of functions, we have obtained formulas for approximating the functional (1) and tested the method on the example of a biharmonic equation.
Список литературы Построение C1-гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка на треугольной сетке
- Берикелашвили, Г. К. О скорости сходимости разностного решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения четвертого порядка / Г. К. Берикелашвили // Диф-ференц. уравнения. — 1999. — № 35 (7). — С. 958-963.
- Боган, Ю. А. О методе потенциала для эллиптического уравнения четвертого порядка из анизотропной теории упругости / Ю. А. Боган // Сиб. журн. индустр. матем. — 2000. — № 3 (2). — С. 29-34.
- Вабищевич, П. Н. Численное решение вариационных эллиптических неравенств четвертого порядка / П. Н. Вабищевич // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — № 24 (9). — С. 1312-1319.
- Карачик, В. В. Решение задачи типа Робена для бигармонического уравнения / В. В. Карачик // Изв. вузов. Матем. — 2018. — № 2. — С. 39-53. — 001: https://doi.org/10.3103/S1066369X18020056
- Карчевский, М. М. Смешанный метод конечных элементов для неклассических граничных задач теории пологих оболочек / М. М. Карчевский // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2016. — № 158 (3). — С. 322-335.
- Клячин, А. А. Аппроксимация уравнений с частными производными 4-го порядка в классе кусочно-полиномиальных функций на треугольной сетке / А. А. Клячин, В. А. Клячин // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2019. — Т. 22, № 2. — С. 65-72. — 001: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.2.5
- Клячин, А. А. О С 1-сходимости кусочно-полиномиальных решений вариационного уравнения 4-го порядка / А. А. Клячин // Уфимский математический журнал. — 2022. — № 14 (3). — С. 63-73.
- Клячин, А. А. Оценка погрешности вычисления функционала, содержащего производные второго порядка, на треугольной сетке / А. А. Клячин // Сибирские электронные математические известия. — 2019. — № 16. — С. 1856-1867.
- Клячин, А. А. Построение С ^гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка / А. А. Клячин // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2022. — № 25 (3). — C. 5-14. — DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.3.1
- Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: в 10 т. Т. VII: Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1987. — 248 с.
- Приказчикова, В. Г. Асимптотическая оценка точности дискретной спектральной задачи для уравнения четвертого порядка / В. Г. Приказчикова // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — № 31(3). — C. 372-380.
- Уткина, Е. А. Задача Неймана для одного уравнения четвертого порядка / Е. А. Уткина // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2 (19). — C. 29-37.
- Ушаков, А. Л. Итерационная факторизация для численного решения эллиптического уравнения четвертого порядка в прямоугольной области / А. Л. Ушаков // Вестн. Южно-Урал. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ. — 2014. — № 6 (1). — C. 42-49.
- Шапеев, В. П. Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В. П. Шапеев, B. А. Беляев // Вычислительные методы и программирование. — 2018. — № 19 (4). — C. 340-355.
- A Compact Difference Scheme for the Biharmonic Equation in Planar Irregular Domains / M. Ben-Artzi, I. Chorev, J. P. Croisille, D. Fishelov // SIAM J. Numer. Anal. — 2009. — № 47 (4). — P. 3087-3108. — DOI: https://doi.org/10.1137/080718784
- Mutigrid Solution of Automatically Generated High-Order Discretizations for the Biharmonic Equation / I. Altas, J. Dyn, M. M. Gupta, R. P. Manohar // SIAM J. Sci. Comput. — 1998. — Vol. 19, № 5. — P. 1575-1585. — DOI: https://doi.org/10.1137/S1464827596296970
- Zenisek, A. Interpolation Polynomials on the Triangle / A. Zenisek // Numer. Math. — 1970. — № 15. — P. 283-296.
