Построение фундаментальной системы решений одного дифференциального уравнения с параметром

Часто на сложность задач для дифференциальных уравнений влияет количество переменных, от которых зависит неизвестная функция. Разработано много методов, позволяющих осуществлять сведение одних задач для дифференциальных уравнений к другим задачам для дифференциальных уравнений, в которых неизвестная функция зависит от меньшего числа переменных. Одним из таких методов является использование преобразова -ния Лапласа. Применение преобразования Лапласа дает возможность получить большое количество значимых результатов в теории линейных дифференциальных уравнений (см., например, [1; 2]). Зачастую получить эти результаты позволяет то, что задачи для образов Лапласа решений исходных задач получаются технически более простыми, чем исходные задачи, и их решения часто можно построить в явном виде (см., например, [3; 4]).

Применение преобразования Лапласа является естественным шагом при изучении задач для эволюционных дифференциальных уравнений. При использовании преобразования Лапласа к эволюционной задаче переменная времени из эволюционной задачи «переходит» в комплексный параметр в задаче для образа Лапласа решения эволюционной задачи.

Одним из направлений качественной теории эволюционных дифференциальных уравнений является изучение поведения решений этих уравнений при большом времени (см. [5-9]). Хорошо известно, что поведение решений задач для эволюционных дифференциальных уравнений, в том числе и при большом времени, тесно связано с тем, как зависят решения задач для их образов Лапласа от параметра, в который «переходит» переменная времени. Самую простую такую связь дают предельные теоремы для преобразования Лапласа.

Если удается в явном виде получить представление решения задачи для образов Лапласа, то сразу же можно получить интегральное представление решения исходной задачи. Если это представление не очень громоздко, то, используя методы изучения асимптотик интегралов, зависящих от большого параметра, можно изучить поведение решения исходной задачи при большом времени. Такой подход позволил найти точные асимптотики при большом времени решений ряда задач (см. [10; 11]).

В случае когда решение задачи для образов Лапласа не удается построить в явном виде или удается, но оно очень громоздко, зависимость решения задачи для образов Лапласа от параметра, в который «переходит» переменная времени, можно получать при помощи оценок в некоторых функциональных пространствах. Зачастую такой подход приводит к достаточно грубым оценкам, которые позволяют определять скорость стабили -зации решений задач для эволюционных уравнений при большом времени, но не позволяют получать точных асимптотик при большом времени (см. [7; 9; 12]). Для нахождения точных асимптотик при большом времени нужно получать менее грубые оценки зависимости решений задач для образов Лапласа от параметра, в который «переходит» переменная времени.

В работе рассматривается модельное уравнение v"(x, Y) — Yb2(x)v(x, Y) = 0, x e [0;да),                    (1)

где y — произвольный комплексный параметр.

Предполагается, что b ( x ) e C ( [ 0; да ) ) , 0 <  e ₁ <  b ( x ) <  e ₂ при x e [ 0; да ) .

Легко видеть, что при помощи преобразования Лапласа к уравнению (1) сводятся многие задачи для эволюционных уравнений, например задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

В работе строятся представления функций, образующих фундаментальную систему решений уравнения (1).

1 Построение фундаментальной системы решений

Лемма 1. Пусть a, b, c, d — произвольные константы, v0 (x) = ax + b , xt v, (x) = cx + d , v2k (x) = jj b2 (t) v2(k-1) (t) dTdt,

0 0

xt v 2 k +1 ( x) = jj b 2 (T ) v 2 k-1 (T ) dTdt ,

0 0

где k = 1, 2,..., тогда функция да

^{v ( x} , Y ) = E ⁽ Y k ^v 2 k ^{( x} ) ⁺ Y ^{(2 k + 1)/2 v} 2 k + 1^{( x} ))                      ⁽²⁾

k = 0

является формальным решением уравнения (1).

Доказательство. Будем искать решение уравнения (1) в виде v (x, Y) = v 0 (x) + Y1/2 v1 (x) + yv 2 (x) + Y3/2 v3 (x) + Y2 v4 (x) + да

+ Y5/2 v5(x)+ Y3 v 6(x)+ Y7/2 v 7(x)+... = E Yk/2 vk(x) = k=0

да

= E ⁽ Y k ^v 2 k ^{( x} ) ⁺ Y ^{(2 k + 1)/2 v} 2 k + 1^{( x} )).

k = 0

Подставив последнее представление в уравнение (1), получаем, что v0'( x) + Y1/2 v-(x) + yv 2'( x) + Y3/2 v;( x) + Y2 v4( x) + y 5/2 v;( x) + y 3 v 6( x) +

• + Y ^7/2 v 7" ( x ) + ... - Y b ² ( x ) v 0 ( x ) - y ^3/2 b ² ( x ) v 1 ( x ) - y ² b ² ( x ) v 2 ( x ) -        ⁽³⁾

• - Y ^5/2 b ² ( x ) v ₃( x ) - y ³ b ² ( x ) v ₄( x ) - y ^7/2 b ² ( x ) v ₅( x ) - ... = 0.

Приравняв в (3) к нулю коэффициенты при соответствующих степенях

• Y , находим, что функции v_k ( x ) , где k = 0,1,2,..., должны быть решениями следующей системы:

v 0' ( x ) = 0, v ' ( x ) = ⁰ , v 2 ^{, (} x ) = b ²⁽ x ) v 0⁽ x X v з"⁽ x ) = b ²⁽ x ) v ₁ ⁽ x x

“ v 4X x ^X = ^{b 2(} x ^X v 2⁽ x X v Д x ) = b ²⁽ x ) v з⁽ x X v 6⁽ x ) = ^{b 2(} x ) v 4⁽ x X v Д x ) = b ²⁽ x ) v 5⁽ x ),

...

Следовательно, функции vk(x), где k = 1, 2,..., удовлетворяют соотношениям v0,(x) = 0 v2'k(x) = b2 (x)v2(k-1)(xX v'(x) = °- v2k+i(x)=b2 (x)v2k—i(x). (4) Из (4) следует, что при k = 1, 2,...

xt v0(x) = ax + b, v2k(x) = JJb2(t)v2(k—1)(т)drdt + a2kX + b2k,

0 0

xt v1 (x) = cx + d, v2 k+1 (x ) = JJ b 2 (T) v2 k-1 (T) dTdt + c 2 k+1 x + d 2 k+1, 0 0

где a , b , c , d , a _{2 k} , b _{2 k} , c _{2 k + 1}, d _{2 k + 1} — произвольные константы.

Положив в последних равенствах a _{2 k} = b _{2 k} = c _{2 k + 1} = d _{2 k + 1} = 0 , получаем утверждение леммы.

Лемма доказана.

Лемма 2. Функция v ( x , у ), заданная равенством (2), принадлежит пространству C ² ( [ 0; » ) ) .

Доказательство. Докажем, что v ( x , у ) е C ² ( [ 0; T ] ) , где T — произвольное положительное число.

Из вида функций v ₀( x ) и v ₁( x ) следует, что существует константа c % , такая, что при x е [ 0; T ] выполнены оценки

|v0(x)| ^ <%, v1(x)| ^ c .

Из вида функций v2k (x) и (5) следует, что при x е [0; T] выполнены оценки x t2

I v 2 (x )l - JJ b 2 (T ) I v0 (T )ld Tdt - c%£ 22 ^, 0 0

xt

~ 4

C 8 2

x ⁴

4!’

| v 4 ( x )| <  JJ b ² ( т ) | v ₂ ( т )| d T dt

0 0

x t

I ^v 6⁽ x )| <  JJ b ^{2 ( т} ) I ^v 4^{( т} )| d ^{T dt} < ^{c e} 22 тр

0 0

и т. д.

По индукции можно доказать, что при x е [ 0; T ] и k = 0,1, 2,...

х ^{2 k}

1 v2k (x) < "■ ‘       ■

Из вида функций v _{2 k + 1}( x ) и (5) следует, что при x е [ 0; T ] выполнены оценки

Ivз( x )|

Iv5( x )|

|v 7( x )| < JJ b2(T ) |v5(T )| dTdt < c" 2 x- ’ 0 0

и т. д.

По индукции можно доказать, что при x е [0;T] и k = 0,1, 2,...

2k

Iv2k+1(x) < Ce2-k (xky!.(7)

Используя (6) и (7), находим, что ∞

|^v(x’ Y)| <E ⁽ly| I^v2k^(x)|⁺ |y|⁽² +^{)2 v}2k+1^(x)^ < k=0

^                      _2k _2k

< cl, (I y|^k+Yl^{(2 k+1)/2}) "^<                    (8)

< c у ( y| ^k+Y|^{(2 k}+ⁱ)^/2)(^e2(¹⁺D)²L.

k^^^{1 1}                       (2 k)!

Из (8) и признака Даламбера следует, что ряд (2) абсолютно и равномерно сходится на отрезке [0; T], а функция v(x, y) непрерывна на отрезке [0;T ].

Докажем, что функция v(x, y) непрерывно дифференцируема при x е [0; T].

Рассмотрим ряд i^ (Y*v;,(x) + Y *+"/=v;t+1( x)).                        (9)

k=0

Легко видеть, что xx v0(x) = a, v2k(x) = J b2 (т)v2(k-г, (t) dT v‘(x) = c, v2k+i(x) = J b2 (t)v2k—i (t) dT. 00

Из вида функций v (x) и v‘(x) следует, что существует константа c1, такая, что при x е [0; T] выполнены оценки

Iv0(x)|Sci, |v‘(x)|Sci.

Из вида функций v2_k (x) и (6) следует, что при x е [0; T] выполнены оценки

x

|v2 (x)| S J Ь2 (Т) |v0 (Т)| dT S С£2 0

x^3

|v4 (x)| S Jb2(т)v2 (т)|dT S С£24 0

x-V*

| v 6 (x )| S J Ь 2 (Т ) |v4 (Т )| dT S С£ 2 ~, 0

и т. д.

По индукции можно доказать, что при x е [0;T] и k = 1,2,...

2 k-1

।v2k(x>1 ^cE2k ,2k 1)--

Из вида функций v2_k+1(x) и (7) следует, что при x е [0; T] выполнены оценки

x

|v32(x)| ^ J b2(t) |v1(T)| dT ^ c£22 yy, 0                                 1x^3

|v5 (x)| ^ J b2(t) v3(T)| dT ^ c£24 -yy, 0

x~5

| v 7 (x )| ^ J b 2 (T ) v5 (T )| dT ^ c%£ 26 ту, 0

и т. д.

По индукции можно доказать, что при x е [0;T] и k = 1,2,...

2 k-1

I v:,+1(x) S C£2k (2-k-^ .(12)

Используя (10), (11) и (12), находим, что м

У /'v‘ k (*)+/⁽²' ™'²v‘ к.,(*1 < к=0

м                        _с2к 2к—1

< vо (* )|+М^1/2И( * )1+cy (I/I' + /I⁽²'^+1)/2) '         <          (13)

к =1                     ⁽²'^1)!

м                      е²'     7Л²'^—1

I 11/2 _А _|' I |(2'+1)/2_А^⁽¹+ T J

< ^c1⁽¹+v\ )+^cу⁽|^ + v\      ) ²            .

к=1                       ⁽²'^—1)!

Из (13) и признака Даламбера следует, что ряд (9) абсолютно и равномерно сходится на отрезке [0; T]. Следовательно, функция v(*, /) непрерывно дифференцируема при * е [0; T] и v,(*, /) = У (/'v 2 к(*)+ /(2'+1)/2 v 2 к+1( *)).

к=0

Докажем, что функция v(*, /) дважды непрерывно дифференцируема при * е [0; T].

Рассмотрим ряд

У (/'v J (*) + /'v ‘'„(*)).                   (14)

к=0

Легко видеть, что v0,( *) = 0 v 2к(*) = b2( *)v 2( к—1)( *X v‘( *) = ° v 2\+1( *) = b2( *)v 2 к—1( *).

Из вида функций v2' (*) и (6) следует, что при * е[0; T] выполнены оценки

|^v2'⁽*)| < b²⁽*) I^v0⁽*)| < <%^:£2^2,

|^v4⁽*)| < b²⁽*) I^v2⁽*)| < <%^£2⁴ly,

*⁴

|^v6 ⁽*)| < b⁽*) I^v4⁽*)| < <%^е2 ^7, и т. д.

По индукции можно доказать, что при * е[0;T] и к = 1,2,...

2 к—2

।^v2-⁽*«< ^{се 2}' ^2к-^)7.                        ⁽¹⁵⁾

Из вида функций v2'₊₁(*) и (7) следует, что при * е[0; T] выполнены оценки

| v"( * )| < b²( *) |Т1( * )| < <%£ 22,

| ^5⁽* )| < b²⁽*) |^v3⁽* )| < <%^£ 2⁴ly^,

*⁴

I ^7⁽* )| < b²⁽*) l^v5⁽* )| < c^{£ 6} "47, и т. д.

По индукции можно доказать, что при x е[0;T] и к = 1,2,...

2 к-2

.

IV₂;₊,(X)| < Е’^к—— ^{1 2к+Л        2}(2к - 2)!

Используя (15) и (16), получаем, что да

X V*' к (X) + /2 * +1И V". +1( X )| < к=0

да                               2к 2к-2

«Xd Y^к + И^{(2 к+1)/2})    —

X ¹¹      (2к - 2)!

да

< cX (I Y^к + И^{(2 к+1)/2}) к=1

2к /1 . ^т\2к-2 ^s2 ^{(1 +}T ) . (2к - 2)!

Из (17) и признака Даламбера следует, что ряд (14) абсолютно и равномерно сходится на отрезке [0; T]. Следовательно, функция v(x, у) дважды непрерывно дифференцируема при x е[0; T] и да

VXX, Y) = X (А2"к (X) + Y^(2к+1)/2V2'к+ДX)) .

к=0

Поскольку T — произвольное число, то v(x, у) е C²([0; да)).

Лемма доказана.

Возьмем v0 1 (X) = 1, v11 (x) = ex , где s = const > 0, и рассмотрим функ- цию да u1(x, Y) = X <7^2к,1(x) + Y(2к+1)/2v2к+1,1(x)) , к=0

xtxt где V 2 к ,1( X) = JJ b ЧТ ) V 2( к-1),1(т ) dTdt, V 2 к+1,1( X ) = JJ b ЧТ ) V 2 к-1,1(Т ) dTdt .

0 00 0

Возьмем

Vq,2 (X) = 1, V1,2(X) = -SX , где s ^ const > 0, и рассмотрим функцию да u2(X, Y) =X (Ykv2к,2(X) + Y(2к +1)/2 V2к+1,2(x)), к=0

xtxt где V2к,2 (X) = JJ b2 (T) V2(к-1),2 (T)dTdt, V2к+1,2 (X) = JJ b2 (T) V2к-1,2 (т)dTdt .

0 00 0

Легко видеть, что функция u1(x, y) является «обобщением» функции e^^ьх, а функция u₂(x, y) является «обобщением» функции e”^^sx в том смысле, что при b(x) = s u1(x, y ) = e^^ех, а u₂(x, y) = e"^^sx.

Лемма 3. Функции u1(x, y) и u₂(x, y), заданные равенствами (18) и (19), при x е [0;да) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Доказательство. Из леммы 1 и леммы 2 следует, что функции u1(x, у), u2(x, Y) e C²([0;да)) и являются решениями уравнения (1).

Воспользовавшись (18) и (19), находим, что

Ui (0, Y) = 1, u‘(0, Y) = Цу , u2 (0, Y) = 1, u2 (0, Y) = -Цу.      (20)

Из (20) и равенства Лиувилля следует, что при x e [0;да)

W (x, Y)

Ui( x, Y) u‘( x, у)

u?(x,Y)

2 У   = W(0, Y) = u2(x, Y)

Цу

—

—2еЦ * 0 .

Таким образом, функции u1(x, у) и u₂(x, у) линейно независимы на

[0;да) и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Лемма доказана.

Заключение

В виде рядов по параметру были получены явные представления для функций, образующих фундаментальную систему решений уравнения, рассмотренного в работе. Полученные представления позволяют в явном виде строить и изучать качественные свойства решений задач с параметром, порожденных большим классом задач для эволюционных дифференциальных уравнений, а также строить в явном виде и изучать качественные свойства решений эволюционных задач из этого класса.