Поведение полиномов Гронуолла вне области суммируемости

Пусть однозначная функция f ( z ) аналитична в некоторой окрестности начала координат.

то

Тогда функция f ( z ) раскладывается в степенной ряд ^ a k z k . Обозначим m -ую частичную сум- k = 0

m му этого ряда через smm = ^ akzk , через Sf множество особых точек функции f (z) и через Af -k=0

максимальную область, в которую продолжается f ( z ). Частичную сумму ряда функции j - z обозначим через t r n ( z ).

Определение. Линейный метод B, определяемый бесконечной матрицей (bmn), суммирует то ряд ^ akzk к f (z) равномерно внутри области D с С если существует такой номер m0, что k=0

то для любого компакта Q с D и для всех m > m0 ряды ^ bm ksk (z) равномерно сходятся к функ-k=0

ции f ( z ) на компакте Q .

Определение. Область U с A f назовем С -областью функции f ( z ), аналитичной в некоторой окрестности начала координат, если существует линейный метод, суммирующий последовательность { s mm ( z )} к f ( z ) равномерно внутри U .

Естественно рассматривать такие линейные методы, максимальные С-области которых включают то в себя круг сходимости степенного ряда ^ akzk . k=0

то

В работах [1,2] показано, что если метод ( b_mn ) суммирует ^ z k к 1 / (1 - z ) в некоторой об- k = 0

то ласти D , то можно описать область D f , в которой этот метод, будет суммировать ^ a k z k к k = 0

f (z). Поэтому изучение С-областей метода суммирования достаточно провести для геометриче- то ского ряда ^ zk . k=0

Гронуолл в работе [3] описал широкий класс методов суммирования расходящихся рядов. Метод

Гронуолла F ( w );

1 - w

w задается отображающей функцией F(w) = ^ CkWk (c1 * 0) и весовой k=1

функцией

1 - w ’

и элементы его матрицы определяются по формулам

F 1 г (1 - F(w))Fn (w) , . cm» =                      dw (m, n > 0), m’n 2n     (1 - w) wm+1

где интегрирование ведется по / — простому достаточно малому контуру вокруг начала координат. На отображающую функцию F ( w ) в работе [1] накладываются три условия: 1) F ( w ) аналитична в замкнутом единичном круге K , исключая, может быть, точку w = 1, и однолистна в K ; 2) F ( w ) непрерывна в K , F (0) = 0, F (1) = 1, F ( K ) с K ; 3) ряд Тейлора F ( w ) абсолютно сходится при w = 1 .

Определение. Полином P m ( z ) = ^ m = ₀ C F n ( ^ k = ₀ z k ) будем называть m -м полиномом Гронуолла метода [ F ( w );1(1 - w ) ] .

Из условия F (0) = 0 следует, что c Fn = 0 при n >  m , поэтому степень m -го полинома Гронуолла не превосходит m . Область T ( F ), ограниченную кусочно-гладкой кривой т (F ) = { z : z = [ F ( e^{l x} )] ^{- 1} , x е [0 ; 2 п ]}, назовем областью суммируемости метода [ F ( w );1(1 - w ) ] .

w

Как доказано в работах [3] и [4], метод [ F ( w );1(1 - w ) ] суммирует ряд ^ z^k к 1 / (1 - z ) в облас- k = 0

ти T ( F ). Вне этой области последовательность P m ( z ) расходится. Условие F ( K ) с K означает, что область суммируемости метода [ F ( w );1(1 - w ) ] включает область сходимости степенного

w ряда ∑ zk

.

k = 0

В работе [5] оценивалась скорость сходимости полиномов Гронуолла в случае аналитической отображающей функции внутри области T ( F ). В работе [6] показано, что последовательность P m ( z ) на границе области T ( F ) ограничена для каждого z * 1. В настоящей работе показано, что вне области суммируемости последовательность полиномов Гронуолла P m ( z ) расходится достаточно быстро со скоростью порядка m _{+ 1} , где 0 <  р <  1.

Теорема . Для любой точки z , лежащей вне замыкания области суммируемости T ( F ), найдутся такие точка w ₀ е K и постоянная C * 0, что

lim P F ( z ) W o ^{m + 1} = C .

m ^w

Доказательство. Так как точка z е T ( F ), то z е ( F ( K ))

¹ по определению области T ( F ).

Так как функция F(W ) инъективна на K , то точка w ₀ е K , определяемая равенством

1                                      ,                 .   1 - F ( w )

z = -----, является простым полюсом функции Ф ( w , z ) =--------

F ( w ₀)                                                1 - zF ( w )

.

Обозначим через / — простой достаточно малый контур вокруг точки w ₀. Так как w ₀ простой полюс функции Ф ( w , z ), то

—

- 7^ $^{ф( w} , ^z ) 2 ni^J

Y

dw wk^

^^^^^^^е

1 — F ( w 0 ) = C 1 zF '( w e ) w0 ^{+ 1} w k ^{+ 1},

Краткие сообщени^

где C i = ^{- 1} F ⁽ w^o) * 0.

^{zF (} w o )

Возьмем простой достаточно малый контур ц вокруг начала координат, не пересекающий контур у . По теореме о вычетах получим

-17 ф^ф( w , z ) 2 п^J

ц

dw C

—:—:—I--:—г ^k + 1       ^k + 1

w    W o

= Т1Г Ф ^ф( w, ^z ) 2 n i

I w H

dw w71 ■

C

Просуммируем полученные равенства и перенесем C ₂ = —¹

w 0

^^^^^^^.

- в правую часть:

m i

²— f ^{ф ( w} , ^{z )} k = 0 ^{2 n}i ц

dw wk^

Cm 1

--2 =           Ф(W, Z)     - C2 ■ m+1              J v ' k+1

W0     k=02ni |w|=1

Обозначим через M максимум функции | Ф(w,z)| на окружности {w :| w |= 1}. Тогда m+i f m 1

' 2

< w m ^{+ 1}( mM + | C 2 |)|

w m ^{+ 1} 1,    ^ф ( w , z Нтг

^“0^{2 n}i Ц        w^{k + 1}

Последнее выражение стремится к 0 при m ^ ^, так как | w0 |< 1. Отсюда следует, что lim wm+1 2 -L f ф( w, z) -dw=C2.

^m k = 0²ⁿi Ц         w^{k + 1}

Так как в работе [1] показано, что для z * 1

PF (z) = 1zL ф    (1 - F (w)) dw m 1 - z 1 - z 2ni f (1 - zF(w))(1 - w)wm+1 ■

И так как

1             dw ^m         dw

—ф ^{ф (} w^z )---—_г = 2 Ф^{ф( w} , ^{z )}^р

^{2 ni} Ц        (1 - w ) w m ^{+ 1} £0 Ц         w^{k + 1}

то lim P m ( z ) w ₀ ^{m + 1} = -^ = C , где C = - C- . Теорема доказана.

• m ^~               1 - z               1 - z

Следствие. Для любой точки z , лежащей вне области суммируемости T ( F ), найдутся такие точка w ₀ е K , номер m ₀ и положительные постоянные C 1 , C ₂, что для всех m >  m ₀ справедливы неравенства

—C ¹— <1 F^f (z) |< — C ²—

I     | m + 1 ^m ^{( z} ) < | , m + 1 ■

I ^w 0 I                          I ^w 0 I

Доказательство. По предыдущей теореме найдутся такие точка w ₀ е K и постоянная C * 0, что lim P mF ( z ) w ^ ^{+ 1} = C . В качестве C1 , C ₂ можно по определению предела взять такие положи- m ^^

тельные постоянные, что C1 <  | C | <  C ₂.

Теоремы о скорости сходимости полиномов в зависимости от точки z [1, 2, 4] позволяют по поведению последовательности полиномов Гронуолла определить принадлежность точки к области суммируемости.

Кроме того, полиномы Гронуолла позволяют построить метод суммируемости с областью, захватывающей часть луча за особой точкой функции f ( z ) [1, 7].