Повышенный порядок аппроксимации первой начально-краевой задачи для неклассического дифференциального уравнения гиперболического типа

DOI:

Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных тел) и физики (электромагнитные колебания) сводятся к уравнениям гиперболического типа [1].

Неклассические гиперболические уравнения часто встречаются в задачах, связанных с распространением волн, динамикой структур и процессами передачи информации. В отличие от классических гиперболических уравнений, они могут обладать более сложными свойствами, например такими, как нелинейные эффекты и локальное влияние внешних воздействий на поведение структур. Эти особенности значительно усложняют их анализ и численное решение [7; 12].

Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации представляют собой эффективные инструменты для решения задач, связанных с неклассическими гиперболическими уравнениями. Они обеспечивают высокую точность и устойчивость вычислений, что особенно важно при моделировании динамических процессов [11]. Применение таких схем позволяет существенно снизить численную дисперсию и уменьшить ошибки, возникающие в процессе расчетов. Таким образом, разработка и анализ разностных схем повышенного порядка для неклассических гиперболических уравнений являются актуальной задачей и способствуют более глубокому пониманию сложных динамических систем и повышению качества численных решений, что имеет важное значение для различных прикладных задач в науке и технике.

Настоящая работа посвящена численному решению первой начально-краевой задачи для неклассического гиперболического уравнения с переменными коэффициентами. Для исходной задачи на равномерной сетке была разработана разностная схема повышенного порядка точности, которая аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение. В результате анализа получена априорная оценка в разностной форме с использованием метода энергетических неравенств. Эта оценка позволяет сделать выводы о единственности решения разностной задачи и о непрерывной зависимости решения от входных данных, а также о сходимости численного решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью O(h 4 + т ² ) , где h и т - шаги по пространству и времени соответственно.

Численным методам решения краевых задач для гиперболических уравнений посвящены работы [4–6; 8].

Настоящая работа представляет собой непосредственное продолжение серии исследований автора [2; 3], в которых рассматриваются вопросы разработки разностных схем с повышенным порядком точности.

1.    Постановка задачи

В замкнутом прямоугольнике D = {(x,t) : 0 <  х <  1, 0 <  t <  Т } рассмотрим первую начально-краевую задачу для неклассического дифференциального уравнения гиперболического типа

ш

U tt = (k(x,t)U x ) _х - ^ q _s (x,t)u( ^ _s ,t) + f (x,t), 0 <х<1, 0 <  Т, (1) s=1

u(0,t)= u(l,t) = 0,  0 <  t <  Т,                           (2)

u(x, 0) = u ₀ (x), u _t (x, 0) = U 1 (x), 0 <  x <  I,                     (3)

где

0 < Cq < k(x,t) < C1, \qa(x,t\kt,kx,qs,x(x,t)\ < C2, s = 1,2,...,m, q.,f e C4,1 (D), U e C«(D),   k(x,t),-k(x-t) e C5J(D),             (4)

^ _s , (s = 1, 2, ...,m) - произвольные точки интервала (0,/) : 0 < ^ 1 < ... <  ^ _m < I .

Здесь и далее, при рассмотрении решения дифференциальной задачи, будем предполагать существование и единственность решения, а также выполнение условия согласованности начальных и граничных данных, то есть совпадение значений начальных и граничных условий в точках их пересечения.

• 2.    Устойчивость и сходимость разностной схемы

Введем равномерную сетку соhT = сиh х сит = {(xi,tn) e D], где шh = ^Xi = ih,i = 0,N,h = N} , <шт = {tn = пт,п = 0, no, т = q,

П о

N — количество узлов на [0,/],n _Q — количество узлов на [0,Т ].

В дальнейшем изложении будем пользоваться следующими обозначениями, формулами и леммами [9]:

y = y ^{n +1} , y = y ^{n -1} ,

У = y i = y^ i^n ), y t =

y t + y t)         y ⁿ

—2~, * =-

—

y ^{n 1}

^, τ

y n+1 y t =----

—

τ

y ⁿ

,

n+1

П y yyt = У ----

—

y ^{n 1}

у П+1 у П

—

y ⁿ y ^{n 1}

2т

2т

( y ⁿ y ^n-1 ) , . У х = '     '

У г+1 , У х = ----

—

h

Уг

,

y^²") = ^ y + (1

—

^ 1

—

^ 2 )y + ^ 2 У = У + (° 1 — ^ 2 ) т У ^ + — + ° ² т ² y tt ,

У ⁽° , ^ = ay + (1 — 2 ° )y + a y = y + °т ² y tt при ° = ° 2 ,

( u, v) _x = U _x v + u ⁽⁺¹⁾ v _x = u _x v ⁽⁺¹⁾ + uv _x , u^¹ = u(x ± h), ( u, (av x ) x ) = —

( u, v) _x = U _x V + U ^{( 1)} v _x = U _x v ⁽ 1) + UV _x ,

(av _x , U x ] + a _N u _N V x,_N

—

a i U q V x, q ,

(^W v _k )²<  ^ u ² ^ v² _k , \ (u,v) \ < | u || v | <  e | u | ² ■ ^IMI² , e > 0 — любое число.

Скалярное произведение и нормы вводятся следующим образом:

N - 1                                             N

⁽У,^⁾⁼ ^ y i V i ^h ,   ^(1,У ^{2 )} = IlyG^II ² = llyll ² ,   ⁽У^^] = ^ y i V i ^h ,   ^(1,У ^{2 ]} = ^У^]\ ² .

i=1                                                             i=1

Лемма 1 [9, лемма 3, гл. II, §3]. Для всякой функции y(x) , заданной на равномерной сетке си _h и обращающейся в нуль при x = 0 и x = / , справедлива оценка

J I y x ] \ ² <| y | ² <  8 Ы² .

Лемма 2. Для всякой функции у(х) , заданной на равномерной сетке со _h- , справедлива оценка

² уу ^ = 4 ( у ² + y ² ) _t — | (Ы ² ) ₄ .

На сетке си _{h -} задаче (1)-(3) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации O(h⁴ + т ² ) :

h 2            ^т                   h²

уя = л . л ... .. ) —Е 4 » <»•” (£ . ,t , ) — -л

S=1

(т              \ р Е d^^t,)]

у о = УN = 0, t

£ ^ш - ,

+ ф, (x,t) £ U h, - ,

где

^лу = ^{( а} у х)_х ,

(у(х, 0) = и о (х),   X £ и _h ,

(у t (x, 0) = U i (x), X £ U h ,

h ²                       1

^ds i = Q s ^{( x} i ^,t n+ 2 ), Ф = f +^^л(р/), P^{( x,t )} = цХП)

а(х, t) = 6 [р(х — h,t) + Pp (х — 0, 5h, t) + р(х, t)] ¹ =6

k i - i     k i - 0,5

⁺ ki_

и 1 (х) = и^х) + - ^(k(x, 0)и ‘ (х, 0)) ’ — q(x, 0)и(х, 0) + f (х, 0

х £ w _h .

n i _s

⁽ ^ s ^{— x} i _a )(^ s ^{— x} i _a +1) ⁽ ^ s ^{— X} i , +2 )         (^ s ^{— x} i _a - 1) ⁽ ^ s ^{— x} i _a +1 ⁾⁽ ^ s ^{— X} i , +2 )

— 6h ^{3               у}^ ^-1 '                 2h ^{3                 у}^ ⁺

⁽^ s ^{— x} i _a - 1 )⁽^ s ^{— х}£ )⁽^ s ^{— X} i _a +2 ⁾

⁺          —2h 3            ⁺

⁽^ s ^{— x} i _s - 1 ⁾⁽^ s ^{— x} i _s ⁾⁽^ s ^{— x} i _s + 1 ⁾

где П , = у( ^ _s ,t n ) , х^ <  ^ s <  X i _{s +} 1 ,

у ^{( a} ’ ^{a ) (} ^ s ^,t n ⁾ = от< ⁺¹ + ^{(1 — 2}^⁾п ” + (< ¹ = П , + °^-2n l, ir

В дальнейшем будем считать, что h < тт{^1,/ — ^т}. Невязка h2         т

Ф = —U tt + Ли^" ) — 12л (риц) — Е ^(х, t)u^M(E, _s , t n ) — s=1

-

h- л

+ ф = O(h ⁴ + - 2 ),

z t (x, 0) = Ф = О(т ² ),   р ( - 1) = p i - 1 ,   а ^{( 1} = а ^{п 1}

Поскольку

к(х, t) ,

(аих)х = (ku')' + h2 ^k (p(ku')'^ ^ + O(h4),  p = то, выражая (ku')' из исходного уравнения (1), так как и = и(х,Р) - решение уравнения (1), получаем

т

(ku')' = u tt + Е ^(х, ty^ s , t) — f.

s=1

Следовательно,

‘     h²

Ли = (аи^ _х = (ku')' + —

(k(

m putt + p^qs(x,t)u(^s,t) - pf

S=1

»

+ 0(h ‘ ).

Теорема. Пусть выполнены условия (4), тогда, если σ >  7 2 , ^h <  yiZ O c^-J) ^T т <  т ₀ (с ₀ ,с 1 ,с ₂ , u ,T,l,m) , то для решения разностной задачи (5)-(7) справедлива априорная оценка

I| y ” ⁺¹I I 2 <  *< Ё И< р ” ’ И ² * + Ito ¹11 2 .

п ' =1

где М = const > 0 , не зависящая от h и т ,

1Ы11 = [|Ы1² + II/X ]| ² + Ш1² + ( ^ ^- 7 2) ^т 21Ы | ²] •

Доказательство. Получим априорную оценку решения разностной задачи (5)–(7). Для этого воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим (5) скалярно на 2T/ t = x (y i + / f ) :

h ²

⁽y a . 2^T/l) = (^ЛУ ⁽’ ' ’ ’ ^, 2 t /iJ - — ⁽ Л ⁽pyj t ), 2 v y i ) -

-

^ Ё d_sy^{^\^_s ^,t _n) ^{, 2т}У1^ - ^h2^^A (p Ё d_sy^{c^⁽^_s ^,t _n}^ , ²T/tj + (ф, ^2ту^ •

Преобразуем каждое слагаемое, входящее в (9):

(/ft, ^/t) = (yf - УР yt + yt) = (1, yt - /2) = (T, (yt)t) = (т, y^t = T (llytll2)t •

Первое слагаемое в правой части (9) преобразуем так:

( ^ЛУ ⁽" ’ " ’ > ^2ту^ = [(ay^^,a\, ^2t/^ = ^- (ay^^,a\ ^2T/ ft ] =

= - (a/X + (W^/sit, 2T/Xt] = - (2aT Ухy^t] - (2^4 УxitУx■i] •

Преобразуем слагаемые, входящие в правую часть (11). Тогда на основании лемм 1 и 2 получим:

- (2aT ytysi] = - Qa, (/X + у2^ - T (/Xf)t] = -T (a( 1’, /X + yX - ^/Xt] t+

+ I (ai,yl + yt - T2ylt\ ,

^- ( 2^4 y stt/xl] = ^- ( ^т 2 w, ^{( y} xt ^- / st ) ^{( y} xt + / st)] = ^- ( ^ ^T 2 ^a, ^y ti ^- / It \ =

= - ffT3 (a, (/Xt-)t\ =   ^T p-1’, /Xf] t + ^T3 (aP /It] •

Учитывая (12), (13), из (11) получаем

( ^ЛУ ^{( a} ’ ^a ’ ^{, 2t}/ { ^ = ^{- T} ( ^{a (-1} ’ , / X + ^y X ^{- T} 2 / Xt ] _t + I ^i, / X + ^y X ^- ^/Xt ] ^-

-

^CT 3 ( a ^{( i)} , y Xf ] _t + ^CT 3 ( a t , y li\ = ^{- T} ^^y , y X + ^y X

-

-

T (7 ⁱ⁾ , t ² ^ - 2) y?^ + T (7 ,y X + yx ] + T ^t- t ² ^ - 2) y²^ .

Преобразуем второе слагаемое в правой части уравнения (9), тогда имеем h2                       h2                         h2

-^ ^{(л (} РУй ) , ^2тУ 1 ) = -^ (^{(a (}py tt ) x ) x , ^2Tyt) = 7d^{( a} (pya^ x , ^2тУх:1] =

12                      12                        12

h ²                                 h ²

= 12 ^{( a} P x , ^{( y} t ^- y t ) ^{( y} xt + y xt )] + — (^aP ( - i) ,^

-

^y xt \ ^.

Оценим слагаемые, входящие в правую часть (15). Тогда на основании леммы 2 имеем h2 (aPx, (yt - yt) (yxt + yxt)] = h2 ^Px, (yt - У^ y—

-

y t,i - i

h

₊ y t,i

-

y t,i - i

h

)] ■

= 1-2 ( ^a P x , ^y 2 ^- У ^{2 - ( y} t,i

-

У i,i )^{( y} i,i — 1

-

y t,i - i )] <

^hM i       2     2,2         ^hM i      2,2     2 -2       2 2

< “8” ^, ^2yi i ⁺ ^i -i ^{+ У} i,i-1i <   4 V^M^i + ^yt,i + ^{h y} xt,i + ^{h y} xt,i\ =

= hM₂ (Ш² + Ы1²) + _T M i (1Ы1² + ^y _if ]p) <  hM 3 (Bll² + 1Ы1²),

h ²

12 (aP ( - i) ^,y Xt

= 12 [( ^{(ap (-i) ) ( i) ,y}^ ] _t

Учитывая (16), (17), из (15) находим

-

(( ^ap ( - i) ) t , ^y xt.

.

h ²

-12(л (руи), 2Tyt) < hMM (Hyt’ll2 + 1Ы12) + h2T

+17

( — i)             ^{h T} ((        \    21

,y xt _t ^- 12 H^aP ( - i))t ’y xd .

Третье слагаемое в правой части уравнения (9) преобразуем следующим образом:

( m                  \      / m              m

£ d _s y^M(L. s ,t _n ), 2 т уД = - I £ d s y( K s ,t _n ) + £ cT ^{^} d s У ii ( ^ s ,t _n s=i                       )       \s=i                s=i

), 2tyJ =

-

Оценим слагаемые,

( m                \    / m                    \

£ d _s y⁽ ^ _s , ^t _n ⁾, ^2туД - f£ a ^-2^У ii ⁽ ^ _s ^,t _n ^{) , 2т}уД .

входящие в правую часть (19), тогда получим

( m             \       m

-

£ dsy(^s,tn), 2туД = 2т £ y(ks,tn)(ds,yl) < s=i                              s=i

• - t £ ( y ² ( t„ i n ) + (d„y _i ) ² ) - Wr (|| y , ] | ² + || y || ² + (1, y 2 )) - s=1

< M 4 ^T (|Ы ^{| 2} + ||y|| ² + 4 (1, ^(y t- + y f ) ² )^ <  ^W 5 ^T (||^y f|| ² + ||y _f|| ² + ^| У _Й ^{] | 2} + ||y|| ² ) , (m                 \       m

^ WT ² d s y tt ( ^ s , i n ), 2 r y t = - WT £ t (y t ( ^ s , i n ) - y t ( ^ s ,i n )) (d s , y t + y t ) <  s=1                                   s=1

• < M , VT ^£ (^„ (.JT ² + y , ² (b ,t „ )T ² + ( 1, (fc + y t ) ² )) <

< - y. dyt, ] | ² + иы ² ) + W ) T (Ий | ² + ||rf ² ) .

Учитывая (20), (21), из (19) находим

- (£■      '     ²T«) <

< ^{-t 3} e M ₇ (^yix ^{] | 2} + ^{W y} tx ^{] | 2} ) + ^W 9 ^T (^{W y} x ^{] | 2} + ^{W y | 2} ) + ^W 10 ^T (^{| y} t ||² + ||^yi|| ² ) .

Преобразуем теперь четвертое слагаемое в правой части (9), тогда имеем

^- J2 !^л fp £ ^d _s y ^,’'” ⁽t . ,ⁱ n )j , ^2tVi \ = ^- j2 ((a fp £ ^d . » ⁽’ ’ ’^{) (}t _s ^,t „ )

) ) , 2 T y i

/ X/ X

)

= ^ (а (Р £ dsy(^s,tn}^ + а ^p-T2 £ dsytt^s, (n^ , 2тУх^= h2 m                             mh

= 12    У⁽^, ⁱ n ^{) (а (}P ^d s) _s , ^{2 T} yJ + 52 v^y tt ⁽^ s , Q— ^{(а (}P ^d s) _s , ^{2 T} y at ] .

s=1

Оценим слагаемые, входящие в правую часть (23), тогда имеем

• h^{2 m}

• 12 52 y^s, in) (a (Pds)x , 2тУ^

T h ² ^                                 T h ²

< ^^П ~24 £ (y^s^ t n) + ^{(1 ,y} xi + y at ] )< М 12 -24 (^{| y} x ] | + 1Ы1 + ( 1, ( ^y xf + ^y xt ])) -

3=1

T h ²

• ^— M 12 — (^xt ^{] |}   +   o' .;    + ^У х ^{] |}   + ||^y|| ) ^— M 13 ^T (||^yf ||  + ||^y f ||  + ||^y|| ) ,

^m             h²                       _T h 2 ^m

52 W^y it (^ s , ⁱ n ⁾~ ^{( a (}P ^d s ) x , ^2тУ х1 ^] <  ^M 14 ^y 52 V^W t ⁽ ^ s , ⁱ n ^{) (1,} y xt] <  s=1                                                   s=1

Tv h m

< M14-—- £ ^2 (yt(^s, in) — yt(^s, in)) + (1, (yxt + yxF)] ) < s=1

h ²

< ^T^ i5~x (ll^yfll² + 1Ы1² + ^Wy xt ^]|2 + ^y xt ] ^{1 2}) < ^T^ 16 (^|ydl² + 1Ы1²) .

Учитывая (24), (25), из (23) находим

- Ij (^Л (^P Е^У^ (^’^ ’ ^2тУ^ <^мп^т (1Ш1² + 1Ы1² + 1Ы1² ) .    (26)

Последнее слагаемое в правой части (9) оценим следующим образом:

(ф’ ^2тУ1) = (Ф’ ^{т (y} t + y t )) <  ^т ( 1, ф ² + 2^у2 + 2у ² ) = ^т1М1 ² + ^{т (} H ^yt H ² + 1Ы1^{2 )} . ⁽²⁷⁾

Учитывая полученные оценки (10)–(27), из (9) находим

^т (^| y t ^{| 2} ) _t + ^т (^- ’У ² + ^{y 2}j + ^т ( « ^(-1) ’ ^т 2 ( ° ^- 2 ) y tt ^- 2^ (( «Р ( - 1) ) ^(-1) ’У²^ <

< ° ^{т 3} е М ₇ (^{| у}й ] | ² + ^{ll y} tx ] | ² ) + ^ .' ^т (^{| у} х ] | ² + ||^у|| ² ) + ^1 9 ^{( 2} + ^{т )} (^{| y} t ||² + ^{l y} t ||² ) +

+ ^т (у ’у Х + ^y t ] + ^т (^ ^т 2 ( ° ^- j ) y tt j ^- 2^ ^/ (—^E y tt ] + ||ф|| ^{2 т      (}28)

Выбирая 2 <  т , просуммируем (28) по п ' от 1 до п , тогда получим

Ы12 + IWI2 + IfeIf + (т2 (о- - j) - ^) ||уйЦ2 < п Г

< ^ 20 Е ^от 2 Е ( H^y tx ^{] | 2} + ||^y tx ^{] | 2} ) + ||^yd| ² + ||^y t H ² + ^ух ^{] | 2} + ||^y x ^{] | 2} + ||^у|| ² + п ‘ =1

⁺     ( ° ^— 2 ) ^— 12 ( ^{С 1 +}1 0 )]^{ы| 2 + |ф|2}] ^{т +}

+М 21 ^ II² + Ы] | ² + Ы] | ² + ( т ² ( о — 2 ) — -2С_ ) | y t_dp] .

Выбирая σ >  2 ,2 <  уб Су о — 2 )т , из (29) находим

^ ^y t ^{| 2} + ^у х ^{] | 2} + ^{| у} х ^{] | 2} + ^т 2 ( ° — j ) ^xt ^{] | 2} < ^ 22 ^ р^т 2 Е ( H^y tx ^{] | 2} + ^{| y} tx ^{] | 2} ) + + 11 + 112 + ll^y f|| ² + 1 + ^{] | 2} + ^{| y} t ^{] | 2} + ||^у|| ² + ^т 2 ( ° ^— j ) ^{| y} tt ^{] | 2}j ^т + + ^ 2з [е ^{| ф |} 2 ^т + ^{| y} f ^{| | 2} + ^ ^у Х ^{] | 2} + ^ ^у Х ^{] | 2} + ^т 2 ( ° ^— j ) ^{| y} ttH²] .

В (30) преобразуем £ ( | у_а] | ² + Цуц ] | ² ) т и £ ( Н У г | ² + |Ы|²) т , тогда получим

п

п

п ‘ =1

п ‘ =1

п                           п                п             п+1              п

Е ( иы ² + ibt ] | ² ) т = е ьй⁺¹ ] | ² т + Е Н уйЖ = Е !у п ] | ² т + Е iiytt ] | ² т <

п ‘ =1

п ‘ =1

п ‘ =1              п ‘ =2              п ‘ =1

n

< тИШ2 + Т1Й,]|2 + 2 £ ЦуЙ|2т,(31)

n ' =1

nn

£ (tell2 + Itell2) т < тИ^и2 + Ttell2 + 2 £ te‘Ite n‘=1

Принимая во внимание (31), (32), из (30) с учетом леммы 1 находим

⁽¹ - ^М 22 ^{т )} ||^yt|| ^{2 + y} x ^{1 2 + y} x ^{1 2 +} ^ ^{a (1} - ^^ТМ 23 ⁾ - 2 ^ T^ y xi ] ^{| 2} <

< ^M 24 £ [ll^y t||^{2 + y} x ^{2 + y} x ^{2 +} ^ ^{a (1} - ^{e M} 25 ⁾ - 2 ^ ^т 2 ^{l y} Xt ^{] | 2}^ ^{т +}

n

+ mJ £ teite+tell² + ten² + n ' =1

ll^y X ^{] | 2 +} ^ ^{ff (1} - E^^M 27 ) - 2 ) ^{T 2 | y} it ^{] | 2}j •

Выбирая т < то = 2^2, a > g, £ < {gf^,   - , ^   .}, из (33) получаем n                    Г n tetel? < Ate £ te'lte + Ate £ k-’ite + tell? ,

n ‘ =1                    n ‘ =1

где 11у ^И ? = llytll^{2 +} 1Ш^{|2 +} Ух ^{2 +} (^{a -} 72) ^т21Ы | ² .

Применяя разностный аналог леммы Гронуолла [10, с. 171, лемма 4], из (34) получаем

ИУ ⁺¹ И ? <  Ate ^£ lltelte + tell ? , n ‘ =1

где M i , (i = 1, 2, 3, •••) - положительные постоянные, не зависящие от h и т .

Теорема доказана.

Из оценки (35) следует устойчивость и сходимость схемы (5)-(7) со скоростью

O(h ⁴ + т ² ) при a > ^ , h < ^ 6с ₀ (a —

2 )т , т <  т о (с о ,с ? ,С 2 , а ,Т ) в норме ||у|| ? .

Замечание. В работе исследована первая начально-краевая задача для неклассического дифференциального уравнения гиперболического типа. С помощью метода конечных разностей построена разностная схема повышенного порядка точности. Получена априорная оценка в разностной форме. Основной метод получения априорной оценки - метод энергетических неравенств. Из полученной оценки следуют единственность и устойчивость решения относительно входных данных. В силу линейности рассматриваемой задачи полученная оценка позволяет утверждать сходимость приближенного решения к точному (в предположении существования последнего в классе достаточно гладких функций) со скоростью O(h ⁴ + т ² ) .