Преимущества векторного метода решения геометрических задач

Геометрия за то и прославляется, что заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает.

Исаак Ньютон

Задачи по геометрии вызывают сложности у большинства учащихся, многие даже не начинают решать. Для решения геометрических задач необходимо знание основных определений и теорем, пространственное и геометрическое воображение, умение выполнять построения, применять тригонометрию, выполнять необходимые расчеты. Математики очень рационально подходят к любому решению. Найти наиболее удобный, быстрый, красивый метод решения задачи стал двигателем науки.

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, которое переросло    в самостоятельную науку – аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ее методом.

Главную ценность метода координат составляет перенесение в геометрию свойственных алгебре способов решения задач. Задачи по геометрии можно решить различными способами, например, поэтапновычислительным, который га требует хорошего знания тсча теории. Другой метод – векторный, который прост веприом в решении. У координатного теодм метода есть преимущество ткенро – здесь возможно обойтись без сложных построений, нет необходимости гуяалондм прибегать к наглядному зкиф представлению сложных пространственных ткаоринды конфигураций. С помощью векторного метода можно эффективно зкиф решить ряд аффинных тучьлпои и метрических задач планиметрии гтсчкероийм и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии.

Так же изучение тучьплои векторного метода зэкаенм представляет собой самостоятельный ткроий познавательный интерес, т.к. на его основе имеется возможность корректно сзяваниым ввести метод тченим координат на плоскости и в пространстве.

Также стоит отметить , что изучение метода координат тсяеим является неотъемлемой тадю частью школьного курса ткаеж геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого зэка числа задач, в том числе, задач Единого зки Государственного экзамена (раздел С). А так как, эти задания – повышенной сложности, то они приносят учащимся гтсчкериой хорошие баллы при сдаче зучяе ЕГЭ.

Поэтому необходима методика обучению координатно-векторному методу ени , позволяющая обучить тченим учащихся применять его при решении планиметрических и стереометрических задач.

Векторно-координатный метод позволяет сели рассматривать множество анйды самых трудных задач хкалпрниды на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой сел и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными ткаеоидм плоскостями, между ерни скрещивающимися прямыми). Данный ванои метод по праву считается одним из универсальных методов тэквеоинф геометрии. Широкие тсвчяелныю возможности использования векторного аппарата и его значение в наращивании математической культуры школьников учелш трудно переоценить тзвабы . Владение знаниями, связанными тсчаены с операциями над векторами, коллинеарностью двух векторов и компланарностью тсалоби трех векторов , дают возможность школьникам гкьлнош решать аффинные задачи стереометрии в векторной форме сзьвалп . Векторный метод позволяет находить эффективное тсавел решение и ряда прикладных задач физики и астрономии.

Отметим, что в разные гарн периоды времени вопросами, связанными с векторным методом решения геометрических задач, занимались ученые зхарны в области физики, математики тк и методики, такие как Р. Декарт, Ж. Арган, З.А. Скопец, А.Н. Колмогоров, А.Д. Александров, В.А Гусев, Ю.М. Калягин, Т.А. Иванова и др.

В настоящее тсувепроимщ время имеется несколько подходов к определению понятия ткерон вектор, определены гкур действия над векторами, выделен тсавлеони круг задач, решаемых с помощью векторного метода , выявлены умения зсьед и навыки, позволяющие применять вепроим векторный метод на практике . С этой целью построены зваепброни частные методики тео , направленные на обучение школьников векторам и векторному способу решения задач. Все они базируются сели на соображении о том, что первостепенное тзвяепло назначение векторов связано тсуаяед с использованием алгебраического аппарата при решении геометрической задачи.

Несмотря на все это, многие тсувеприо специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются использовать векторный метод а для решения содержательных задач.

Вышесказанное дает возможность выделить некоторое существующее противоречие между гукр необходимостью обучения учащихся тсчаены векторному методу решения геометрических задач и недостаточно гкьлонш отведенному вниманию гтсхчкеорим этому методу на практике . Cформулированное противоречие определило актуальность данной темы . В работе рассмотрены гкьлнош некоторые особенности изучения гтхуьелроны векторного метода в процессе решения геометрических задач т на основе алгоритма га освоения указанного метода.

Алгоритм освоения векторного метода:

• 1)    вычленяются ключевые теод объекты и в структуру ткроий геометрической задачи вводятся га ключевые векторы;

• 2)    перевод соотношений между объектами теод задачи к соотношениям тсои между введенными векторами;

• 3)    выделение базиса и/или фиксирование системы координат;

• 4)    использование вспомогательных тсчявелныю векторов, составление соотношений

между векторами, векторных равенств и неравенств;

• 5)    разложение т векторов по базису, определение координат рассматриваемых векторов;

• 6)    преобразование полученных соотношений средствами векторной тся алгебры, получение за новых соотношений;

• 7)    переход тзсаьяни от полученных соотношений между векторами к соотношениям между т объектами задачи.

Преимущество методов аналитической тхкваеор геометрии перед альтернативным решением средствами дополнительных сели построений состоит в том, что удается полностью отстраниться ткаеж от чертежа и заниматься исключительно числами (координатами). Поэтому тха в определенных условиях подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные решения. Причем за весьма зсье короткий срок учел и в обход большого количества тем.

Если у школьника имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением хкаи или построением сложного стереометрического рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые тс дополнительные построения, то можно построить работу гуяал по С2 на векторах и координатах. Особенно это актуально в условиях экстренной яерниш помощи, когда тсвчяленыю на подготовку к ЕГЭ отводится всего тсавелони лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени на неспешный звяелпои комплексный подход , то лучше всего сразу обратиться к координатам.

Три проблемы векторно-координатного метода:

О каких ткорй проблемных ситуациях гкьлно необходимо помнить? Какие гтскчероий ошибки чаще всего допускаются школьниками?

• 1)    От того, что забывают алгоритм тха поиска нормали.

• 2)    Путаются зк с введением системы координат или с определением координат у точек з (задающих прямые г и плоскости) в разных многогранниках.

• 3)    Не справляются с вычислениями, если в координаты вершин попадают квадратные корни ткроий . Обычно эта ситуация возникает тзсьаяним в треугольных пирамидах.

Третью проблему снять не удается. Пирамиду не переделаешь. А вот получить практику нахождения зк нормали и научиться определять координаты вполне реально.

Практика показываетанйды, что учащиеся быстро осваиваютгувло метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общегосели алгоритма:   вычислитьтзявепло координаты необходимых точекгарн , расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторыхтказадач дополнительнотсяеитребуется умение составлять уравнение плоскости.

Какую подготовку к восприятию векторно-координатных приемов должен провести учитель?

Необходимо повторить следующие темы:

• 1)    Координаты точки и координаты вектора.

• 2)    Длина вектора.

• 3)    Скалярное произведение векторов.

• 4)    Координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).

Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.

Использование векторного метода при решении геометрических задач способствует развитию творческого, эвристического мышления учащихся, поскольку задание системы координат как вспомогательного элемента – это нестандартный способ решения задач. Формирование последовательности действий будет способствовать эффективному и осмысленному применению метода координат в различных ситуациях. Средством обучения учащихся этому методу являются геометрические задачи определенных типов. Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить время для нахождения решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ на различных олимпиадах. В дальнейшем, при изучении математики в высших учебных заведениях, учащийся также сможет использовать полученный опыт [3].