Научные статьи \ Математика. Естественные науки \ Математика \ Теория вероятностей и математическая статистика

Применение функций Христова для анализа стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в неограниченной области

Применение функций Христова для анализа стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в неограниченной области

Автор: Полосков И.Е.

Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi

Рубрика: Механика. Математическое моделирование

Статья в выпуске: 3 (34), 2016 года.

Бесплатный доступ

В работе представлены методика и компьютерный алгоритм применения системы ор-тонормированных на всей действительной оси функций Христова, замкнутых относительно операций умножения и дифференцирования, для анализа стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в неограниченной области на примере семейства уравнений Кортевега^де Фриза. Представлены результаты вычислений стохастических характеристик решения одного из этих уравнений, выполненных в среде пакета Mathematica.

Стохастическая система, моделирование, дифференциальное урав нение в частных производных, приближенное аналитическое решение, функции хри стова, моментные функции

Короткий адрес: https://sciup.org/14730070

IDR: 14730070   |   УДК: 519.21:681.5.072

Application of the Christov's functions for an analysis of stochastic partial differential equations in a unbounded region

This paper presents a methodology and a computer algorithm for application of a system of the Christov's functions, which are orthonormal on the whole real axis and closed under operations of multiplication and differentiation, for an analysis of stochastic partial differential equations in a unbounded region on the example of the family of Kordeveg^de Vries equations. We demonstrate results of calculations of stochastic characteristics for solution of one equation from the family. These results were obtained in the environment of Mathematica package.

Список литературы Применение функций Христова для анализа стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в неограниченной области

  • Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 336 с.
  • Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1991. 320 с.
  • Николаенко Н.А., Ульянов С.В. Статистическая динамика машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 368 с.
  • Коненков Ю.К., Давтян М.Д. Случайные механические процессы в оборудовании машин. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.
  • Макеев В.П., Гриненко Н.И., Павлюк Ю.С. Статистические задачи динамики упругих конструкций. М.: Наука, 1984. 232 с.
  • Bucher С. Computational analysis of randomness in structural mechanics. London: Taylor k Francis, 2009. XVIII, 230 p.
  • Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. М.: Машиностроение, 1983. 264 с.
  • Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.
  • Ланда П. С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. 320 с.
  • Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Липатов Л.И. Системный анализ процессов химической технологии. М.: Наука, 1982. 344 с.
  • Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.
  • Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. В 2-х т. М.: Мир, 1980. Т. 1. 280 с; 1981. Т. 2. 317 с.
  • Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. 404 с.
  • Рытое С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1978. 4.2. Случайные поля. 464 с.
  • Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. 442 с.
  • Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. 4.1. 640 с; 1967. 4.2. 720 с.
  • Ortiz de Zurate J.M., Sengers J. V. Hyd-rodynamic fluctuations in fluids and fluid mixtures. Amsterdam: Elsevier, 2006. X, 309 p.
  • Ohayon R., Soize C. Structural acoustics and vibration mechanical models: Variational formulations and discretization. London: Academic Press, 1998. X, 424 p.
  • Kulasiri D., Venvoerd W. Stochastic dynamics: modeling solute transport in porous media. Amsterdam: Elsevier, 2002. XII, 239 p.
  • den Hollander F. Random polymers. Berlin: Springer, 2009. XIII, 258 p.
  • Kaminski M.M. Computational mechanics of composite materials: sensitivity, randomness, and multiscale behaviour. London: Springer, 2005. XVII, 418 p.
  • Haile J.M. Molecular dynamics simulation: elementary methods. New York: Wiley, 1992. XVIII, 489 p.
  • Ostoja-Starzewski M. Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials. New York: Taylor k, Francis, 2008. XXV, 471 p.
  • Radons G., Rumpf B., Schuster H.G. (eds.) Nonlinear dynamics of nanosystems. Wein-heim: Wiley-VCH Verlag, 2010. XX, 455 p.
  • Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. 351 с.
  • Balendra Т. Vibration of buildings to wind and earthquake loads. Berlin: Springer, 1993. X, 149 p.
  • Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей. М.: Изд-во МФТИ, 1998. 208 с.
  • Potapov V.D. Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems. New York: Wiley, 1999. 275 p.
  • Schwarz A., Janicka J. (eds.) Combustion noise. Berlin, Heidelberg: Springer, 2009. XVII, 291 p.
  • Donev A., Vanden-Eijnden E., Garcia A.L., Bell J.B. On the accuracy of finite-volume schemes for fluctuating hydrodynamics//Communications in Applied Mathematics and Computational Science. 2010. Vol.5, № 2. P. 1 19 197.
  • Budhiraja A., Dupuis P. A variational representation for positive functionals of a Hilbert space//Probability and Mathematical Statistics. 2000. Vol.'20, № 1. P. 3961.
  • Еончаренко B.M. О случайных колебаниях упругих тел и теория марковских процессов//Прикладная механика. 1991. Т. 27, № 8. С. 95-100.
  • Chow P.-L. Stochastic partial differential equations. Boca Raton: CRC, 2015. XII, 314 p.
  • Da Prato G. Kolmogorov equations for stochastic PDEs. Basel: Springer, 2004. VII, 182 p.
  • Duan J., Wang W. Effective dynamics of stochastic partial differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2014. XII, 270 p.
  • Lord G.J., Powell C.E., Shardlow T. An introduction to computational stochastic PDEs. New York: Cambridge University Press, 2014. XVII, 503 p.
  • Walsh J.B. An introduction to stochastic partial differential equations//Ecole d'Ete de Probabilites de Saint Flour XIV 1984: Lecture Notes in Mathematics, № 1180. Berlin: Springer, 1986. P. 265-439.
  • Elishakoff I. Probabilistic theory of structures. 2nd ed. Mineola (NY): Dover, 1999. XVII, 492 p.
  • Liu W., Rockner M. Stochastic partial differential equations: An introduction. Cham: Springer, 2015. VI, 266 p.
  • Wan F.Y.M. Linear partial differential equations with random forcing//Studies in Applied Mathematics. 1972. Vol.51, № 2. P. 163-178.
  • Hopf E. Statistical hydrodynamics and functional calculus//Journal of Rational Mechanics and Analalysis. 1952. Vol.1, P. 87-123.
  • Polhemus N.W., Cakmak A.S. Simulation of earthquake ground motion using ARMA models//Earthquake Engineering k, Structural Dynamics. 1981. Vol.9, № 4. P. 343-354.
  • Shinozuka M. Structural response variability//Journal of Engineering Mechanics (ASCE). 1987. Vol. 113, № 6. P. 825-842.
  • Spanos P.D., Mignolet М.Р. Z-transform modeling of Р-М wave spectrum//Journal of Engineering Mechanics (ASCE). 1986. Vol.112, № 8. P. 745^759.
  • Cliffe K.A., Giles M.B., Scheichl R., Teckentrup A.L. Multilevel Monte Carlo methods and applications to elliptic PDEs with random coefficients//Computing and Visualization in Science. 2011. Vol. 14, № 1. P.:] 15.
  • Giles M.B. Multilevel Monte Carlo path simulation//Operations Research. 2008. Vol. 56, № 3. P. 607-617.
  • Нои T. Y., Luo W., Rozovskii В., Zhou H.-M. Wiener chaos expansions and numerical solutions of randomly forced equations of fluid mechanics//Journal of Computational Physics. 2006. Vol.216, № 2. P. 687-706.
  • Ghanem R., Spanos P.D. Stochastic finite elements: a spectral approach. New York: Springer, 1991. XI, 222 p.
  • Kaminski M.M. The stochastic perturbation method for computational mechanics. Chichester: Wiley, 2013. XVIII, 330 p.
  • Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: Its basis and fundamentals. 7th ed. Oxford: Butter-worth-Heinemann, 2013. 756 p.
  • Cao Т., Yin L. Spectral Galerkin method for stochastic wave equations driven by space-time white noise//Communications on Pure and Applied Analysis. 2007. Vol. 6,.V" 3. P.0U7 617.
  • Li H., Zhang D. Probabilistic collocation method for flow in porous media: Comparisons with other stochastic methods//Water Resources Research. 2007. Vol.43, № 9. 13 p.
  • Bell J.B., Garcia A.L., Williams S.A. Numerical methods for the stochastic Lan-dau-Lifshitz Navier^Stokes equations//Physical Review E. 2007. Vol.76, № 1. 016708. 12 p.
  • Власова E.A., Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н. Приближенные методы математической физики: учеб. для вузов/под ред. В.С.Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 700 с.
  • Chatteljee A. An introduction to the proper orthogonal decomposition//Current Science. 2000. Vol. 78, № 7. P. 808^817.
  • Holmes P., Lumley J.L., Berkooz G. Turbulence, coherent structures, dynamical systems, and symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1996. XVIII, 420 p.
  • Liang Y.C, Lee H.P., Lim S.P., Lin W.Z., Lee K.H., Wu C.G. Proper orthogonal decomposition and its applications -Part I: theory//Journal of Sound and Vibrations. 2002."Vol. 252, № 3. I'. 527 511.
  • Dewit T.D., Pecquet A.L., Vallet J.C The biorthogonal decomposition as a tool for investigation fluctuations in plasmas//Physics of Plasmas. 1994. Vol.1, № 10. P. 3288^3300.
  • Feeny B.F. A complex orthogonal decomposition for wave motion analysis//Journal of Sound and Vibrations. 2008. Vol. 310, № 1-2. P. 77^90.
  • Burkardt J., Gunzburger M., Lee H.-Ch. POD and CVT-based reduced-order modeling of Navier^Stokes flows//Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2006. Vol. 196, № 1 3. P. 337 355.
  • Maccone С Deep space flight and communications: Exploiting the Sun as a gravitational lens. Berlin: Springer, 2009. XXXIV, 402 p.
  • Principal component analysis -Engineering applications/P. Sanguansat (ed.). Rijeka: InTech, 2012. X, 218 p.
  • Форсайт Дою., Малькольм, M., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.
  • Fox R.O. Quadrature-based moment methods for polydisperse multiphase flows//Stochastic Methods in Fluid Mechanics/J.-P. Minier, S.Chibbaro (eds.). WTien: Springer; Udine: CISM, 2014. I'. ST 136.
  • Chang J., Wang R., Jing Y. Random splines and random empirical mode decomposition//Journal of Information and Computing Science. 2010. Vol.7, № 10. I'. 2155 2161.
  • Gittelson C.J. Adaptive wavelet methods for elliptic partial differential equations with random operators//Numerische Mathematik. 2014. Vol. 126, № 3. P. 471-513.
  • El-Beltagy M.A., Al-Mulla N.A. Solution of the stochastic heat equation with nonlinear losses using Wiener-Hermite expansion//Journal of Applied Mathematics. 2014. Vol. 2014. Article ID 843714. 9 p.
  • Doostan A., Iaccarino G. A least-squares approximation of partial differential equations with high-dimensional random inputs//Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228, № 12. P. 4332-4345.
  • Lord G., Shardlow T. Post processing for stochastic parabolic partial differential equations//SIAM Journal on Numerical Analysis. 2007. Vol.45, № 2. P.870-889.
  • Wang X., Gan S. A Runge-Kutta type scheme for nonlinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise//Numerical Algorithms. 2013. Vol. 62, № 2. P. 193-223.
  • Kloeden P.E., Lord G.J., Neuenkirch A., Shardlow T. The exponential integrator scheme for stochastic partial differential equations: Pathwise error bounds//Journal of Computational and Applied Mathematics. 2011. Vol.235, № 5. P. 1245-1260.
  • Wang X. An exponential integrator scheme for time discretization of nonlinear stochastic wave equation//Journal of Scientific Computing. 2015. Vol. 64, № 1. P. 234263.
  • Lang A., Chow P.-L., Potthoff J. Almost sure convergence of a semidiscrete Milstein scheme for SPDE's of Zakai type//Sto-chastics: An International Journal of Probability and Stochastic Processes. 2010. Vol. 82, № 3. P. 315-326.
  • Cerrai S., Freidlin M. Averaging principle for a class of stochastic reaction-diffusion equations//Probability Theory and Related Fields. 2009. Vol.144, № 1/2. P. 137177.
  • Kolkovska E.K. On the Burgers equation with a stochastic stepping-stone noisy term//Journal of Mathematical Sciences. 2004. Vol. 121, № 5. P. 2645-2652.
  • McDonald S. Finite difference approximation for linear stochastic partial differential equations with method of lines//MPRA Paper No. 3983. 2007. 18 p. URL: mpra.ub.uni-muenchen.de/3983/l/MPRA _paper_3983.pdf (дата обращения: 12.06.2016).
  • Roberts A.J. Resolving the multitude of microscale interactions accurately models stochastic partial differential equations//LMS Journal of Computation and Mathematics. 2006. Vol.9. P. 193-221.
  • Jentzen A., Kloeden P.E Taylor approximations for stochastic partial differential equations. Philadelphia: SIAM, 2011. XIV, 220 p.
  • Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. M.: Наука, 1976. 328 с.
  • Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: РХД, 2001. 464 с.
  • Маланин В.В., Полосков И.Е. Исследование нелинейных стохастических систем с применением языка ФОРМАК//Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1984. С. 105-111.
  • Christov C.I. A complete orthogonal system of functions in L2(-oo, oo) space//SIAM Journal on Applied Mathematics. 1982. Vol.42, № 6. P. 1337-1344.
  • Biggins J.R. Completeness and basis properties of sets of special functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1977. X,134 p.
  • Boyd J.P. Spectral methods using rational basis functions on an infinite interval//Journal of Computational Physics. 1987. Vol.69, № 1. P. 112-142.
  • Boyd J.P. The orthogonal rational functions of Higgins and Christov and algebraically mapped Chebyshev polynomials//Journal of Approximation Theory. 1990. Vol.61, № 1. P.98-105.
  • Качмарж С, Штейпгауз F. Теория ортогональных рядов. M.: Физматгиз, 1958. 507 с.
  • Богуславский И.А. Статистический анализ многомерных систем при использовании полиномов Эрмита многих переменных//Автоматика и телемеханика. 1969. № 7. С. 36-51.
  • Полосков И.Е. Системы аналитических вычислений. Общие сведения, структура и приложения/учеб. пособ. Перм. гос. нац. исслед. ун-т. Пермь, 2013. 660 с.
  • Mangano S. Mathematics cookbook. Seba-stopol (CA): O'Reilly, 2010. XXIV, 800p.
  • Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971. 328 с.
  • Kloeden Р.Е., Platen Е. Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin: Springer, 1992. XXXV, 632 p.
Еще
QR-код для установки приложения SciUp Наведите камеру и скачайте бесплатное приложение SciUp