Применение схемы МШРПС для анализа линейных стохастических систем с распределенными и конечными сосредоточенными запаздываниями

Несмотря на то что первые исследования, связанные с учетом влияния последействия на динамику систем различных классов, начались много лет назад, только в последние годы такие исследования стали интенсивно развиваться, в первую очередь вследствие потребностей практики: сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергии, теории информации и т.д.

Математическими моделями соответствующих процессов служат функциональнодифференциальные уравнения (ФДУ) и их

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-96019.

частные формы, такие как ДУ с запаздыванием, ДУ нейтрального типа, интегро-дифференциальные уравнения и др. [1-6]. Такие уравнения применяются для описания гибридных моделей, процессов автоматического регулирования и управления техническими системами, химико-технологических 11 ДРУГИХ производственных процессов (например, холодной прокатки стали); генерации сигналов в радиосхемах и лазерах, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов; работы сетевых систем, электростанций, систем навигации, цепей туннельных диодов, в робототехнике, в экологии (контроль качества воды) и т.д.

В процессе развития методов анализа детерминированных систем с последействием возник интерес (начало 1960-х гг., одна из первых работ [7]) к стохастическим ФДУ разных типов [1, 5, 8-10], с помощью кото- рых могут исследоваться новые эффекты (например, разрушение или формирование колебательных движений). Но исследование таких систем вызывает значительные трудности. В настоящее время существует только несколько областей исследования стохастических ФДУ, где ведутся интенсивные научные разработки. Среди них качественный анализ существования и устойчивости решений (стабилизации) ФДУ, стохастической управляемости и наблюдаемости, прямое количественное исследование линейных систем, в первую очередь, на основе применения классического метода шагов; использование процедур усреднения ДУ с учетом малости запаздывания; построение различных численных интеграторов и других методик для получения частных решений задач [4,11,12] и т.д.

Среди приближенных методов следует отметить технику перехода от немарковских систем с малыми запаздыванием т (в том числе переменным и случайным) или памятью с помощью метода усреднения к марковским системам без запаздывания. Конечно, нельзя забывать и о прямом численном интегрировании стохастических ФДУ [10]. При этом даже алгоритм основного метода - простейшей схемы Эйлера-Маруямы с постоянным шагом, приводящий к значительным объемам расчетов, существенно сложнее своего аналога, предназначенного для анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) без запаздывания [13].

Среди стохастических ФДУ можно выделить класс линейных и нелинейных СДУ с распределенными и конечными сосредоточенными запаздываниями. Детерминированные аналоги таких уравнений могут принимать форму смешанных дифференциальных уравнений с запаздыванием (сосредоточенные запаздывания) и интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ, распределенное запаздыванием) [14], а использоваться при моделировании различных процессов [17] в электрических цепях и химических реакторах [18], для регулирования соотношения глюкоза-инсулин при диабете [19], анализа поведения нейронных сетей, человеческих чувств и др. Кроме того, системы стохастических ИДУ часто появляются как ре зультат применения процедур типа метода конечных элементов или метода конечных разностей к стохастическим ИДУ в частных производных [15], которые описывают непрерывную вязкоупругую среду. Заметим, что общую теорию и первичную классификацию детерминированных ИДУ, обыкновенных и в частных производных, разработал В.Вольтерра [16] в первой половине XX в. Основными задачами анализа подобных детерминированных систем являются поиск критериев существования решения и оценка устойчивости как самих решений этих уравнений, так и схем их численного интегрирования.

Естественно, что усложнение используемого математического аппарата ведет и к усложнению применяемых методов и, в первую очередь, приближенных, так как возможности получения точных аналитических решений серьезных проблем, включая указанные выше, весьма ограничены. Поэтому в последние десятилетия значительное внимание специалистов уделяется диктуемой практикой разработке эффективных приближенных методов решения ИДУ. Отметим, что основными приближенными методами в этой области являются конечноразностные процедуры, различные варианты методов Рунге-Кутты, трапеций, коллокации [14, 20, 21] и др. Несмотря на наличие некоторого количества результатов, связанных с построением алгоритмов решения стохастических ИДУ (см. [15,22-24]), методы численного или приближенного аналитического интегрирования стохастических систем рассматриваемой структуры развиты недостаточно. При этом полезно адаптировать существующие методы анализа детерминированных ИДЕ для изучения стохастических, так как основная часть алгоритмов качественного и количественного исследования явлений, описываемых стохастическими ИДУ (СИДУ), состоит из детерминированных схем.

Был разработан ряд других процедур для получения численных аппроксимаций решений детерминированных и стохастических ИДУ. При анализе стохастических задач приближенные алгоритмы, как правило, используются для прямого построения реа- лизаций случайных процессов как решений стохастических ИДУ. Среди таких схем отметим:

- полностью численные методы (классические и модифицированные гибридные), такие как явные и неявные (обратные) схемы Эйлера [25], метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод полудискретизации [25,26], тау-метод [27,28], одношаговые методы Рунге-Кутты и многошаговые схемы для ИДУ [29-34], метод Рунге-Кутты [35] для вычисления ковариационных функций, экстраполяционные схемы [36], методы Галеркина [37], метод итераций на последнем шаге [38], использование вейвлетов [39], глобально определенные базисные Smc-функции [40], приближенное преобразование СИДУ в СДУ на основе усреднения ядра [15, 41, 42] и разложений гамма-распределения [43], метод прямоугольников и более сложные схемы интегрирования [44];

- приближенно-аналитические методы, включающие методы рядов Тейлора [45], метод последовательных приближений для вычисления функции Грина [46], асимптотический метод [47, 48] для ИДУ, детерминированный и стохастический методы усреднения для СИДУ [49-51], метод многих масштабов Хи, метод коллокаций [21, 53], теория возмущений [54], принцип неподвижной точки на основе биортогональных систем для банаховых пространств [55], итерационный метод [56], непрерывные методы Рунге-Кутты, основанные на методе коллокаций [57], преобразование Лапласа для одномерной ограниченной пространственной области [58], методы Эйлера-Чебышева [59] и др.

Наша схема анализа некоторых классов систем стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с различными типами запаздывания [60-67] базируется на комбинации метода шагов и расширении пространства состояния (МШРПС) и позволяет строить процедуры исследования различных форм ФДУ с одной точки зрения. При этом в большинстве вариантов схемы ошибка метода отсутствует. Кроме того, исчезают многие проблемы, возникающие при реализации процедур прямого численного интегрирования ДУ с запаздыванием. В данной работе мы представляем детали этого мето да для анализа систем линейных стохастических систем с распределенными и конечными сосредоточенными запаздываниями, основанной на модификации указанной схемы.

1.    Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений Ито с распределенными и конечными сосредоточенными т >  0 запаздываниями следующего вида: в

X ( t ) = P ( t ) X ( t ) + R ( t ) X ( t - т ) +

t

+ Q (t) / t0

x ( e ) de + c ( t )+

(i.i)

+ H (t) V (t), t>ti = t о + т, где X E Rn - вектор (состояния: V E Rm - вектор независимых случайных белых шу мов с единичными интенсивностями:

E [ V ( t )] = 0 ,

E [ V ( 1 1) V T ( 1 2)] = 16 ( 1 2 - 1 1);

T и E [ • ] - символы транспонирования матрицы и математического ожидания соответственно, I - единичная матрица.

Будем считать, что на интервале ( t о ,t 1] вектор состояния X ( t ) удовлетворяет системе СДУ без сосредоточенного запаздывания

в

X ( t ) = P о( t ) X ( t ) +

+ Q о( t )/ t 0

x ( e ) de + c o( t )+

(1-2)

+ H o( t ) V ( t ) ,

X (10) = X 0, причем в уравнениях (1.1) и (1.2) P(t), R(t), Q(t). H(t). Po(t). Qo(t). Ho(t) 11 c(t). co(t) - известные непрерывные матричные и векторные функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайного вектора Xo. В частности, пусть в начальный момент времени to для вектора X заданы вектор математических ожиданий mo = E[Xo]

и ковариационная матрица

C ^o = E ^[( X ^o - m ^o)( X ^o - m ^o) T ^] .

Задачей исследования является построение систем обв1кновеннв1х дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних mx (t) = E [ X (t)]

и ковариационной матрицы

Cx ( t ) = E [ { X ( t ) - m ( t ) }{ X ( t ) - m ( t ) }T ]

вектора состояния X при лгобом t > 1 0.

2.    Метод исследования

Для того чтобы решить поставленную задачу, как и в ряде предыдущих наших работ, применим сочетание классического метода шагов и расширения пространства состояния.

Рассмотрим равномерную временную сетку tq = t о + q • т. q = 0. 1. 2   N- ... и введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0 ,т ], а также следующие обозначения:

sq — ^s + tq, ^A q — ⁽ tq, tq +1^{] 1}

X q ( s )— X ( Sq ) ,   W q ( S )— W ( Sq ) ,

X q (0)— X q- 1( T ) ,  q >  1 ,

Wq (0)— Wq-1(T) ,  q > 1, ts

Yq ( S )— j X ( 9 ) d9 — j X q ( 9 ) d9, t q                     0

Z q ( S ) = Z q — Y q- 1( T ) ,  q >  1 ,

Z o( S) = Z 0 — X0, col(d 1, d2,..., dL-1, dL) —

• ^{— {d} 11 ^,d 12 , ■■■, ^d 1 n ^d 21 ^,d 22 , ■■■, ^d 2 n ■■■, dL- 1 , 1 ^, dL- 1 , 2 ^{, ...,} dL- 1 ,n^,

dL 1 , dL 2 , ..., dL_n } .

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) A _q, q = 0, 1, ..., N.

На сегменте Ao систему СДУ для вектора

U +( s ) — U o( s ) — col( X o( s ) , Y o( s ) , Z o( s ))

представим так:

^X o^{( S} ) ^— P o^{( S} o) ^X o^{( S} ) + ^c o^{( S} o) +

+ Q o^{( S} o) Y o^{( S} ) + H o^{( S} o) V o ^{( S} ) ¹

X o(0) — X ^o ,

Y o( S ) — X o( S ) , Y o(0)—0 ,

Z o( s ) — 0 , Z o(0) — X ^o .

В свою очередь, на полуинтервалах Ao, A1 систему СДУ для вектора

U +(s) — col(Uo(s), U 1(s)), где

U 1(s) — col(X 1(s), Y 1(s), Z1 (s)), запишем в виде

■

^X o^{( S} ) ^— P o^{( S} o) ^X o^{( S} ) + ^c o^{( S} o^{) +}

+ Q o^{( S} o) ^Y o^{( S} ) + H o^{( S} o) V o^{( S} ) 1

X o(0) — X ^o ,

Y o( S ) — X o ( S ) 1   Y o (0) —0 1

Z o( s ) — 0 1    Z o(0) — X ^o .

X 1( s ) — P ( s 1) X 1( s ) +

(2.1)

+ R ( s 1) X o( s ) +

+ Q ^{( S} 1) [ ^Z 1^{( S} ) + ^Y 1^{( S} )] +

+ c ( s 1) + H ( s 1) V 1( s ) i

X 1(0) — X o( т ) 1

Y 1( s ) — X o ( s ) 1 Y 1 (0) —0 1

Z 1( s ) —0 1    Z 1(0) — Y o( т ) .

Здесь учтено, что для t Е ( 1 1 1t 2]

t j X(9)d9

t 0

t 1

^—/ ^X ( ⁹ )

t 0

d9 +

f^{X ( 9} ) t 1

dθ

— Y o( т ) + Y 1( s ) — Z 1( s ) + Y 1( s ) .

Определенный на сегментах Ao, A1 и A2 век тор U +( s ) — col ( U +( s ) 1 U 2( s )). где U 2( S ) — col( X 2( s ) 1 Y 2( s ) 1 Z 2( s )). будет удовлетворять системе СДУ (2.1), к которой добавлены уравнения следующего вида:

■

X 2( S ) — P ( S 2) X 2( S ) +

+ ^{R ( S} 2) ^X 1^{( S} ) +

+ Q ( s 2) [ Z 1⁽ s ) + Z 2⁽ s ) + Y 2⁽ s )] +

+ c ⁽ s 2) + H ⁽ s 2) V 2⁽ s ) ,

X 2(0) = X Д т ) ,

Y 2 ( s ) = X 2( s ) , Y 2(0) =0 ,

Z 2 ( s )=0 , Z 2(0) = Y 1( т ) . ..............

Наконец, обозначая через U n ( s ) вектор col( X n ( s ) , Y n ( s ) , Z n ( s )}. находил, что вектор U N ( s ) = col( U N- 1( s ) , U n ( s )). представляющий поведение вектора состояния X ( t ) 11а сегментах Aq. Ai. A2 A n. будет решением системы СДУ, полученной добавлением к уравнениям для вектора U N- 1( s ) уравнений следующего вида: ■

X N ( s ) = P ( sN ) X N ( s ) +

+ R ^{( s}N ) ^XN- 1^{( s} ) +

N

+ Q ^{( s}N ) [ ^ Z I ^{( s} ) + Y N ^{( s} )] +

I =1

+ c ( s n ) + H ( s n ) V N ( s ) ,

^XN ⁽⁰⁾ = ^XN- 1^{( т} ) , ■

Y N ( s ) = X N ( s ) , Y N (0)=0 ,

Z N ( s )=0 , Z N (0)= Y N - 1( т ) .

Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных фазовых векторов U +, U ⁺, U +, ..., U N увеличивающейся размерности и подобной структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить стандартные для данного класса уравнений методы [68].

3.    Уравнения для моментных функций

В частности, построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов (компонент векторов математических ожиданий и ковариационных матриц) векторов U +, U ⁺, U +, ..., U N- Несложно увидеть, что для любого U +, k = 0, 1, 2, ..., N, структуры соответствующих систем ОДУ будут иметь вид:

^m +^{( s} )= P +^{( s} ) ^m+^{(s ) + c} +^{( s} ) ,        i³-D

C +(s)= P + (s) C +(s) + г             я t                    П.2)

+ [P +(s) C +(s)] +H +(s) H+T(s), где m+(s)= E U+] =

= col (muо, m y 1 , m y 2 ,..., m U k ) ,

C + = E [( U + — m +)( U + - m +) T ] =

= CU0U0 Cu 1 u0 CU2 U0 CU0U1 CU1 U1 CU2U1 CU0U2   . CU1U2   . CU2U2   . ..  CU0 UN ..  CU 1 Un ••  CU2 Un ... CUN U0 ... CUN U1 ...         . CUN U2  . ..          ... ..  CUN UN mui (s) = col (mi 1(s), mi2(s), miз(s)),

CU i U j =

Cij 11 Cij 21

Cij 31

Cij 12   Cij 1з

Cij 22   Cij 23

Cij 32   Cij 33

{ X , Y , Z { 1 , 2 , 3 }.

При этом матрицы P ++( s ). H++( s ) 11 вектор c +( s ) имеют блочную структуру, которая формируется следующим образом:

P+( s ) = P qq ( s ) =

P q ( s q ) Q o ( s q ) 0

I00

H+( s ) = H qq ( s ) =

H 0^{( s} 0)

c o ^{( s} ) = c 0^{( s} ) =

c 0( s 0)

0 0

P+( s ) =

P+( s )    P01

P10    P11( s )

P11( s ) =

P ( s 1)

I 0

Q(s1)

P01 = O ,

P10 =

R ( s 1)

0 0

где

H+( s ) = [

H11( s ) =

H+( s )

' H ( s 1)

c +^{( s} ) =

H11( s )    ’

,

c ₀⁺( s ) c ^{( s} 1) 0

+ Ы = Г P +-1(s)  Pk- 1k k () Pk,k-1   Pkk (s)   ’

P ( kk )

P kk ( s ) =      I

Q ( sk ) Q ( sk ) 00 00

P k- 1 ,k = [ о - I O|O ] ^T,

P k,k- 1 =	■ 0 0 0 0 0 0		0 0 0 0 0 0	0    ■ 0 0 Q ( sk ) 0 0	T
		... R ( sk )	... 0	... Q ( sk )
		0	0	0
		0	0	0
H k + ( s ) =		■ H + - 1 0	( s )	0 H kk ( s )	,

H _kk ( s ) =

c _k ⁺ ( s ) =

H ( sk )

^c k ⁺ - 1^{( s )} c ( sk )

	0	0	0
O=	0	0	0
	0	0	0

А теперь представим вид начальных условий для построенных ОДУ:

m + (0) = m о(О) =

m ⁰ 0 m ⁰

	C 0	0	C 0
C0+ (0) = C 0 (0) =	0	0	0
	C 0	0	C 0
■ m 0+		(0) 1
m +(0)=   m 00( T )			,
. m 02( t ) _
C1+ (0) = ■ C 0+ (0) 1           C10		C01 C11	] ■
C 0031( T )	0	C 0032( T )
C01 =      0	0	0
_ C 0031( T )	0	C 0032( T )
C 0013 ( T )	0	C 0013 ( T )
C10 =      0	0	0
_ C 0023 ( T )	0	C 0023( T )
C 0011( T )	0	C 0012( T )
C11 =      0	0	0
_ C 0021 ( T )	0	C 0022( T )

	m k + - 1(0)
m k + (0) =	m k- 1 , 1( t ) 0
	. m k - 1 , 2( t ) _

с+(0) = [ ^C1⁽⁰⁾ c ^- - 1 , 21 , C2 ,k- 1    C kk

C k- 1 , 2 = CTk- 1 =

=	C 0 ,k- 1 , 31( T ) 0 C 0 ,k- 1 , 31( T ) C 0 ,k- 1 , 11( T ) 0 C 0 ,k- 1 , 21( T )	0 0 0 0 0 0	C 0 ,k- 1 , 32( T ) 0 C 0 ,k- 1 , 32( T ) C 0 ,k- 1 , 12 ( T ) 0 C 0 ,k- 1 , 22( T )
	... Ck- 2 ,k- 1 , 11( T )	... 0	... Ck- 2 ,k- 1 ,12(T )
	0	0	0
	. Ck- 2 ,k- 1 , 21( T )	0	Ck- 2 ,k- 1 , 22( T ) .

C kk ⁼

Ck- 1 ,k- 1 , 11^{( T} )    ⁰ Ck- 1 ,k- 1 , 12^{( T} )

Ck- 1 ,k- 1 , 21^{( T} )    ⁰ Ck- 1 ,k- 1 ,22^(T )

В связи с тем что вектор m u k ( s ) и матрица Cu k U k ( s ) являются блоками вектора m +( s ) и матрицы C +( s ) соответственно, достаточно вычислить последние, а затем выбрать их необходимые элементы.

Заключение

В работе представлен аппарат исследования линейных стохастических систем с распределенными и постоянными сосредоточенными запаздываниями. В отличие от известных методов [69] изложенная схема не требует предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки специальных алгоритмов численного интегрирования уравнений с различными формами запаздывания. Точность расчетов полностью определяется погрешностью применяемых стандартных процедур приближенного решения систем ОДУ, причем ошибка метода отсутствует.