Применение условий оптимальности с разрешающей системой к исследованию вырожденных задач оптимального управления

Для решения вырожденных задач оптимального управления, характерных для систем с линейными управлениями, в [1] разработаны специальные взаимосвязанные методы преобразований к регулярным задачам меньшего порядка (сингулярных расширений) и метод кратных максимумов (МКМ) задания функции Кротова в одноименных достаточных условиях оптимальности. Для систем с ограниченными линейными управлениями принципиально применим известный метод Беллмана, но соответствующее уравнение становится нерегулярным, с негладким описанием, в то время как МКМ приводит к системе регулярных уравнений в частных производных. Однако с появлением более общих достаточных условий [2], где вместо разрешающей функции Кротова используется разрешающая система, появились новые возможности эффективного решения вырожденных задач, альтернативные методу кратных максимумов. В статье рассматривается такая возможность при исследовании магистральных

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00170-а).

решений, характерных для вырожденных задач с линейным ограниченным управлением.

1.    Достаточные условия оптимальности с разрешающей системой

Рассматривается общая задача оптимального управления для непрерывных систем как задача о минимуме функционала I ( m ) на D :

D = { m = x ( t ), u ( t ): x = f ( t , x , u ), t e T = [ t , , t_F ] ,

( x,u ) e B ( t ) c Rⁿ + p , ( t , , x ( t , ), t_F , x ( t_F )) e Г c Rⁿ + p }

I = F ( t, , x ( t , ), t F , x ( t F )).

Вводится семейство гладких функций фа (t, x), ae A , и функционал над этим семейством to:Z^ R, Z = {r: A^ R}, to(0) = 0, r(a) < 0 ^ to(r(a)) < 0.

Класс таких функционалов обозначим Q . Строятся конструкции

R a ⁽ t , ^x , u ) = T L ⁽ t , ^x ) f ⁽ t , ^x , u ) ⁺ T a t ⁽ t , ^x X G ( Y ) = F ( Y ) + toT a ( ^ , X ) - T a ( t , , ^ , )), Y = ( t , ^ , ^ , x ), T , ^ e R , ^ , xe Rⁿ .

Теорема 1. Пусть имеются последовательность { m s } c D и система ( to , p_a ) такие, что

• 1)    sup R _a ( t , x , u ) = 0, a e A ;

( x , u ) eB ( t )

• 2)    to ( J R a ( t , x s ( t ), u s ( t )) dt ) ^ 0;

T s

• 3)    G(t,, x(t,), tF, x(tF))s ^ l,

2.    Приложение к исследованию магистральных решений вырожденных задач

l = inf{ G ( Y ): Y ern { y : ^e X ( t ), x e X ( ^ )}}.

Тогда { m s } - минимизирующая, и любая минимизирующая последовательность удовлетворяет условиям 2), 3).

Рассмотрим характерный класс вырожденных задач x = g(t,x) + h(t,x)u, te T = [t,,tF], u1 < u < u2, x(t,) = x,,

I = F ( x ( t_F )) ^ inf.

Ограничения на u легко приводятся к виду | u | <  b .

Соотношения Беллмана для этой задачи

Ф _t + | ф ^т h ( t , x )| b = 0, ф ( t_F , x ) = - F ( x )

имеют особенность при фф h ( t , x ) = 0 и не разрешаются непосредственно. Будем искать разрешающую систему ( ф_а , to ) в виде

Ф1,2, to( r (а)) = to( r, r2) = max( r, r), где ф1 2 - решения линейных задач

Ф t ± Ф x^T б ⁽ t , ^x ) ^b = ⁰,   Ф 1,2 ⁽ t F , ^x ) = ^- F ^{( x} )•

Функция G не зависит от x , т.е. имеет минимум по % всюду:

— Ф , И

-Ф, 2

ф , 1 - Ф , 2 <  0

Ф , 1 - Ф , 2 ^ ⁰,

G = -x 1 + max(фF - Ф,а) = α u = bsign (ффh (t, x)), i = 1,2.

Пример.

x ¹ = ( x ²) ² , xc ² = u , | u | <  1, t e [ 0,2 ] , x (0) = ^ , , = x ^!(2).

Здесь g = (( x ) ² ,0), h = (0,1) функции ф ₁₂ легко находятся:

Ф 1,2 = ^{- x 1} ± 3^{( x 2 ) 3} ± 3^{( x 2} ± t ^{- (} ± ^{2)) 3} .

u = sign Ф _{и 2}, i = 1,2, ф , 1 - ф , ₂ = 2/3 ^ ².

Таким образом, данным условиям удовлетворяют следующие режимы:

u = <

- 1,

0,

t e [ 0, £ ²] ,         [ 1, t e [ 0, . ] ,

^{L J} u = < ^{L J} t e ( ^ ,2],       [ 0, t e ( - ^ ²,2]

при ^ ² >  0 и при ^ ²<  0 соответственно.

Заключение

Рассмотренный здесь новый подход к исследованию магистральных решений, характерных для вырожденных задач, приводит, в отличие от традиционного, но нерегулярного уравнения Беллмана, к комбинации из решений семейства регулярных уравнений в частных производных типа Беллмана. В случае единственного скалярного линейного управления (характерного, например, для квантовых управляемых систем [3, 4]) указанное семейство состоит из двух линейных уравнений с одним и тем же начальным условием. Для их решения эффективен, в частности, метод характеристик.