Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики
Автор: Бадеев Александр Валерьевич
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Алгебра и геометрия
Статья в выпуске: 2, 2015 года.
Бесплатный доступ
В этой работе построен пример коммутативной альтернативной супералгебры S над полем характеристики 3, грассманова оболочка А = G(S) которой является разрешимой ниль-алгеброй индекса 3 с соотношением (A 2) 3∙A = 0.
Альтернативная алгебра, супералгебра, грассманова оболочка
Короткий адрес: https://sciup.org/14835135
IDR: 14835135
Текст научной статьи Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики
Пусть M - некоторое однородное многообразие алгебр, G = G 0 + G 1 -алгебра Грассмана. Супералгебра A = A 0 + A 1 называется M - супералгеброй, если ее грассманова оболочка G ( A ) = A 0 ® G 0 + A 1 ® G 1 принадлежит многообразию M . Можно строить примеры различных конечномерных супералгебр, грассманова оболочка которых будет бесконечномерной алгеброй с подходящими свойствами. Разнообразные возможности применения супералгебр для построения контрпримеров были продемонстрированы И.П. Шестаковым [2].
В настоящей работе будет построен пример конечномерной альтернативной супералгебры, грассманова оболочка которой является разрешимой коммутативной альтернативной ниль-алгеброй индекса 3.
Построим M -супералгебру A = A 0 + A 1 . Супералгебра А имеет следующую систему базисных элементов:
E = { h , а о , a i , b 0 , b i , w }.
В этой системе элементы с четными индексами и элемент w назовем четными , а элементы с нечетными индексами и элемент h - нечетными . Положим, | x | - индекс четности элемента x алгебры A .
Умножение в супералгебре А определяется правилами умножения базисных элементов в системе E следующим образом.
-
1) Умножение суперкоммутативно, т.е. для любых базисных элементов x , y е E
x • y = ( - 1)! xy y • x .
Отсюда следует
-
2) h • h = 0.
Положим далее,
-
3) a 0 • h = a 1 , а 1 • h = a 0 .
4) b о • h = b i , b i • h = - b о .
-
5) a 0 • a 0 = b 0 , a 1 • a 0 = b 1 , a 1 • a 1 = 0.
-
5) b 0 • a 0 = b 1 • a 1 = w , b 1 • a 0 = b 0 • a 1 = 0.
Остальные произведения базисных элементов, не определенные в 1)-6) полагаются нулевыми. Таким образом,
-
7) b i- b j = 0,
-
8) w е Ann A.
Из правил умножения следует, что
A \ A 2 = Ф{h }, A 2\ A (2) = Ф { a 0 , a 1 },
A (2)\( A 2)3 = Ф { b 0 , b 1 }, ( A 2)3 = Ф { w },
A (2) • A (2) = 0, ( A 2)3 • A = 0.
где о - перестановка элементов { x , y , z }. Таким образом, достаточно проверить утверждение леммы на упорядоченных тройках базисных элементов.
Рассмотрим последовательно все возможные случаи
-
а) Js ( x , y , y ) = - Js ( x , y , y ) = 0, если | y | = 1 в силу первого из соотношений (1).
Тогда J s ( x , h , h ) = 0 для произвольного базисного элемента x .
-
б) Js ( b i , a j , a k ), J s ( b i , b j , x ) e ( A 2)4 + A (2) • A (2) = 0 для произвольного базисного элемента x .
Остается рассмотреть следующие тройки базисных элементов:
{ a i , a j , h }, { b, a j , h }, { a i , a j , a k }.
-
в) Покажем, что Js ( a i , a j -, h ) = 0, где i > j .
J s ( a 0 , a 0 , h ) = ( a 0 • a 0 ) • h + ( a 0 • h ) • a 0 + a 0 • ( a 0 • h ) =
= b 0 • h + a 1 • a 0 + a 0 • a 1 = 3 b 1 = 0,
J s ( a 1 , a 0 , h ) = ( a 1 • a 0 ) • h + ( a 1 • h ) • a 0 + a 1 • ( a 0 • h ) =
= b 1 • h + a 0 • a 0 + a 1 • a 1 = - b 0 + b 0 = 0, J s ( a 1 , a 1 , h ) = 0, ввиду (a).
-
г) Если J s ( x , y , z ) e Ф { w } , | x | + | y | + | z | = 1(mod 2), то J s ( x , y , z ) = 0 (так как | w | = 0).
-
д) J s ( b i , a j -, h ) = 0, i + j + 1 = 0(mod 2).
J s ( b 0 , a 1 , h ) = - ( b 0 • h ) • a 1 + b 0 • ( a 1 • h ) = - b 1 • a 1 + b 0 • a 0 = - w + w = 0,
J s ( b 1 , a 0 , h ) = ( b 1 • h ) • a 0 + b 1 • ( a 0 • h ) = - b 0 • a 0 + b 1 • a 1 = - w + w = 0,
-
е) Js ( a i , a j -, a k ) = 0, где i > j > k , i + j + k ^ 0 (mod 2).
Js. ( a 0 , a 0 , a a ) = 3( a 0 • a a ) • a 0 = 0,
J s ( a 1 , a 1 , a 0 ) = ( a 1 • a 1 ) • a 0 + ( a 1 • a 0 ) • a 1 + a 1 • ( a 1 • a 0 ) = b 1 • a 1 + a 1 • b 1 = 0.
Все возможные случаи рассмотрены. Соотношение доказано.
Отсюда следует, что в алгебре G ( A ) выполнено соотношение J ( x , y , z ) = 0.
Кроме того, G ( A ) коммутативна ввиду суперкоммутативности A .
Как было показано ранее, в этом случае G ( A ) альтернативна.
Лемма доказана.
Пусть G ( A ) = A 0 ® G 0 + A 1 ® G 1 - грассманова оболочка супералгебры A , где G = G 0 + G 1 - алгебра Грассмана с единицей; ( w ® 1 ) - главный идеал алгебры G ( A ), порожденный элементом ( w ® 1 ) e G ( A ).
Теорема. Фактор-алгебра G ( A ) /( w ® 1 ) e M .
Доказательство.
Из леммы, суперкоммутативности алгебры A и соотношения ( A 2)3 ⋅ A = 0 следует, что грассманова оболочка G ( A ) = A 0 ⊗ G 0 + A 1 ⊗ G 1 - коммутативная альтернативная алгебра с тождеством
[( x 1 x 2 ⋅ x 3 x 4 )( x 5 x 6 )] x 7 = 0.
Остается показать, что в G(A)/〈w⊗ 1〉 выполнено соотношение x3 = 0.
Заметим, что множество элементов вида x ⊗ λ , где x ∈ E , λ - порождающий элемент алгебры Грассмана G , порождает G ( A ). Для таких элементов имеем
( x ⊗ λ )3 = x 3 ⊗ λ 3 = w ⊗ 1, если x = a 0 , λ = 1,
= 0 в остальных случаях.
Тогда, ввиду соотношения ( x + y )3 = x 3 + y 3 справедливого в M выполняется g 3 ∈ Ф { w ⊗ 1} для произвольных g ∈ G ( A ). Тем самым лемма доказана.
Кроме того, заметим, что w ⊗ 1 ∈ Ann G ( A ). Следовательно, 〈 w ⊗ 1 〉 = Ф { w ⊗ 1}.
Теорема доказана.
Список литературы Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики
- К.А. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.
- И.П. Шестаков, “Супералгебры и контрпримеры”, Сиб. мат. ж., 32, №6, (1991).