Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики

Пусть M - некоторое однородное многообразие алгебр, G = G ₀ + G 1 -алгебра Грассмана. Супералгебра A = A ₀ + A 1 называется M - супералгеброй, если ее грассманова оболочка G ( A ) = A ₀ ® G ₀ + A 1 ® G 1 принадлежит многообразию M . Можно строить примеры различных конечномерных супералгебр, грассманова оболочка которых будет бесконечномерной алгеброй с подходящими свойствами. Разнообразные возможности применения супералгебр для построения контрпримеров были продемонстрированы И.П. Шестаковым [2].

В настоящей работе будет построен пример конечномерной альтернативной супералгебры, грассманова оболочка которой является разрешимой коммутативной альтернативной ниль-алгеброй индекса 3.

Построим M -супералгебру A = A ₀ + A 1 . Супералгебра А имеет следующую систему базисных элементов:

E = { h , а о , a i , b 0 , b i , w }.

В этой системе элементы с четными индексами и элемент w назовем четными , а элементы с нечетными индексами и элемент h - нечетными . Положим, | x | - индекс четности элемента x алгебры A .

Умножение в супералгебре А определяется правилами умножения базисных элементов в системе E следующим образом.

• 1)    Умножение суперкоммутативно, т.е. для любых базисных элементов x , y е E

x • y = ( - 1)! xy y • x .

Отсюда следует

• 2)    h • h = 0.

Положим далее,

• 3)    a ₀ • h = a 1 , а 1 • h = a ₀ .

4) b о • h = b i , b i • h = - b о .

• 5)    a ₀ • a ₀ = b ₀ , a 1 • a ₀ = b 1 , a 1 • a 1 = 0.

• 5)    b ₀ • a ₀ = b 1 • a 1 = w , b 1 • a ₀ = b ₀ • a 1 = 0.

Остальные произведения базисных элементов, не определенные в 1)-6) полагаются нулевыми. Таким образом,

• 7)    b i- b j = 0,

• 8)    w е Ann A.

Из правил умножения следует, что

A \ A ² = Ф{h }, A ²\ A ⁽²⁾ = Ф { a ₀ , a 1 },

A ⁽²⁾\( A ²)³ = Ф { b 0 , b 1 }, ( A ²)³ = Ф { w },

A ⁽²⁾ • A ⁽²⁾ = 0, ( A ²)³ • A = 0.

где о - перестановка элементов { x , y , z }. Таким образом, достаточно проверить утверждение леммы на упорядоченных тройках базисных элементов.

Рассмотрим последовательно все возможные случаи

• а)    J_s ( x , y , y ) = - J_s ( x , y , y ) = 0, если | y | = 1 в силу первого из соотношений (1).

Тогда J s ( x , h , h ) = 0 для произвольного базисного элемента x .

• б)    J_s ( b i , a j , a k ), J s ( b i , b j , x ) e ( A ²)⁴ + A ⁽²⁾ • A ⁽²⁾ = 0 для произвольного базисного элемента x .

Остается рассмотреть следующие тройки базисных элементов:

^{ a i , a j , ^{h }}, ^{ b, a j , h ^}, ^{ a i , a j , a k ^}.

• в)    Покажем, что J_s ( a i , a j -, h ) = 0, где i >  j .

J s ( a ₀ , a ₀ , h ) = ( a ₀ • a ₀ ) • h + ( a ₀ • h ) • a ₀ + a ₀ • ( a ₀ • h ) =

= b ₀ • h + a 1 • a ₀ + a ₀ • a 1 = 3 b 1 = 0,

J s ( a 1 , a ₀ , h ) = ( a 1 • a ₀ ) • h + ( a 1 • h ) • a ₀ + a 1 • ( a ₀ • h ) =

= b 1 • h + a ₀ • a ₀ + a 1 • a 1 = - b ₀ + b ₀ = 0, J s ( a 1 , a 1 , h ) = 0, ввиду (a).

• г)    Если J s ( x , y , z ) e Ф { w } , | x | + | y | + | z | = 1(mod 2), то J s ( x , y , z ) = 0 (так как | w | = 0).

• д)    J s ( b i , a j -, h ) = 0, i + j + 1 = 0(mod 2).

J s ( b ₀ , a 1 , h ) = - ( b ₀ • h ) • a 1 + b ₀ • ( a 1 • h ) = - b 1 • a 1 + b ₀ • a ₀ = - w + w = 0,

J s ( b 1 , a ₀ , h ) = ( b 1 • h ) • a ₀ + b 1 • ( a ₀ • h ) = - b ₀ • a ₀ + b 1 • a 1 = - w + w = 0,

• е)    J_s ( a i , a j -, a k ) = 0, где i >  j >  k , i + j + k ^ 0 (mod 2).

Js. ^{( a} 0 , ^a 0 , ^a a ) = ^{3( a} 0 • ^a a ) • ^a 0 = ⁰,

J s ( a 1 , a 1 , a ₀ ) = ( a 1 • a 1 ) • a ₀ + ( a 1 • a ₀ ) • a 1 + a 1 • ( a 1 • a ₀ ) = b 1 • a 1 + a 1 • b 1 = 0.

Все возможные случаи рассмотрены. Соотношение доказано.

Отсюда следует, что в алгебре G ( A ) выполнено соотношение J ( x , y , z ) = 0.

Кроме того, G ( A ) коммутативна ввиду суперкоммутативности A .

Как было показано ранее, в этом случае G ( A ) альтернативна.

Лемма доказана.

Пусть G ( A ) = A ₀ ® G ₀ + A 1 ® G 1 - грассманова оболочка супералгебры A , где G = G ₀ + G 1 - алгебра Грассмана с единицей; ( w ® 1 ) - главный идеал алгебры G ( A ), порожденный элементом ( w ® 1 ) e G ( A ).

Теорема. Фактор-алгебра G ( A ) /( w ® 1 ) e M .

Доказательство.

Из леммы, суперкоммутативности алгебры A и соотношения ( A ²)³ ⋅ A = 0 следует, что грассманова оболочка G ( A ) = A ₀ ⊗ G ₀ + A ₁ ⊗ G ₁ - коммутативная альтернативная алгебра с тождеством

[( x ₁ x ₂ ⋅ x ₃ x ₄ )( x ₅ x ₆ )] x ₇ = 0.

Остается показать, что в G(A)/〈w⊗ 1〉 выполнено соотношение x3 = 0.

Заметим, что множество элементов вида x ⊗ λ , где x ∈ E , λ - порождающий элемент алгебры Грассмана G , порождает G ( A ). Для таких элементов имеем

( x ⊗ λ )³ = x ³ ⊗ λ ³ = w ⊗ 1, если x = a ₀ , λ = 1,

= 0 в остальных случаях.

Тогда, ввиду соотношения ( x + y )³ = x ³ + y ³ справедливого в M выполняется g ³ ∈ Ф { w ⊗ 1} для произвольных g ∈ G ( A ). Тем самым лемма доказана.

Кроме того, заметим, что w ⊗ 1 ∈ Ann G ( A ). Следовательно, 〈 w ⊗ 1 〉 = Ф { w ⊗ 1}.

Теорема доказана.