Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики

Бесплатный доступ

В этой работе построен пример коммутативной альтернативной супералгебры S над полем характеристики 3, грассманова оболочка А = G(S) которой является разрешимой ниль-алгеброй индекса 3 с соотношением (A 2) 3∙A = 0.

Альтернативная алгебра, супералгебра, грассманова оболочка

Короткий адрес: https://sciup.org/14835135

IDR: 14835135

Текст научной статьи Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики

Пусть M - некоторое однородное многообразие алгебр, G = G 0 + G 1 -алгебра Грассмана. Супералгебра A = A 0 + A 1 называется M - супералгеброй, если ее грассманова оболочка G ( A ) = A 0 ® G 0 + A 1 ® G 1 принадлежит многообразию M . Можно строить примеры различных конечномерных супералгебр, грассманова оболочка которых будет бесконечномерной алгеброй с подходящими свойствами. Разнообразные возможности применения супералгебр для построения контрпримеров были продемонстрированы И.П. Шестаковым [2].

В настоящей работе будет построен пример конечномерной альтернативной супералгебры, грассманова оболочка которой является разрешимой коммутативной альтернативной ниль-алгеброй индекса 3.

Построим M -супералгебру A = A 0 + A 1 . Супералгебра А имеет следующую систему базисных элементов:

E = { h , а о , a i , b 0 , b i , w }.

В этой системе элементы с четными индексами и элемент w назовем четными , а элементы с нечетными индексами и элемент h - нечетными . Положим, | x | - индекс четности элемента x алгебры A .

Умножение в супералгебре А определяется правилами умножения базисных элементов в системе E следующим образом.

  • 1)    Умножение суперкоммутативно, т.е. для любых базисных элементов x , y е E

x y = ( - 1)! xy y x .

Отсюда следует

  • 2)    h h = 0.

Положим далее,

  • 3)    a 0 h = a 1 , а 1 h = a 0 .

4) b о h = b i , b i h = - b о .

  • 5)    a 0 a 0 = b 0 , a 1 a 0 = b 1 , a 1 a 1 = 0.

  • 5)    b 0 a 0 = b 1 a 1 = w , b 1 a 0 = b 0 a 1 = 0.

Остальные произведения базисных элементов, не определенные в 1)-6) полагаются нулевыми. Таким образом,

  • 7)    b i- b j = 0,

  • 8)    w е Ann A.

Из правил умножения следует, что

A \ A 2 = Ф{h }, A 2\ A (2) = Ф { a 0 , a 1 },

A (2)\( A 2)3 = Ф { b 0 , b 1 }, ( A 2)3 = Ф { w },

A (2) A (2) = 0, ( A 2)3 A = 0.

где о - перестановка элементов { x , y , z }. Таким образом, достаточно проверить утверждение леммы на упорядоченных тройках базисных элементов.

Рассмотрим последовательно все возможные случаи

  • а)    Js ( x , y , y ) = - Js ( x , y , y ) = 0, если | y | = 1 в силу первого из соотношений (1).

Тогда J s ( x , h , h ) = 0 для произвольного базисного элемента x .

  • б)    Js ( b i , a j , a k ), J s ( b i , b j , x ) e ( A 2)4 + A (2) A (2) = 0 для произвольного базисного элемента x .

Остается рассмотреть следующие тройки базисных элементов:

{ a i , a j , h }, { b, a j , h }, { a i , a j , a k }.

  • в)    Покажем, что Js ( a i , a j -, h ) = 0, где i j .

J s ( a 0 , a 0 , h ) = ( a 0 a 0 ) h + ( a 0 h ) a 0 + a 0 ( a 0 h ) =

= b 0 h + a 1 a 0 + a 0 a 1 = 3 b 1 = 0,

J s ( a 1 , a 0 , h ) = ( a 1 a 0 ) h + ( a 1 h ) a 0 + a 1 ( a 0 h ) =

= b 1 h + a 0 a 0 + a 1 a 1 = - b 0 + b 0 = 0, J s ( a 1 , a 1 , h ) = 0, ввиду (a).

  • г)    Если J s ( x , y , z ) e Ф { w } , | x | + | y | + | z | = 1(mod 2), то J s ( x , y , z ) = 0 (так как | w | = 0).

  • д)    J s ( b i , a j -, h ) = 0, i + j + 1 = 0(mod 2).

J s ( b 0 , a 1 , h ) = - ( b 0 h ) a 1 + b 0 ( a 1 h ) = - b 1 a 1 + b 0 a 0 = - w + w = 0,

J s ( b 1 , a 0 , h ) = ( b 1 h ) a 0 + b 1 ( a 0 h ) = - b 0 a 0 + b 1 a 1 = - w + w = 0,

  • е)    Js ( a i , a j -, a k ) = 0, где i j k , i + j + k ^ 0 (mod 2).

Js. ( a 0 , a 0 , a a ) = 3( a 0 a a ) a 0 = 0,

J s ( a 1 , a 1 , a 0 ) = ( a 1 a 1 ) a 0 + ( a 1 a 0 ) a 1 + a 1 ( a 1 a 0 ) = b 1 a 1 + a 1 b 1 = 0.

Все возможные случаи рассмотрены. Соотношение доказано.

Отсюда следует, что в алгебре G ( A ) выполнено соотношение J ( x , y , z ) = 0.

Кроме того, G ( A ) коммутативна ввиду суперкоммутативности A .

Как было показано ранее, в этом случае G ( A ) альтернативна.

Лемма доказана.

Пусть G ( A ) = A 0 ® G 0 + A 1 ® G 1 - грассманова оболочка супералгебры A , где G = G 0 + G 1 - алгебра Грассмана с единицей; ( w ® 1 ) - главный идеал алгебры G ( A ), порожденный элементом ( w ® 1 ) e G ( A ).

Теорема. Фактор-алгебра G ( A ) /( w ® 1 ) e M .

Доказательство.

Из леммы, суперкоммутативности алгебры A и соотношения ( A 2)3 A = 0 следует, что грассманова оболочка G ( A ) = A 0 G 0 + A 1 G 1 - коммутативная альтернативная алгебра с тождеством

[( x 1 x 2 x 3 x 4 )( x 5 x 6 )] x 7 = 0.

Остается показать, что в G(A)/〈w⊗ 1〉 выполнено соотношение x3 = 0.

Заметим, что множество элементов вида x λ , где x E , λ - порождающий элемент алгебры Грассмана G , порождает G ( A ). Для таких элементов имеем

( x λ )3 = x 3 λ 3 = w 1, если x = a 0 , λ = 1,

= 0 в остальных случаях.

Тогда, ввиду соотношения ( x + y )3 = x 3 + y 3 справедливого в M выполняется g 3 Ф { w 1} для произвольных g G ( A ). Тем самым лемма доказана.

Кроме того, заметим, что w 1 Ann G ( A ). Следовательно, w 1 = Ф { w 1}.

Теорема доказана.

Список литературы Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики

  • К.А. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.
  • И.П. Шестаков, “Супералгебры и контрпримеры”, Сиб. мат. ж., 32, №6, (1991).
Статья научная