Принцип неопределенности для разных систем координат

DOI:

Статья посвящена исследованию аналитических функций в разных системах координат [2;3]. Уравнение аналитической функции z = f (р) в новой системе координат с центром в точке (А, 0) совпадает с уравнением z = f (г + А ) = д(г) , р, г Е G , р = г + А, г — комплексные переменные в исходной и сдвинутой вправо при А >  0 системах координат, G — некоторая открытая область комплексной плоскости.

Теорема 1 основана на следующем примере 1: аналитическая в области G функция z = f (х + iy) = и(х,у) + v(x,y)i и некоторая функция z = f ₀ (x + iy) = и(х,у) + + v(x,y)i (далее поле сдвигов [2;3]), имеют одно и то же уравнение с теми же и(х,у) и v(x,y) , первая, как функция z = f ( р ) в исходной системе координат, вторая совпадает

(с) Павлов А.В., 2024

с исходным отображением точек плоскости в системе координат с комплексной осью ix , направленной вдоль исходной оси ОХ , и действительной осью у , направленной вдоль исходной оси OY . Вторая функция z = f ₀ ( x + iy) не может быть аналитической в той же области G при том же сопоставлении G Э (x,y) ^ z, z = u + iv. (Если поменять местами x и у , так что z = f ₀ ( x + iy) = f (у + ix ) , то это приведет к изменению многообразия значений z, (графика Y = f ( Х ) , z = Y , р = Х в действительном случае), которое, по определению, считается неподвижным в любых системах координат (теорема 1)).

В теореме 2 доказан аналогичный факт 1 [2;3]: уравнение z = f (р + А) с точки зрения аналитического многообразия точек значений для данного уравнения, (с точки зрения графика уравнения у = f ( x + А ) в действительном случае при действительных z = у , x = р), совпадает с уравнеием z = f ( р ) ; мы использовали то, что для сдвинутого вместе с z на А >  0 вправо аналитического многообразия (графика) z = f ( р ) значению «сдвинутого» z соответствует значение (аргумент) р + А, (как «проекция» на поскость комплексных аргументов z при решении уравнения z = f (р + А ) ), в котором р то же самое как р при решении уравнения z = f ( р ) с тем же самым z до его сдвига вправо при А >  0 . Заметим, что уравнение у = f ( x + А ) не может быть уравнением сдвинутого вправо при А >  0 геометрического многообразия (графика в действительном случае), так как уравнение сдвинутого вправо при А >  0 исходного многообразия z = f (р — А ) , [2–6].

При доказательстве теоремы 2 используется следующее рассуждение (пример 2, [2;3]): уравнение z = д(р — А) можно воспринимать двумя разными способами. Первый способ, как уранение многообразия точек в исходной системе координат с центром в (0 , 0) ввиду определения переменной р для исходной системы координат; в этой ситуации уравнение совпадает с уравнением z = g(R) , R = р — А, если R = р — А при всех R = г из области определения г и R = г . Данную переменную R можно считать ранеее определенной переменной р, так как многообразие точек (график) z = g(R) совпадает с многообразием (графиком) сдвинутого на величину А, (на величиу А влево при А >  0 ), исходного многообразия z = д ( г ) , г = р — А, из второго дальнейшего способа восприятия этого уравнения. Второй способ вытекает из уравнения z = д ( г ) после замены г = р — А из определения переменных р, г [2;3], то есть можно считать, что замена г = R = р — А определяет одновременно два сдвинутых одно относительно другого многообразия z = д(р) и z = д ( г ) , ( R можно ститать р как было отмечено).

В теореме 2 доказано также, что переменную R можно считать переменной р при определении Р = R из равенства f (R) = д(р — А ) при всех Р = р = R .

1.    Периодичность аналитических функций

В теоремах 1 и 2 для простоты изложения в области значений функции z = f ( р ) не существует двух одинаковых значений: f ( р 1 ) = f ( р ₂ ) при всех р 1 = р ₂ , р 1 ,р ₂ G G.

Определим также понятие аналитического отображения точек комплексной плоскости для функции z = f ( р ) как отображения точек (не векторов) концов радиус-векторов р плоскости с помощью уравнения z = f (р) , р G G .

В примере 1 доказана теорема 1 [2; 3]. Далее мы приводим несколько другое доказательство, основаннное на изменении направления осей координат, [2; 3].

По определению, полем сдвигов F(р) [2;3], (F(р) = F(x + iy)), некоторой аналитической функции h(р) называется функция F(р), определенная с помощью равенства F(x + iy) = h(—x + iy) или F(x + iy) = h(x — iy) при всех x + iy из области определения p = x + iy.

Теорема 1. Для произвольной аналитической в открытой области G функции z = f (Р)

сопоставление комплексным значениям z тех же точек плоскости по формуле z = = f (ix + y) одновременно является полем сдвигов и аналической функцией с тем же уравнением.

Доказательство. Предположем, что при фиксированном многообразии значений точек комплексной плоскости, (как бы при фиксированном нависащем неподвижное многообразии значений z = f ( p ) ), результат сопоставления точек плоскости с переброшенным i от у к x совпадает с некоторым полем с сдвигов аналитической функции, (все поля сдвигов определяются относительно исходных числовых переменных х, у; x + iy = p).

При этом предположении рассмотрим результат поворота новых осей координат (с действительной осью OY и мнимой осью OX) по часовой стрелке на угол п/ 2 и, затем, изменения направления новой повернутой оси iOX на противоположное (новая повернутая ось направленна в отрицательную сторону по сравнению с исходной для пременной p мнимой оси); преобразования происходят при неизменном «нависающем» многообразии значений.

Результат таких преобразований должен совпадать по предположению с некоторой аналитической функцией, так как поле сдвигов некоторого другоо поля сдвигов совпадает к с аналитической фунцией [2; 3].(Мы используем, то, что поле сдвигов по переменной у F(х + iy) = h(x — iy) = h(-(-x + iy)) совпадает с полем сдвигов отраженной аналитической функции h(—p) по другой переменной).

Мы получили, что сопоставление точек плоскости при новом положении осей с переменными ix, (направленными вдоль исходной комплексной оси), и, расположенной вдоль исходной действительной оси новой оси с переменой y при неизменном многообразии «нависающих» значений, совпадает с некоторой аналитической функцией. У новых координатных осей x поменялся местами с y по сравнению с исходными комплексными координатами. Такое сопоставление совпадает с функцией fo =Uo + ivo, Uo(x, y) = u(y, x),Vo(x, y) = v(y, x), f (x + iy) =u + iv, и одновременно с функцией z = f0(x + iy) = f (y + ix). Но данная функция, очевидно, является полем сдвигов по переменным x, y, так как она совпадает с f (i(—yi + x)) = z. Мы доказали, что результат сопоставления точек плоскости с переброшенным i от y к x должен быть аналитической функцией [2;3]. Но данное сопоставление тоже является полем сдвигов, так как оно совпадает с функцией F(x + iy) = (f (i(—ix1 + y))lx1=-x, при всех z = f (x1 + yi), что является содержанием теоремы 1.

Замечание 1. Если действительная функция y = f (x) определена в произвольном интервале I , то с точки зрения математически непротиворечивого доказательства, повторяющего рассуждения факта 1 введения, графики функций y = f (x + А ) и y = f (x) совпадают при всех x, таких что x + А Е G , x Е G , А >  0 .

Доказательство. Доказательство замечания повторяет факт 1 введения с учетом того, что аналитические отображения точек плоскости для уравнений z = f(p + А) и z = = f(p) совпадают в случае действительных переменных x = p,y = z с графиками функций у = f (х + А) и у = f (х), (данный факт следует из определения аналитических отображений точек плоскости).

При доказательстве теоремы 2 можно использовать рассуждение примера 2 из введения. Несколько другое доказательство теоремы 2 приведено ниже.

Теорема 2. Для произвольной функции z = f (р) , определенной в некоторой открытой области G , исходное аналитическое многообразие точек плоскости для уравнения z = f (р) с точки зрения новых систем координат на комплексной плоскости имеет два решения уравнения z = f (р) при любом z из области значений функции z = f ( р), Р — комплексная переменная.

Доказательство. Рассмотрим аналитическое многоообразие точек, заданное уравнением z = g(r) при всех г = р — А.

Имеют место одновременно два равенства: z = f (Р + А ) = д(г),Р = г, и z = = f ( р ) = д(г) с одним и тем же z; здесь первое равенство следствие определения f,g во введении ввиду того, что переменную Р = г можно считать переменной р , второе равенство следствие определения значения функций f,g в любой точке, совпадающей с концами радиус-векторов р,г в системах координат из их определения, (см. далее). Переменную Р = г можно считать переменной р, так как эту переменную мы считали переменной р при разборе первого представления примера 2 для функции д , следовательно она является переменной р для любой другой функции вместо д , в том числе для функции f при всех р = Р = г. (То, что ее можно считать переменной р, вытекает также из равенства z = f (Р ) = д(Р — А) при всех р = Р [1-3; 7], по исходному определению функций f, д во введении).

Следовательно, имеют место два уравнения z = f ( р ) = д(г) и z = f (Р + А ) , Р = р. (Отметим, что второе уравнение z = f (Р + А )) совпадает с уравнением z = f (s),P = = р, исходного многообразия z = д(г) , так как р + А = s , где s , по определению, комплексная переменная для третьей системы координат с центром в (—А, 0) . Данное второе уравнение суть уравнение сдвинутого на величину —А исходного многообразия с центром координат в точке (—А, 0) ; первое уравнение, как было отмечено, z = f (р) = = д ( г ) ).

Теорема 2 доказана.

Заключение

Отметим, что теорема 2 фактически приводит к равенству Р + А = р одновременно с возможностью считать переменную Р переобозначением исходной комплексной переменной р, определенной в исходной системе координат с центром в (0 , 0) [1-3; 7].

С точки зрения примера 2 и факта 1 введения мы доказали утверждения примеров статьи [2] и совпадение исходного аналитического отображения z = f ( р ) с некоторыми полями сдвигов ( F(р) из статьи [3]).

К аналогичному результату приводит также дальнейшее рассмотрение обратных функций без введения новых систем координат.

Имеет место равенство f-1(z') + А = h-1(z) для обратных к f и h функций, соответственно, в котором переменной р можно обозначать или f-1(z) или h-1(z). Здесь уравнения z = f (р) и z = h(р) это — уравнения исходного аналитического отображения z = f (р) и уравнение z = h(р) сдвинутого вправо на величину А > 0 данного исходного аналитического отображения точек z = f (р). После первого обозначения мы получаем, что р + А = h-1 (z), и h(p + А) = z суть уравнение уже сдвинутого многообразия, (а не z = h(p) по определению), после второго обозначения получаем f-1(z) + А = р, и z = f(р — А) суть уравнение исходного аналитического отображения z = f(р), (а не z = f (р) по определению). В данном доказательстве нового уравнения исходного аналитического отображения мы не использовали новых переменных г и новых систем координат при разных действительных А.