Расчет контактной разности потенциалов плавного n-n+-перехода
Автор: Арефьев А.С.
Журнал: Физика волновых процессов и радиотехнические системы @journal-pwp
Статья в выпуске: 4 т.18, 2015 года.
Бесплатный доступ
Получены формулы для приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения с помощью интерполяционного метода произвольного порядка. Проведен расчет распределений напряженности внутреннего электрического поля, а также концентраций электронов проводимости и дырок в плавном n - n +-переходе. Определена контактная разность потенциалов данной структуры.
Интерполяционный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, внутреннее электрическое поле в неоднородном полупроводнике, контактная разность потенциалов электрического перехода
Короткий адрес: https://sciup.org/140255942
IDR: 140255942
Текст научной статьи Расчет контактной разности потенциалов плавного n-n+-перехода
1. Постановка задачи
Рассмотрим слой полупроводника, не ограниченный в направлении осей y и z декартовой системы координат. В состоянии равновесия исследование распределения напряженности внутреннего электрического поля и концентраций свободных носителей заряда в такой структуре [1] может быть сведено к решению системы дифференциальных уравнений
/-V dE dx
S
- n e + n i- + N ( x ) П e
dn e de c
/-V
- n eE
где e – абсолютное значение заряда электрона; k — постоянная Больцмана; S o — электрическая постоянная; a – толщина слоя полупроводника; T – его абсолютная температура. Предполагается, что поверхностям кристалла соответствуют плоскости x = 0 и x = a . Формула (1) представляет собой третье уравнение Максвелла. Формула (2) является следствием равновесного состояния полупроводника. Она выражает требование тождественного равенства нулю суммарного тока электронов проводимости, складывающегося из диффузионной и дрейфовой составляющих. Решение краевой задачи (1)–(3) производилось с помощью интерполяционного метода [2].
с граничными условиями
EE ( 0 ) = E E ( 1 ) = 0. (3)
Здесь использованы обозначения
E E = q E E , n e = q n n e , n i = q n n i ,
NV = qn (Nd - Na), x = x / a, где E – напряженность внутреннего электрического поля; ne – концентрация электронов проводимости в полупроводнике, содержащем
2. Интерполяционный метод решения обыкновенного дифференциального уравнения
Пусть функция y ( x ) является решением дифференциального уравнения
dy = f ( x , y ) , ( a < x < b ) .
донорную и акцепторную примеси с концентрациями Nd и Na ; ni – концентрация свободных носителей заряда одного знака в полупроводнике i -типа; s — относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Нормировочные множители определяются выражениями:
Разобьем область его определения на M интервалов ( x m , x m + i ) , в общем случае имеющих различную длину, полагая
( a = x 0 < x i < „ . < xm = b ) .
Проинтегрировав уравнение (4) на одном из та-
ea qE = kT ’
ea qn = — qE, s0
ких отрезков, имеем:
x m + 1
Ут+1 - Ут = j f [x, У ( x)] dx, xm
(m = 0, M - 1), где ym = y (Xm ), (m = 0, M) . Представим функцию f [ X, y ( x )] в многочлена степени ме Лагранжа [3], с
( i = m - n + 1, m + 1 ) m + 1
виде интерполяционного n + 1, записанного в фор-узлами в точках ( xi , yi ( n ) ),
X - X j
j = m - n + 1 j * i
-
i = m - n + 1
( n = 1,2, — ; m = n - 1, M - 1 ) .
Подстановка (6) в (5) дает
( n ) = J n ) , y m + 1 y m +
f f ( ' • I A ni i = m - n + 1
( n = 1,2, — ;
m = n - 1, M - 1 ) ,
где
A ( n ) A m , i
m + 1
П
j = m - n + 1 j * i
1 Q( n )
■ j ) mm ( x m - n + 1 ,
xm-n+2, — , xi-2, xi-1, xi+1, xi+2, —, xm+1) , xm + 1
Qm)(z1, Z2, -, zn )= J П(x - zj VX, j=1
xm
( n = 1,2, — ; m = n - 1, M - 1;
i = m - n + 1, m + 1).
Докажем соотношение
n
n - 1
x
n
-
I ‘ x n - ‘ Л Ы ,
j = 1
(n = 1,2, —), где
n cin1 = f j1, j2,—, ji+1 =1
z j 1 ' z j 2 ' — ' z j i + 1 ,
j 1 < j 2 < — < j i + 1
( n = 1,2, — ; i = 0, n - 1 )
— сумма всевозможных произведений i + 1 параметров zj , имеющих различные индексы. В случае предельных значений индекса i формулу (10) можно записать следующим образом:
Z^ > = f Zj, Zn '-П Zj, (n = 1,2,—).(11)
j=1
Воспользуемся методом математической индукции. При n = 1, 2 формула (9) превращается в очевидные тождества. Например, для n = 2 имеем:
П (x- zj) = x2 - xf zj + f zjzk = j=1 j=1 j>k=1
j < k
= X 2 - X ( Z 1 + Z 2 ) + Z 1 Z 2 .
Предположим, равенство (9) справедливо при n = m, (m > 1). Найдем произведение:
m+1
П( X - Zj ) = ( X - Zm + 1 )П( X - Zj ).(12)
j=1
Заменяя в (9) n на m и подставляя полученное выражение в (12), получаем:
m + 1
П(X - Zj ) = Xm+1 - XmZm + 1 - j=1
m - 1
- У ( -1 ) i x m - i z(. m ) +
2 = i + 1 (13)
m - 1
+ Z m . 1 f ( -1 ) ‘ X m-“ Z m , i = 0
( m = 2,3, — ) .
С учетом (11) последние два слагаемых в правой части (13) можно представить в виде m-1
f (-1)* Xm-‘i^m = i=0 mm
= Xm f Zj +f (-1)iXm-‘Z^ = j=1
mm
= Xmf Zj +f (-1)-*1 Xm-i-1^, j=1
m - 1
Zm+1 f (-1)‘ Xm-i-^‘m) = i=0
m -,2
‘ m - ‘ -V( m )
Zm+1 f ( 1) X Zi+1 + i=0
m
+ ( -1 ) m - 1 Z m + 1 П Z j , j = 1
( m = 2,3, — ) .
Подставляя (14) в (13) и принимая во внимание очевидное тождество
r(m) + 7 .r(m) - Иm+1) Z i+2 + Zm+1Z i+1 = Z i+2
(m = 2,3, —; i = 0,m - 2), находим m+1
П( X - Zj ) = Xm +1 - Xm f Zj + j=1
|
m - 2 m + 1 + £ ( -• > ‘ x m - ‘ ■■ ■' ' 11 m n Z j , г = 0 j = 1 ( m = 2,3, . ) . Используя равенства (11), получаем: |
+ 3 [ Z 1 ( Z 2 + Z 3 + z 4 ) + z 2 ( z 3 + z 4 ) + z 3 z 4 ] x 33 x I x m + 1 x m J - 1 [ Z 1 z 2 ( z 3 + z 4 ) + ( Z 1 + z 2 ) z 3 z 4 ] x |
|
m + - , . П ( x - z j ) = x m + 1 - x m s i m + 1 ) + j = 1 m - 1 + ^ ( -1)' - 1 x m - ■ ^- ( -ц m ti0, i = 1 |
x ( x m + 1 - x m ) + Z 1 z 2 z 3 z 4 ( x m + 1 - x m ) , ( m = 3, M -1 ) , Q m ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 ) =6 ( x m + 1 - x m ) - |
|
( m = 2,3, . ) , или m + 1 m П ( x - Z j ) = x m * 1 - £ ( -* ) ‘ x m - ‘ < ( m 1 + 1 ) , j = 1 г = 0 ( m = 2,3, . ) , |
- 5 ( z 1 + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) ( x m + 1 - x m ) + + 4 [ Z 1 ( Z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) + z 2 ( z 3 + z 4 + z 5 ) + + z 3 ( z 4 + z 5 ) + z 4 z 5 ] ( x m + 1 - x m ) - |
|
Таким образом, если соотношение (9) выполняется при n = m , ( m = 2,3, . ) , то оно оказывается справедливо в случае n = m + 1. Доказательство (9) завершено. Подставляя (9) в (8), имеем: |
- 3 { Z 1 [ Z 2 ( Z 3 + Z 4 + z 5 ) + z 3 ( z 4 + z 5 ) + z 4 z 5 ] + + z 2 [ z 3 ( z 4 + z 5 ) + z 4 z 5 ] + z 3 z 4 z 5 } x x ( x m + 1 - x m ) + 1 [ z 1 z 2 z 3 ( z 4 + z 5 ) + |
|
Q m ) ( Z 1 , Z 2 , . , z n ) = ( x m *+ 11 - x m * 1 ) - n + 1 V ' n - 1 i - V ( 1) n - i - i - n - - ‘ ( n n ) 1 x m + 1 x m IS ‘ + 1 , n - ‘v 7 i = 0 ( n = 1,2, . ; m = n - 1, M - 1 ) . |
+ Z 1 z 2 z 4 z 5 + ( Z 1 + z 2 ) z 3 z 4 z 5 ] ( x m + 1 - x m ) - - Z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 ( x m + 1 - x m ) , ( m = 4, M - 1 ) . 3. Решение краевой задачи с помощью |
|
Приведем выражения для некоторых интегралов Q m ) : Q m ( z 1 ) =2 ( x m + 1 - x m ) - z 1 ( x m + 1 - x m ) , ( m = 0, M - 1 ) , Q m ( z 1 , z 2 ) = 3 ( x m + 1 - x m ) -
( m = 1, M - 1 ) , Q m ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 4 ( x m + 1 - x m ) - 1 33
+ 2 [ z 1 ( z 2 + z 3 ) + z 2 z 3 _ ( x m + 1 - x m ) -
( m = 2, M - 1 ) , Q m ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = 5 ( x m + 1 - x m ) -
|
интерполяционного метода Произведем разбиение области определения уравнений (1), (2): ( 0 = 5: о < 5i1 < „ . < 5: m = 1 ) . В Q -м приближении интерполяционного метода формула (7) приводит к системе уравнений относительно значений неизвестных функций в узле 5 c m + 1 : ( Q ) _ ( Q ) + д( Q ) 1 x E m + 1 = E m + A m , m + 1 £ x z x 2 x - nbSQm + 1 + 3 n i - + NN ( x m + 1 ) + B EQm , (15) [ n e , m + 1 _ ( Q = 1,2, . ; m = Q - 1, M -1 ) , n( Q ) , = n( Q ) - A( Q ) .n( Q ) ( Q ), + B( Q ) n e , m + 1 n e , m A m , m + 1 n e , m + 1 E m + 1 + B n , m , (16) ( Q = 1,2, . ; m = Q - 1, M -1 ) . Здесь использованы обозначения: E m ) = E ( X m ) , й eQm = й e ( X m ) , ( m = 0, M ) , |
B
( Q ) =1 E , m c
m
Список литературы Расчет контактной разности потенциалов плавного n-n+-перехода
- Арефьев А.С. Решение краевой задачи для равновесного плавного n-n -перехода с помощью интерполяционного метода // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2014. Т. 17. № 4. С. 70-74.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1962. 638 с.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1962. 464 с.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. 720 с.
