Равномерное приближение граничного условия в обратной задаче тепловой диагностики

Пусть тепловой процесс описывается уравнением

S uxtl = 52*^), 0 < x < 1, t > 0,                         (1)

d t       d x ²

решение u(x, t) e C([0,1] x [0, ~)) П C2,1((0,1) x (0, “)), удовлетворяет следующим начальному и граничным условиям

u ( x ,0) = 0;  0 <  x < 1,

u (0, t ) = h ( t );      t >  0,

и

^u^-t) + ku (1, t) = 0, k > 0, t > 0,(4)

dx где

h(t) e C2[0, ~), h(0) = h '(0) = 0(5)

и существует число t ₀ >  0 такое, что для любого t >  t ₀

h (t) = 0.(6)

Рассмотрим множество Mr о L2[0, ~) и, определяемое формулой x.-

M r = \ h ( t ) : h ( t ) e L ₂[0, ~ ); j h ²( t ) dt + j [ h '( t )]² dt <  r ² > .

Искомая функция h (t) e Mr.

Предположим, что при f ( t ) = f 0 ( t ) существует функция h ₀ ( t ), удовлетворяющая условиям

(5)-(7) и такая, что при h(t) = h0(t) существует решение u (x, t) задачи (1)-(6), удовлетворяющее условию

u ( x 1 , t ) = f ₀( t );    t >  0,

но функция f ₀ ( t ) нам не известна, а вместо неё даны некоторая приближенная функция f ₅ ( t ) e L ₂[0, x ) П L 1 [0, x ) и число 5 >  0 такие, что

II f 5 — f 0I |< 5 .                                                (9)

Требуется, используя f _s , 5 и M _r , определить приближенное решение h ₈ ( t ) задачи (1)-(4), (8) и оценить уклонение h h₈ - h ₀|| L приближенного решения h ₈ от точного h ₀.

Пусть H = L 2 ( -~ , ^ ) + z'L ₂( -^ , ~ ), а F - оператор, отображающий L ₂[0, ~ ) в H . Из теоремы Планшереля [1] следует изометричность оператора F .

Применяя преобразование

∞

F [ h ( t )] = — ( h ( t ) e - ^{i T t}dt , T >  0,

N ²ⁿ 0

сведем задачу (1)-(4), (8) к задаче вычисления значений неограниченного оператора T , T : H ^ H ,

Tf ( т ) = h ( т ), т >  0,

где ^f ( Т ) = F [ f ( t )], h ( Т ) = F [ h ( t )], а

Tf (T) =-----ch ^0 7 + (* 'R 7 k sh M0 T--- f (T).

ch ^ 0 (1 - x 1 ) 7 t + ( ^ ₀ 7 t ) ¹ k sh ^ 0 (1 - X j ) 7 t

Из (9) следует, что

178 Т) - 7 о(т)| < 8

и при f ( т ) = f ₀( т ) существует точное решение h 0 ( т ) задачи (10), которое принадлежит множеству M r , определяемому формулой

~                 ,2

M r = <  h ( т ) : h ( т ) е H , j (1 + т ² )| h ( т )| d T < r ²

I 0 J

Требуется, используя f 8 ( т ), 8 и M r , определить приближенное решение hi8 ( т ) задачи (10), (11) и оценить уклонение || h 8 - hi 0 1|- Для решения этой задачи используем регуляризующее семейство операторов { T _a }, а >  0

T a f ( Т ) =

Tf ( т ); т <  а , 0; т >  а .

α

В качестве приближенного решения задачи (10), (11) возьмем элемент h 8 ( т ) = T _a f 8 ( т ), в котором параметр регуляризации а ( 8 , r ) определим из уравнения

r

= e

71 + а ²

Заметим, что метод {T _a ( 8 r ) : 0 <  8 <  8 ₀}, определяемый формулами (13) и (14), является методом проекционной регуляризации, предложенным в [2].

В [3] доказаны теоремы.

Теорема 1. Для любого £ >  0 существует 8_£ >  0 такое, что для любого 8е (0, 8_£ ) справедливы оценки

V2(1 - £ ) r                 72(1 + £ ) r

I - = <  ^[^8 ) ^] < / „ =, 71 + а ²( 8 , r )                71 + а ²( 8 , r )

где метод { Т _а ( 8 , _r ) : 0 <  8 < 8_£ } определен формулой (13), (14).

Теорема 2. Метод {Та(8,r) : 0 < 8 < 8£}, решение задачи (10), (11) и, определяемый формула ми (13), (14) оптимален по порядку на классе Mr и для него справедлива оценка погрешности

А 8 [ Т а ₍ 8 , r ) ] <  72(1 + £ ) А °Г .

Получены асимптотические оценки [3].

Теорема 3. Для любого r >  0 существуют числа c 1 (r ), c ₂( r ) и 8 1 <  1 такие, что для любого 8 е (0, 8 1 ) справедливы оценки

Математика

c 1 ( r ) ln² g < ^ 1 + a ²( g , r ) <  c ₂ ( r ) ln² g .

Рассмотрим пространство H0 = F[L2[0,^)], где F преобразование Фурье и через hg(т) обозначим элемент, определяемый формулой hg (т) = pr [ hg (т); H 0].

Окончательно, решение hg (t) обратной задачи (1)-(4), (8) определим формулой hg (t) =

F 1 [ h g ( t )];   t e [0, t ₀],

0; 0 <  t , t >  t ₀.

При достаточно малом значении g справедлива оценка

||h g ( t ) - h 0 ( t )||_£ < V2(1 + £ )         r .

²             71 + « ²( g , r )

Решение задачи восстановления непрерывной функции, заданной со среднеквадратичной погрешностью

Обозначим через Mr множество функций u (t) e C[a, b] таких, что bb j u 2( t) dt + j [ u'(t )]2 dt < r 2,                                       (17)

aa где u'(t) - обобщенная производная Соболева от функции u(t).

Предположим, что функция u0 (t), принадлежащая множеству Mr, нам не известна. Вместо нее даны некоторое приближение u£(t)e L2[a,b] и уровень погрешности £ > 0 такие, что

II ^u £ ^{- u} 0II L <  ^£ .                                                ⁽¹⁸⁾

Требуется, используя априорную информацию (u£ (t), £), определить приближенное значение u£t) e C[a,b] и оценить величину max{|u£(t)-u0(t)| : te[a,b]}.

Эта задача называется задачей восстановления непрерывной функции, заданной с погрешностью. Для ее решения используем метод усредняющих функций, предложенный в [4].

Рассмотрим усредняющую функцию lc to( t)=^ Ye

1 - 1-

; | t | < 1,

0;

I t > 1

Из [5, с. 111-112] и формул (19), (20) следует, что для любого h >  0 to h ( t ) e C ” (R), to h ( t ) = 0 при | t |> h и j t < h ^to h ⁽ t ) dt = 1.

Теперь определим регуляризующее семейство { P h : h >  0} линейных ограниченных операторов P h , отображающих пространство L ₂ [ a , b ] в C [ a , b ], использующих формулу

Лемма 1. Пусть линейный ограниченный оператор P h определен формулой (21). Тогда

• ¹¹ P^{h l|s} T T T h ■

  (\t\ to h ( t ) = - to И h

  
  
  
  

  1 , I ^h J

  
  

  t e R.

  
  
  
  

  Доказательство. Пусть u ( t ) е L₂[a , b ]    и

  любого t е [ a , b ]

  
  

  Равномерное приближение граничного условия в обратной задаче тепловой диагностики ||u ( t )|| - 1, тогда из (19)-(21) следует, что для

  
  
  
  

  I P h u ⁽ t ) - ^ I H L γ h

  
  

  J ^e

  z ≤ h

  
  

  z 2

  ^{h 2} dz

  
  
  
  

  •

  
  
  
  

Так как ||u|L -1, и h

J e

- h

1{1 - z ² I h h

"12

dz - h • J e ¹ t ² dt - h / , - 1

то из (22) следует, что для любого t е [ a , b ] \ P _hu ( t )| - ,1 _г , что и доказывает лемму.

γ h

Лемма 2. Пусть множество Mr определено соотношением (17), а и0(t) = Phu0(t)• Тогда sup u 0

u о е M_r

-

u h СГ II C [ a , b ]

Доказательство. Предположим, что u ₀ е M r , тогда для любого t е [ a , b ]

|^u 0 ⁽ t ) ^-

u 0 ( t )| = J ® h ( t — т ) u ₀( t ) d T - J to _h ( t - т ) u ₀( t ) d T .

t - τ ≤ h

t - τ ≤ h

Из (23) следует, что

I u 0 ( t ) - u 0 ( t )| = J to h ( t - T ) | u 0 ( t ) - u 0 ( T )| d T .

t - τ ≤ h

Так как из теоремы, доказанной в [5] на стр. 126, следует, что для любого t е [ a , b ] выполняется соотношение

I ^u 0 ⁽ t ) ^{- u} 0)

что и доказывает лемму.

Окончательно, в качестве приближенного значения восстанавливаемой функции     и ₀( t )

возьмем функцию

^{u £} = ^uh^{( E} ) ⁽ t ) = P h ( £ ) ^u _e ⁽ t X в которой £ определено формулой (18), а h( £ ) формулой h ( £ ) = £ • γ r

Учитывая, что

I ^u 0 ⁽ t ) ^{- u} £ ⁽ t )|| C [ _ab ] ^- sup ]| ^u 0 ⁽ t ) - ^u 0^{( £ ) (} t )| + | P h ₍ £ )|| ^£ ,

где h _£ определена формулой (25).

Из лемм 1 и 2 получим, что

II U _o ( t ) - U_E ( t )||       - ² ^If .

II ^{0V 7 V 7}H c [ a , b ]      4 Y

Теперь докажем, что оценка (26) является точной по порядку, а метод усредняющих функций { P h ( _£ ) : 0 <  £ - £ ₀ } , используемый в настоящем параграфе, оптимален по порядку. Из работы [6] следует, что

to 1 (2 £ , r ) ~ £ при £ ^ 0,

Математика

где модуль непрерывности ц (2 £ , г ) определен формулой

<Ц(2 ^£ , г ) = sup{|| u ₁( t ) - u 2 ⁽ t )|| _c [ a , b ] : u_x,u 2 e M r ; H u ! - u 21 L_{l 2} <  2 ^£ }.

Из работы [7] и формул (26), (27) следует, что метод { P h ( _£ ) : 0 <  £ <  £ ₀ } оптимален по порядку на классе М _г , а оценка погрешности (26) этого метода является точной по порядку.

Равномерное приближения решения h0(t) обратной граничной задачи (1)-(4), (8)

Используя методику, изложенную выше, задачу равномерного приближения граничного условия h ₀( t ) в задаче (1)-(4), (8) сведем к задаче восстановления непрерывной функции, заданной со среднеквадратичной погрешностью.

Таким образом, из условия (17) следует, что нам необходимо определить функцию h ₀ ( t ) e W ^ [0, t ₀], и удовлетворяющую условию

J h02 (t)dt + J [h0'(t)]2 dt < г2.(28)

Из (15) и (16) следует, что нам известна функция h § ( t ) e L ₂[0, t ₀] такая, что

||hg(t)-h0(t)|L2 < £(§),(29)

где £ ( § ) = У2^{(1 + £} =, a ( 3 , г ) - решение уравнения (14).

• V1 + a Уд, г )

Требуется, используя априорную информацию h§ (t), £(§), г задачи (28), (29) определить функцию z5 (t) e С[0,t0] такую, что max { zg (t) - h0( t )| : t e [0,10]}^ 0 при § ^ 0

и оценить скорость этой сходимости.

Для решения этой задачи используем регуляризующее семейство операторов { Р у : в >  определяемое формулой (21)

t 0

P p h ( t ) = J h ( t) Ш у ( t - т ) d T ,   h ( t ) e L ₂ [0, 1 ₀ ],

(цУ t) =

1 Л И

в

I в У

1 e t e [ 0, 1 0 ] , а < y ( t ) = ^ y⁶

^{1 -} t ² ,   I t <  1,

0,          |t | > 1,

1 - где у = J e 1-t2 dt.

- 1

Окончательно, в качестве приближенного решения возьмем функцию z§ (t)=Рв(§)h§(t); te[0, t0], где

e(g )=-£.

V у г

Из формулы (26) следует, что

II z g ( t ) - Z 0 ( t ) I [ 0, t .,< ^4^ .