Различные формы записи уравнений движения и граничных условий новой теории оболочек

Уравнения движения новой теории оболочек (НТО) для любой среды, как известно

[1], имеют вид

(_) . ) Ik ° 3 k (") k   <_’ k V I M + T + X - W , (1) ( + ) (+’ Ik " 3 k   ( o ) k    <+’ k V I M - T + X - W .

Здесь V - -ст o -оператор ковариантной производной [2]. g

Легко усмотреть, что компоненты тензоров внутренних усилий [1] представляются следующим образом:

) Ik 7 °) o I »JkL      з\ , 3

M =\ngTP 1 _ x) dx -

0 J

= h 1 f(l - x3)У I + x3f joIjoM- У 111 PJk (l - x^dx h \ 1 x g т x g Tg +, g Г P 1 x dx о          J ( J M JJ

,'’ Ik ’/) o I "Jk 3,3

M  -\ng tP x dx -

0 J

o

° 3 k 7~’ o 3 » nk ° 3 к

t -\пд^Р -Q

0 n

• - h 0 1 - x ³ ) J rj

i

o

o

o

o

V

M

Mt

o

- gJ

PJ x3 dx 3,

o o з *⁺; m g ;„m M

k

;

o o            1(-) o

Q3 k-jnP3 kdx’

o 7^_ ) o 3 k ₃

где

o

^{( _ )} o ^{( _ )} _ 1 ^o o ( - ) ( - ) I ^{o ( _} ) _ 1 1 ij ^o K ^o L n 4gg g ₃₃ ^- h & ’ & ^- ggg ^- 2 ^{s s} KL g I g J

U      3V , 3^      3\ “^I ₁(3Y^(m’

^gJ~ & ^{s s} jp g m ~&   ^{1 - x}’^gJ^+x V ^gJ^giM”^gj) ’

^{( _} ) k       ⁽⁺⁾ k                                                                                                ( - ) k       ^{( +} ) k

-

Заметим, что X и X представляют собой компоненты внешних сил, W и W компоненты инерционных сил, а Pn - а° -компоненты тензора напряжений Пиола.

g

Соответствующие уравнениям (1) граничные условия, например, имеют следующий вид [1]:

(-)          ) (-й           (-’ (-) (-)(

M    v I = S ^на Y 1 ^; и = и о ^на Y i ,

	(3)
oo ( + ) Ik^-^      (+’к            ( + )      ( + )    ( + )             ( + ) M vI- S на Y 1 ; и - и 0 на Y 1 -

(-)       (°-)        (-’                 (+)        (+)        (+)( где у = Yi ^ у2 и Y = Yi u Y2 — граничные контуры внутренней о^ и внешней

(+)

СУ i базовых поверхностей соответственно.

Следует заметить, что уравнения (1) и соответствующие граничные условия можно записать и в более краткой форме. В самом деле, умножая первое соотношение (1) на (1-х3), а второе на х3, и потом, складывая полученные таким образом соотношения, будем иметь oo vMIk+1 -2x3T3k+Xk=Wk, v x3^H,          (4)

где введены следующие обозначения

, ojk           ’ Ik з<^:’ Ik ° Ik /      3V ;)Ik 3^VIk

M   ( I ^- x ) M  ⁺ xM , X 1 ^- x ) X ⁺ xX ,

W

Ik

о _ __             о _ __

(zXk X.-ik

W ⁺ xW

.

Проводя совершенно аналогичную процедуру, из (3) с учётом (5) получаем °,Ik° ok о                       °3

M Vi = S на Y1; u = ио на у2 , V x е[0,1], где oo

"k L      3V-’k     3<2k            L 3 (-)     3(+)          _         3 (-)

S = 1 - x ) S + xS ’ и = 1 ^- x ) и ⁺ xu ’ и о = 1 ^- x ) и о ⁺ xu 0

0 ,          U-)         (+)       0       ,          J-)(

Y , = 1 ^- x ³⁾ Y , ⁺ x ³ Y , , Y 2 = 1 ^- x ^{3 )} Y 2 ⁺ x ³ Y 2 ^.

Заметим ещё, что при жёстком защемлении краёв будем иметь и = 0 на у , V x е [0,1] , а при свободных краях

IM I' V, .0 на _Y , V x '«M . 0 ,          а-)        ( + )

^где                                Y = 1 - x ³ у ⁺ x ³ Y .

Представляя уравнения (1) в более развёрнутом виде, будем иметь

^{( - )} o ( - ) I J

VjM

o     oo

J ^o J I ^{( - )} 1 3 ” 3 j   ^{( - )} j ^{( - )} J

I-g-Д m + t + x - w

^{( +} ) o ^{( +} ) IJ f ^o J ^o J I ^{( +} ) I 3

VIM +l g+I-g-Д m

oo

” 3 J ^{( + )} J    ^{( + )} J

T + X = W ,

oo

^(-) o ^{( - )} I 3

VIM

o

h

- 2

o      o       oo f o o I (-) IK o 3 (-) 13 o 3 3 (-) 3 (-) 3 ^мд.Д M + g } M + T + X = W

| IK IK J          I

oo                         o           o             oo

(+) o (+) 13 o - 2 o o I (+) IK o 3 (-) 13 o 3 3    (+) 3

VjM - h gt^-g-J M + g+ M - T + X = W IK IKI

o

(+) о( где Vo __ ^o -оператор ковариантной производной.

Аналогично из (4) получаем

< - > o ^o I J f ^o J

V,M ^VgI

^o J ) ^o 1 3 / з\ o 3 J ^o J g I J M + 1 - 2 xiT + X

o J

WJ

o

^(-) o ^o

v m

I 3

o

h

- 2

o

g

l

+ _

IJ

^o             o

^{- g}IJ J ^M

J++g I Mr3+1 - 2 x ’)T33+;X3=W?3

Следует отметить, что в случае оболочек постоянной толщины

o3             o gj = dIn h = 0 и,

например , из (6) получаем

o

^{( - )} o o I J

VjM +

- o JI o”/13 gIJM + o g

:3Q 3J. X1-^FJ.

^{( - )} o °

V IM

I ³ - h

- 2

+ _

IJ

^o I o

- ^gIJ J ^M

IJ

+

₃ o 33

o 3 o 3

+ X - W .