Разработка аналитического подхода к обоснованию структуры смеси обогащенного крекера

Одно из направлений корректировки рационов питания, обоснованной в Доктрине продовольственной безопасности Российской Федерации с позиций обеспечения населения экономически доступными и физиологически полноценными продуктами [1], связано с поиском и применением нетрадиционных сырьевых ингредиентов. При этом помимо отличительного нутриентного состава, позволяющего сократить дефициты пищевых волокон, витаминов, макро- и микроэлементов, новый ингредиент должен обеспечивать идентичность традиционного сенсорного восприятия продукта питания.

Традиционный подход к проектированию обогащенного продукта питания представляет собой задачу, для решения которой необходим комплекс исследований, подтверждающих функционально-технологические свойства нового ингредиента и его уникальный нут-риентный состав. Этапы проведения такого исследования демонстрируют сложность и длительность такого процесса. Предложим другой подход, основанный на построении математической модели, позволяющей спрогнозировать рецептурный состав изделия при условии улучшения его нутриентного состава и сохранения традиционного качества.

Объекты и методы исследований

В качестве объекта в работе был принят крекер – мучное кондитерское изделие, пользующееся популярностью у разных категорий населения. Этот факт подтвержден изучением лояльности потребителей по отношению к группе продукции. В региональном разрезе крекер занимает вторую позицию после сахарного печенья. Корректировку нутриентого состава крекера осуществляли посредством применения муки из якона, полученной измельчением высушенного ИК-способом предварительно вымытого и нарезанного на пластины якона. Известно и подтверждено нашими исследованиями высокое содержание в яконе полифруктозана инулина и в целом пищевых волокон (ПВ), макроэлементов – кальция, фосфора и магния, микроэлементов – марганца, меди и селена, антиоксиданотов и других биологически активных веществ [2–5]. Кроме того, мука из якона представляет собой порошкообразный полуфабрикат светлокремового цвета слегка выраженного фруктового запаха и сладковатого вкуса, что вполне сочетаемо с сенсорными характеристиками крекера.

Постановка задачи расчета смеси для производства обогащенного посредством внесения в рецептурный состав муки из якона крекера:

• –    обосновать выбор математического инструментария для оптимизации состава композитной смеси для производства крекера (далее по тексту – смеси) в условиях нечетко заданных параметров смеси и вариации состава компонентов смеси;

• –    рассчитать оптимальную структуру смеси по критериям: максимальное содержание клейковины, максимальное содержание пищевых волокон (либо другого нутриента в обобщенном виде модели);

• –    при решении задачи оптимизации смеси учесть нестабильность содержания нутриентов и оценить влияние этой нестабильности на функциональные свойства конечного продукта;

• –    провести сравнительный анализ вариантов смеси на основе обобщённых показателей

качества в аспекте пищевой ценности конечного продукта (крекера).

Предлагается расчет смеси выполнять на основе известной математической модели условной оптимизации. В классическую модель оптимизации состава смеси предлагаем ввести стохастические параметры, характеризующие нестабильность состава компонент (например, содержание инулина (56,6 ± 1,40) г/100 г, по другим нутриентам также имеет место вариация ± 5 %, а в некоторых случаях и до 10 %), и нечеткие параметры, характеризующие степень уверенности в допустимости свойств смеси. Например, требования по содержанию ПВ можно представить в виде нечеткого числа, что объясняется рекомендациями действующих документов по суточному потреблению ПВ в диапазоне 20–25 грамм в сутки (МР 2.3.1.0253-21 Нормы физиологических потребностей в энергии и пищевых веществах для различных групп населения Российской Федерации [6, 7]), что объясняет требования к конечному продукту по содержанию ПВ в диапазоне 3,0–3,75 г/100 г.

Для реализации таких условий предлагается использовать модель условной оптимизации смеси в форме постановки задачи стохастического программирования. Однако ряд параметров модели имеют нечеткую природу, на практике допускается задавать значения таких параметров в виде диапазона допустимых значений, в котором значения имеют разную степень предпочтительности. Эту особенность можно учесть, если ввести в M- постановку задачи стохастического программирования нечеткие параметры. Исходя из физического смысла, нечеткими параметрами будут правые части ограничений b i , например, значения технологических ограничений (клейковина, зольность) или границы предпочтений потребителей (калорийность, содержание нутриентов); также нечетко можно определить коэффициенты в ограничениях на допустимые доли компонент в смеси (содержание компоненты как «желаемое» значение), коэффициенты, характеризующие пропорции обогащающих компонент (одной компоненты «примерно в два раза» больше, чем другой) [8, 9].

Тогда имеет место задача оптимизации смеси, предусматривающая оптимизацию (как правило, максимизацию) среднего значения целевой функции, где n – число компонент смеси, m – число ограничений с вероятностными коэффициентами:

n

F = Z M ^Cj J Xj ^ max, j=1

Z M [ a ij ] x j + t ( p i ) W i - bi ^, j = 1

W i     ^ [ a ij ] x j ^,

n

Z X j = 1, j = 1

d j - X j - D j , i = 1, m , j = 1, n.

В модели (1) могут быть нечетко заданы bi =( bit Bi IИi (bi)) – предельно допустимые технологические и органолептические показатели i-го вида (i = 1, m), Xj - доля компоненты j-го вида, dj - Xj- - Dj- - нечеткие гра- ницы доли компоненты.

В задаче (1) также приняты следующие обозначения: Bi , Dj – универсальные множества значений соответствующих нечетких параметров, ц - функции принадлежности нечетких параметров. Область определения функции ц - отрезок [0; 1].

Необходимо найти такое решение системы (1)

X = ( ^х 1 , ^x 2 ^,...^, x n ) ,            (2)

где X j >  0 ( j = 1,..., n ) , при котором нечеткая функция F принимает оптимальное (максимальное) значение .

Каждый нечеткий параметр зададим в виде нечеткого треугольного числа, функция принадлежности которого определяется формуле по

L

И Y =----- L ^;

m - у

R ц R = y-y • ц Y         R ;

m - у

И Y ( У ) =

У ^е

0; в остальных случаях, где ц^ (у) - функция принадлежности, m -мода, yL и yR – соответственно левая и правая границы носителя нечеткого числа Y . То есть нечеткие параметры заданы в виде трой- ки чисел у = (yL; m; yR ) .

Нечеткие числа можно представить в виде объединения четких подмножеств Y множества Y , каждое из которых называется а -интервалом Y _a = { у е Y I Цу ( у ) > а } ; а е [ 0; 1 ] :

Y = U а Ya ае[0;1]

В [10] приведен алгоритм решения задачи нечеткого программирования в случае, если ее параметры заданы в виде нечетких LR-чисел (к которым относятся и треугольные числа).

Шаг 1. Преобразовать нечеткие параметры задачи, заданные как треугольные нечеткие числа в модифицированные нечеткие LL/RR-числа с помощью преобразования

у (а) = %yL (а) + (1 -%) yR (а), %е[0;1]. (4)

Для этого надо представить границы а- интервалов в виде

yL (а) = аm + (1 - а)yL (а), yR (а) = аm + (1 - а)yR (а).

Выбрать подходящее значение % для каждого нечеткого параметра, например, по формуле

7 - m - УL

%= y^R - _y,^L '                ⁽⁶⁾

Шаг 2. Решить задачу с модифицированными нечеткими параметрами как задачу с четкими параметрами при а = 1 . Обозначить решение X ( 1 ) .

Шаг 3. Решить эту же задачу с параметрами, соответствующими а = 0 . Обозначить решение X ( 0 ) .

Шаг 4. Построить модифицированное нечеткое решение как линейную комбинацию решений X ( 0 ) и X ( 1 ) .

X (а) = X (0) + ( X (1) - X (0))а.   (7)

Следует пояснить смысл а-уровня применительно к данной задаче - а-уровень характеризует границы расчетного значения критерия, поскольку в случае нечеткого задания параметров и целевая функция, и искомые переменные представлены интервалом допустимых значений. При а = 0 значение параметра определено с минимальным значением функции принадлежности, как минимально допустимое, критерий оптимизации – значение нечеткого числа также с минимальным значением функции принадлежности. При а = 1 значение параметра соответствует наиболее предпочтительному, критерий оптимизации – значение нечеткого числа с максимальным значением функции принадлежности.

Для того чтобы снизить размерность задачи и иметь возможность получить несколько вариантов решения с последующим сравнительным анализом вариантов, выделим в составе смеси только те компоненты, которые обеспечивают исследуемые свойства и подлежат определению в рамках данной задачи. Значения в табл. 1 получены на основе разработанной нами производственной рецептуры крекера с порошкообразным полуфабрикатом якона.

На основании табл. 1 можно определить коэффициент пересчета содержания нутриентов в готовом продукте. Так, доля муки, якона и тмина в исходной смеси – 0,884, доля неизменяемых компонентов (сахар, соль, дрожжи, масло) в сумме составляет 0,116. Из расчетов коэффициент, учитывающий потери по сухим веществам, и соответственно, их «сохранность» в готовом продукте – 0,974. Соответственно, определяя, например, количество ПВ в готовом продукте (на выходе), нужно умножить расчетное количество ПВ в оптимальной трёхкомпонентной смеси на 0,974.

Исходные данные для расчета смеси по модели (1) приведены в табл. 2.

Предварительные расчеты показали, что данный набор ингредиентов и их состав может обеспечить как рациональное значение клейковины, так и оптимальное значение пищевых волокон, поэтому была проведена серия вычислительных экспериментов для критерия «максимум клейковины» с нечеткими ограничениями по ПВ и содержанию тмина и серия для критерия «максимум ПВ» с нечеткими ограничениями по клейковине и содержанию тмина. Кроме того, учитывалась возможная вариация параметров, соответствующих содержанию нутриентов в ингредиентах смеси. Необходимость ограничить содержание тмина объясняется тем, что якон существенно превосходит тмин по содержанию ПВ, и целевые показатели смеси достигаются и

Таблица 1

Данные для определения коэффициентов пересчета результатов оптимизации смеси

Сырье и полуфабрикаты	Расход сырья, кг на 10 кг готовой продукции в натуре	Доли сырья в базовом варианте, в смеси, ед.	Доли сырья в базовом варианте, в готовом продукте	Доли оптимизируемого сырья в базовом варианте, в натуре
Мука пшеничная хлебопекарная высшего сорта, в том числе на опару	8,61	8,61/11,02 = = 0,781	0,861	8,61/9,74 = 0,884
Мука из якона (ЯМ)	0,95	0,086	0,095	0,098
Тмин	0,18	0,016	0,018	0,018
Всего	9,74	0,884	0,974	1,000
Сахарная пудра	0,04	0,004	0,004	х
Соль поваренная пищевая	0,17	0,015	0,017	х
Дрожжи хлебопекарные сухие	0,06	0,005	0,006	х
Масло растительное (подсолнечное) дезодорированное	1,01	0,092	0,101	х
Итого	11,02	1,000	1,102	1,000
Выход	10	0,907	1,000	0,907

Таблица 2

Исходные данные для расчета смеси

Наименование и единицы измерения	Обозначение в модели оптимизации ПВ	Обозначение в модели оптимизации клейковины	Значение
Средние значения содержания	M[an]	М[с 1 ]	28
клейковины в пшеничной муке,	М[а„]	М[С 2 ]	0
ЯМ и тмине соответственно, %	МЫ	М[с з ]	0
Средние значения содержания	М[с 1 ]	М[ац]	0,2
ПВ в пшеничной муке, ЯМ	М[С 2 ]	М[ап]	62,1
и тмине соответственно, г/100 г	М[с з ]	М[а 1з ]	38,0
Нижняя граница содержания в	d 1	d 1	0,6
смеси пшеничной муки, ЯМ и	d 2	d 2	0,05
тмина соответственно, доля	d 3	d 3	0,05
Верхняя граница содержания в	D 1	D 1	0,9
смеси пшеничной муки, ЯМ и	D 2	D 2	0,2
тмина соответственно, доля	D 3	D 3	0,2
Рекомендованное содержание ПВ в смеси (нечеткое треугольное число), г/100 г	b 1	b 1	(3,00; 3,75; 3,75)
Рекомендованное содержание клейковины в смеси (нечеткое треугольное число), г/100 г*	b 1	b 1	(25,0; 27,0; 27,0)
Доля тмина в смеси (нечеткое			Пример одного
число)	b 2	b 2	из вариантов расчёта (0,017; 0,019; 0,019)
Соотношение долей ЯМ и тмина			Пример одного
(нечеткое треугольное число)		Ь ч	из вариантов расчёта
		3	(2; 5; 5)

* Минимальное содержание клейковины в смеси, при котором может быть получен крекер.

без включения в смесь тмина. Однако тмин улучшает вкус и повышает пищевую ценность готового продукта, так как имеет высокое содержание отдельных микроэлементов (калий, кальций, медь, магний, марганец, цинк), что обеспечивает более сбалансированный состав готового продукта.

Искомые значения долей в смеси: пшеничной муки (х1), порошкообразного полуфабриката якона (х2), тмина (х3) определяются нечетким решением (7), т. е. задаются значениями на α-уровне, равном нулю (α = 0), и на α-уровне, равном 1 (α = 1). Таким образом, имеем нечеткое решение задачи оптимизации смеси, которое позволяет оценить приемлемые, обусловленные нечеткостью, значения долей компонент смеси

Результаты и их обсуждение

Результаты вычислительного эксперимента приведены в табл. 3 и 4. Решения, представленные в табл. 3 и 4, имеют вид модифицированного нечеткого числа вида x( α ) = x(0) + k α . Как было сказано выше, α характеризует уровень соответствия полученного решения нечетко заданным условиям. В табл. 4 приведено оптимальное по содержа-

Таблица 3

Состав смеси в форме модифицированного нечеткого решения, оптимизирован по содержанию пищевых волокон при заданном уровне клейковины и доле тмина

Наименование	Доля при α = 0	Коэффициент при параметре α	Доля при α = 1
Вариация содержания клейковины 0,05
Мука пшеничная хлебопекарная высшего сорта	0,870	0,070	0,940
Мука из якона (ЯМ)	0,113	–0,072	0,042
Тмин	0,017	0,002	0,019
Количество клейковины, %	26,098	2,088	28,186
Содержание пищевых волокон, г/100 г (макс)	7,848	–4,358	3,490

Таблица 4

Состав смеси в форме модифицированного нечеткого решения, оптимизирован по содержанию клейковины при заданном уровне пищевых волокон и доле тмина

Наименование Доля при α = 0 Коэффициент при параметре α Доля при α =1 Вариация содержания ПВ 0,1 Мука пшеничная хлебопекарная высшего сорта 0,945 –0,013 0,932 Мука из якона (ЯМ) 0,039 0,013 0,052 Тмин 0,016 0,001 0,017 Содержание пищевых волокон, г/100 г 3,210 0,816 4,026 Количество клейковины, % (макс) 28,354 –0,402 27,952 нию пищевых волокон решение с нечетко заданной долей тмина и нечетко заданной нижней допустимой границей клейковины. То есть имеем диапазоны значений, обеспечивающих приемлемые требования в смысле технологии (содержание клейковины) и в смысле соответствия продукту функционального назначения (содержание ПВ).

Решения, представленные в табл. 3 и 4, показывают, что смесь удовлетворяет технологическим требованиям по содержанию клейковины, и требованиям продукта функционального назначения по содержанию пищевых волокон. Решения представлены нечеткими числами, отражающими допустимые по уровню требований значениями, что позволяет гарантированно выполнять требова- ния к смеси с учетом, в том числе, и фактора нестабильности содержания пищевых волокон и клейковины в компонентах смеси.

Таким образом, предложено аналитическое решение, позволяющее посредством вычислительного эксперимента целенаправленно сократить рутинный блок экспериментальных исследований и проводить экспериментальное подтверждение только обоснованного математически соотношения ингредиентов рецептурной смеси. При этом учтена нестабильность содержания нутриентов, характерная для сырьевых источников растительного происхождения, существенно зависящая от сортовой принадлежности, климатических условий года сбора урожая и зоны произрастания.