Разработка и анализ быстрого псевдоспектрального метода решения нелинейных задач Дирихле
Бесплатный доступ
Разработан метод численного решения 1D, 2D и 3D краевых задач Дирихле для нелинейных уравнений эллиптического типа. Метод основан на применении чебышевских приближений искомой функции, не имеющих насыщения, и нового подхода к формированию и решению задач линейной алгебры при дискретизации исходных дифференциальных уравнений. При этом дифференциальные операторы аппроксимируются с помощью матриц, а само уравнение (в 2D и 3D случаях) - с помощью уравнения Сильвестра, либо его тензорного обобщения. В тестовых задачах с решениями различной степени гладкости показана зависимость порядка сходимости предложенного метода от гладкости искомого решения, строго соответствующая оценкам погрешности наилучших полиномиальных приближений. Указанные свойства свидетельствуют об отсутствии насыщения алгоритма и обеспечивают низкий расход памяти и машинного времени при численном анализе задач, решения которых имеют высокий порядок гладкости.
Чебышевские приближения, краевая задача, нелокальный метод без насыщения, уравнение сильвестра, метод установления
Короткий адрес: https://sciup.org/147232878
IDR: 147232878 | УДК: 519.632.4 | DOI: 10.14529/mmp180210
Development and analysis of the fast pseudo spectral method for solving nonlinear Dirichlet problems
Numerical method for solving one-, two- and three-dimensional Dirichlet problems for the nonlinear elliptic equations has been designed. The method is based on the application of Chebyshev approximations without saturation and on a new way of forming and solving the systems of linear equations after discretization of the original differential problem. Wherein the differential operators are approximated by means of matrices and the equation itself is approximated by the Sylvester equation (2D case) or by its tensor generalization (3D case). While solving test problems with the solutions of different regularity we have shown a rigid correspondence between the rate of convergence of the proposed method and the order of smoothness (or regularity) of the sought-for function. The observed rates of convergence strictly correspond to the error estimates of the best polynomial approximations and show the absence of saturation of the designed algorithm. This results in the essential reduction of memory costs and number of operations for cases of the problems with solutions of a high order of smoothness.
Список литературы Разработка и анализ быстрого псевдоспектрального метода решения нелинейных задач Дирихле
- Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
- Бабенко, К.И. О явлении насыщения в численном анализе / К.И. Бабенко // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 241, № 3. - С. 505-508.
- Семисалов, Б.В. Нелокальный алгоритм поиска решений уравнения Пуассона и его приложения / Б.В. Семисалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - C. 1110-1135.
- Trefethen, L.N. Approximation Theory and Approximation Practice / L.N. Trefethen. - Philadelphia: SIAM, 2013.
- Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. - М.: Наука, 1977.
- Blokhin, A.M. Numerical Method for 2D Simulation of a Silicon MESFET with a Hydrodynamical Model Based on the Maximum Entropy Principle / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // SIAM Journal Scientific Computing. - 2009. - V. 31, № 3. - P. 2015-2046.
- Белов, А.А. Эволюционная факторизация и сверхбыстрый счет на установление / А.А. Белов, Н.Н. Калиткин // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 9. - С. 47-64.
- Белых, В.Н. Особенности реализации ненасыщаемого численного метода для внешней осесимметричной задачи Неймана / В.Н. Белых // Сибирский математический журнал. - 2013. - Т. 54, № 6. - С. 1237-1249.
- Boyd, J. Chebyshev and Fourier Spectral Methods / J. Boyd. - Mineola; N.Y.: University of Michigan, 2000.
