Развитие у обучающихся навыков решения в аналитическом виде уравнений математической физики с применением Maple

Бесплатный доступ

В данной работе на примере одномерного неоднородного гиперболического уравнения показаны основные шаги, позволяющие получить обучающимися аналитическое решение, используя систему Maple. Представленный в работе исходный код снабжен многочисленными комментариями, что позволяет достаточно легко производить его модификацию. В связи с этим у исходного уравнения можно изменять начальные и граничные условия, а также свободный член. А так как решение дополнительно представляется в графическом виде, то обучающиеся могут легко производить анализ на предмет влияния на решение начальных и граничных условий, а также свободного члена.

Математическая физика, гиперболическое уравнение, однородное уравнение, неоднородное уравнение, формула даламбера, обучение

Короткий адрес: https://sciup.org/170186582

IDR: 170186582   |   DOI: 10.24411/2500-1000-2019-11461

Текст научной статьи Развитие у обучающихся навыков решения в аналитическом виде уравнений математической физики с применением Maple

В настоящее время теоретические положения и практические методы математической физики применяют фактически во всех областях человеческой деятельности – охрана окружающей среды, геофизика, гидродинамика, электродинамика, акустика, социология, медицина, теория упругости и др. Кроме того, интенсивное развитие методов и средств математического и компьютерного моделирования позволило сделать процесс решения задач математической физики более эффективным. Поэтому обучение владением методами и инструментарием компьютерного моделирования для решения уравнений в частных производных является крайне важным. Инструментарием компьютерного моделирования служат различные программные системы – MATLAB, Maple и др. [14]. При их помощи можно решать различные задачи [4-8].

Постановка задачи

В данной работе, используя систему Maple [1-3], рассмотрен процесс аналитического решения одномерного неоднородного гиперболического уравнения:

д 2 u ( x, t )

9 д 2 u(x,t)       .    .

2           + f ( x ' )

С начальными условиями (задача Коши):

u (x,0) = y(x); ut (x,0) = ^(x).     (2)

Для большей наглядности решение представляется в графическом виде.

Уравнение (1), например, является математической моделью малых поперечных колебаний струны, представляющей собой не сопротивляющуюся изгибу натянутую нить. Кроме того, это уравнение описывает также малые продольные колебания упругого стержня.

Поиск аналитического решения

Зададим для (1) и (2) конкретные значения:

a = 2; f ( x , t ) = A sin ( a x + p t ) 3 e"^ + 10 x 3 + 2 x 2;

A = 10; a = 35; в = 95;

u ( x ,0 ) = ф ( x ) = 4 cos ( 49 x ) - 5 sin ( 47 x ) + 4 x 3 - 52 x 2 ;

ut (x, 0) = щ (x) = 4 • cos (3 • x) - 8 • x2 + 6 • x.

В этом случае (1) и (2) примут следующий вид:

5 2 u(x , Л     d 2 u(x , Л          ,

----v = 4----V + 10 sin ( 35 x + 95 t ) 3 e 4 t + 10 x 3 + 2 x2       (3) 5 t 2             5 x2

u (x, 0) = 4 • cos (49 • x) - 5 • sin (47 • x) + 4 • x3 - 52 • xx ut (x,0) = 4 • cos (3 • x)- 8 • x2 + 6 • x

Исходный текст на Maple для решения (3) с (4) может быть таким:

> restart

> with^ VectorCalculus) :

> with^inttrans) :

> with(PDEtools) :

> declare(u{x, t), v(x, t))

uLx, t) will now be displayed as и v(x, /) will now be displayed asv

> my_f{x, t) — A -sin3(ct-x + P?) -exp( -4V) + 10- x3 + 2-x2 :

> a := 2 : A — 10 : a — 35 : p ~ 95 :

> ftOx := 4-cos(49-x) — 5-sin(47x) + 4-x3 — 52-x2 :

> ft0xt — 4-cos(3-x) — 8-x2 + 6-x :

d2             7

> my PDF и ••= —yu^x, t) = a1 ■ Laplacian(u{x, t), [x]) + my f(x, t)

"            dr my PDF и •= и, = 4u +10 sin(35x + 95 f)3 e 4 ? + 10x3 + 2x2

> my_solve_u — pdsolve{my_PDF_u)

,                                        A -V4 X5 , 5700e“4zcos(35x + 95 /)

my_solve_u — u = _Fl{2t +x) + _F2(2t-x) - —--- — H-- 1-7^^1/101-------

24     о             1 /4о14о1

_ 61635e~4zsin(35x + 95 ?) _ 5700e~4fcos( 105x + 285/) 34922962                  1382276281

185545 e~4 zsin(l05 x + 285 Г)

> ^-Переход к однородному уравнению

> #v(x, Р = и(х, А — и

> #Выделяем частное решение и г          части

> ичастн-= add{ ор( i,op(nops(my_solve_u),my_solve_u}) , i = 3

..nopsiopi nops^my_solve_uy my_solve_u^ );

,= _ x4 _        5700e"4,cos(35x + 95 Q _ 61635e"4,sin(35x + 95Z)

ичастн — 24    8           17461481                   34922962

_ 5700 e~4zcos(105x + 285 Q 185545 e~4 zsin( 105x + 285/) 1382276281                   2764552562

> #Определяем начальные и граничные условия для v(x,t)

> vtOx — ft Ox — и

J        части t = 0

>

vtOxf — ftOxf —

d

— и d i части

t = 0

> my PDF v — —yv^x, Z) = a2 -Laplacian(v{x, t), [xl) : '                d/2

> my_solve_v — pdsolve^myPDF _v)

my_solve_v — v = _Fl(2t + x) + _F2\2t — x)

> #Ищем функции f= _F1 (x) и g =_F2(x) no формуле Даламбера

>            1

> my mt := ——

"            z-a vtOxf dr: 0

> Д1Д

'       2

+ myjnt

f — 2cos(49x)

75 sin(35x) cos( 105 х)

25 sin( 105 x) 315896

85622091605384

sin(3x)

3

35896       236922

506868411366075381

vtOx           . .

> g •—       my_mt

, .„ ,    5sin(47x) . 8х3

107x2

x4 ! x5 ! 3 cos(35x)

5                       2          3

4

48    16     381374

495 sin(35x) cos( 105x)

165 sin( 105x

)      85622091605384

1525496      10291722

sin(3x)

3

13722296

506868411366075381

> v — subs^x = x + a-t,f) + subs^x = x — a-t,g^

5 sin(47x) 4x3 _ 101 x2 x4 x5 _ 3 cos(35x)

2         3       4   + 48 + 16      8974

, = 2cos(98, + 49 ,) - ^i^M + 4(2, + x)3 _ 101 (2^+,)=

(2 Z + x)4    (2 Z + x)5    3 cos(70 Z + 35x) 75 sin(70z + 35 x)

48          16    "      8974              35896

cos(210z + 105x)

25 sin(210z + 105x)

sin(6z + 3x) , _    ,,

H---—------ + 2 cos(49 x - 98 Z)

5 sin(47x — 94 z) 8(x-2z)3 _ 107 (x-2z)2    (x-2z)4    (x-2z)5

2                 3               4              48            16

3 cos(35x — 70 z) _ 495 sin(35x — 70 z) _ cos( 105x — 210z)

381374             1525496            10291722

165 sin( 105x — 210z) sin(3x — 6z)

13722296      "      3

> #Возвращаемся к исходному решению

> ту solve и '■= v + и

7 —    —           части

,         х5 X4 , 5700e”4/cos(35x + 95/)    61635 e"4z sin(35x + 95 Л

-      8    24           17461481                   34922962

_ 5700 e 4'cos) 105x + 285/)     185545 e 4'sin( 105x + 285/) sin( -3x + 6 /)

1382276281                   2764552562                  3

+ 2 cos( -49 , + 98/) + Ssm(-47, + 94/) 3Cos(-35, + 70/) ’            2                  381374

495 sin( -35x + 70 t) cos( - 105x + 210 /)     165 sin( - 105x + 210/)

1525496      "     10291722     "       13722296

+ 2,05(98, + 49,) - Ss.n(94, + 47,) + 4(2/ + ,)’ _ 101(2^+,)’

(2 / + x)4    (2 / + x)5 _ 3cos(70/ + 35 x) 75 sin(70/ + 35 x)

48          16             897435896

cos(210/ + 105x)    25 sin(210/ + 105x) sin(6 / + 3x)    8 (x — 2/)3

236922      "       315896               33

_ 107 (x-2/)2 (x - 2 /)4    (x-2/)5

4              4816

  • >    ^Проверка решения

  • >    dtt_my_solve_u — simplify

    —— my solve и dr '


    dtt_my_solve_u —


    -416 + 96x — 64/—


    27930000 e"4 *cos(35 x + 95 /) 17461481

563933715 e"4' sin(35 x + 95 /)    251370000 e"4 f cos( 105 x + 285 /)

34922962                       1382276281

15093915905 e"4z sin( 105x + 285/) 2764552562

+ 2x~ + 10x3 + 8 Г + 120 /2х — 12 sin( - 3x

1050cos(-35x + 70 f) 27241

+ 6/) - 19208 cos(-49x + 98/) - 22090 sin(-47 x + 94 1) -

86625sin(-35x + 70/)    1050 cos(-105x + 210/)

54482                   245041

, 259875 sin( - 105x + 210/)                                                 ,

H-- 490082 ----------- 19208cos(98 / + 49x) + 22090 sin (94/ +47 x)

1050cos(70/ + 35x) _ 13125sin(70/ + 35x) _ 1050cos(210/ + 105x)

641                    1282                     5641

39375 sin(210 / + 105x)

12 sin(6/ + 3x)

d2

  • >    dxx_my_solve_u — ——my_solve_u dx2

,        ,                           6982500e"4,cos(35x + 95 О ахх ту solve и := -104 + 24 х — 16 t —---------тттттттт:---------

-       -                                17461481

75502875 e"4,sin(35x + 95 Q 62842500+4' cos( 105л- + 285Q

34922962                      1382276281

2045633625 е~4 ?sin( 105х + 285 Q

^-----3 sin( - 3 х + 6 О — 4802 cos(

11045 sin(-47x + 94Q _ 525 cos(-35х + 70 Q

2                    54482

86625 sin(-35x + 70Q    525cos(-105x + 210Q

217928                 490082

+ 259875 sm(-105x +210 0 _ 48Q2 cos(98 f + 49 x) + 11045 sin(94 / + 47x)

5 (2/+x)3    (2/+x)2    525 cos(70 / + 35x) _ 13125 sin(70/ + 35x)

4            4              1282                  5128

525cos(210? + 105x) 11282

39375 sin(210/ + 105x)

— 3 sin(6/ + 3x)

5 (x — 2 I)1 (x — 2 Q~

4     ~

> simplify(subs(t = 0, my_solve_u^)

4cos(49x) — 5 sin(47x) + 4x3 — 52x2

> simplify subs / = 0,

d ,

---my solve_u d t

4cos(3x) — 8x2 + 6x

> simplify^ dtt_my_solve_u

— a"-dxx_my_solve_u — myj\x, t))

>

plot3d\ my_solve_u,x=-

n

Л „ я

..---,/ = 0..—

32        8

Рисунок.

Заключение

В статье был продемонстрирован подход, который можно применять во время обучения методам и инструментарию ком- тической физики. Представленный исходный текст на Maple можно легко модифицировать, что способствует лучшему закреплению обучающимися предлагаемого пьютерного моделирования для аналити- материала.

ческого решения уравнений задач матема-

Список литературы Развитие у обучающихся навыков решения в аналитическом виде уравнений математической физики с применением Maple

  • Коробейников А.Г. Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE - СПб.: Cанкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2010. - 144 с. https://elibrary.ru/download/elibrary_26121333_69483773.pdf
  • Коробейников А.Г. Проектирование и исследование математических моделей в средах MATLAB и Maple. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. - 160 с. https://elibrary.ru/download/elibrary_26120684_34232766.pdf
  • Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. - СПб: НИУ ИТМО, 2014. - 100с. https://elibrary.ru/download/elibrary_26121279_54604165.pdf
  • Гришенцев А.Ю., Гурьянов А.В., Кузнецова О.В., Шукалов А.В., Коробейников А.Г. Математическое обеспечение в системах автоматизированного проектирования. - СПб: Университет ИТМО, 2017. - 88 с.
  • Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Разработка модели решения обратной задачи вертикального зондирования ионосферы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2011. - №2 (72). - С. 109-113.
  • Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю., Кутузов И.М., Пирожникова О.И., Соколов К.О., Литвинов Д.Ю. Разработка математической и имитационной моделей для расчета оценки защищенности объекта информатизации от несанкционированного физического проникновения // Кибернетика и программирование. - 2014. - № 5. - С. 14-25.
  • Коробейников А.Г., Федосовский М.Е., Алексанин С.А. Разработка автоматизированной процедуры для решения задачи восстановления смазанных цифровых изображений // Кибернетика и программирование. - 2016. - № 1. - С. 270-291.
  • Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г., Величко Е.Н., Непомнящая Э.К., Розов С.В. Синтез бинарных матриц для формирования сигналов широкополосной связи // Радиотехника. - 2015. - № 9. - С. 51-58.
Еще
Статья научная