Развитие у обучающихся навыков решения в аналитическом виде уравнений математической физики с применением Maple
Автор: Коробейников А.Г.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Педагогические науки
Статья в выпуске: 8-1 (35), 2019 года.
Бесплатный доступ
В данной работе на примере одномерного неоднородного гиперболического уравнения показаны основные шаги, позволяющие получить обучающимися аналитическое решение, используя систему Maple. Представленный в работе исходный код снабжен многочисленными комментариями, что позволяет достаточно легко производить его модификацию. В связи с этим у исходного уравнения можно изменять начальные и граничные условия, а также свободный член. А так как решение дополнительно представляется в графическом виде, то обучающиеся могут легко производить анализ на предмет влияния на решение начальных и граничных условий, а также свободного члена.
Математическая физика, гиперболическое уравнение, однородное уравнение, неоднородное уравнение, формула даламбера, обучение
Короткий адрес: https://sciup.org/170186582
IDR: 170186582 | DOI: 10.24411/2500-1000-2019-11461
Текст научной статьи Развитие у обучающихся навыков решения в аналитическом виде уравнений математической физики с применением Maple
В настоящее время теоретические положения и практические методы математической физики применяют фактически во всех областях человеческой деятельности – охрана окружающей среды, геофизика, гидродинамика, электродинамика, акустика, социология, медицина, теория упругости и др. Кроме того, интенсивное развитие методов и средств математического и компьютерного моделирования позволило сделать процесс решения задач математической физики более эффективным. Поэтому обучение владением методами и инструментарием компьютерного моделирования для решения уравнений в частных производных является крайне важным. Инструментарием компьютерного моделирования служат различные программные системы – MATLAB, Maple и др. [14]. При их помощи можно решать различные задачи [4-8].
Постановка задачи
В данной работе, используя систему Maple [1-3], рассмотрен процесс аналитического решения одномерного неоднородного гиперболического уравнения:
д 2 u ( x, t )
9 д 2 u(x,t) . .
2 + f ( x • ' )
С начальными условиями (задача Коши):
u (x,0) = y(x); ut (x,0) = ^(x). (2)
Для большей наглядности решение представляется в графическом виде.
Уравнение (1), например, является математической моделью малых поперечных колебаний струны, представляющей собой не сопротивляющуюся изгибу натянутую нить. Кроме того, это уравнение описывает также малые продольные колебания упругого стержня.
Поиск аналитического решения
Зададим для (1) и (2) конкретные значения:
a = 2; f ( x , t ) = A • sin ( a x + p t ) 3 • e"^ + 10 • x 3 + 2 • x 2;
A = 10; a = 35; в = 95;
u ( x ,0 ) = ф ( x ) = 4 • cos ( 49 • x ) - 5 • sin ( 47 • x ) + 4 • x 3 - 52 • x 2 ;
ut (x, 0) = щ (x) = 4 • cos (3 • x) - 8 • x2 + 6 • x.
В этом случае (1) и (2) примут следующий вид:
5 2 u(x , Л d 2 u(x , Л ,
----v = 4----V + 10 • sin ( 35 x + 95 t ) 3 • e 4 t + 10 • x 3 + 2 • x2 (3) 5 t 2 5 x2
u (x, 0) = 4 • cos (49 • x) - 5 • sin (47 • x) + 4 • x3 - 52 • xx ut (x,0) = 4 • cos (3 • x)- 8 • x2 + 6 • x
Исходный текст на Maple для решения (3) с (4) может быть таким:
> restart
> with^ VectorCalculus) :
> with^inttrans) :
> with(PDEtools) :
> declare(u{x, t), v(x, t))
uLx, t) will now be displayed as и v(x, /) will now be displayed asv
> my_f{x, t) — A -sin3(ct-x + P?) -exp( -4V) + 10- x3 + 2-x2 :
> a := 2 : A — 10 : a — 35 : p ~ 95 :
> ftOx := 4-cos(49-x) — 5-sin(47x) + 4-x3 — 52-x2 :
> ft0xt — 4-cos(3-x) — 8-x2 + 6-x :
d2 7
> my PDF и ••= —yu^x, t) = a1 ■ Laplacian(u{x, t), [x]) + my f(x, t)
" dr my PDF и •= и, = 4u +10 sin(35x + 95 f)3 e 4 ? + 10x3 + 2x2
> my_solve_u — pdsolve{my_PDF_u)
, A -V4 X5 , 5700e“4zcos(35x + 95 /)
my_solve_u — u = _Fl{2t +x) + _F2(2t-x) - —--- — H-- 1-7^^1/101-------
24 о 1 /4о14о1
_ 61635e~4zsin(35x + 95 ?) _ 5700e~4fcos( 105x + 285/) 34922962 1382276281
185545 e~4 zsin(l05 x + 285 Г)
> ^-Переход к однородному уравнению
> #v(x, Р = и(х, А — и
> #Выделяем частное решение и г части
> ичастн-= add{ ор( i,op(nops(my_solve_u),my_solve_u}) , i = 3
..nopsiopi nops^my_solve_uy my_solve_u^ );
,= _ x4 _ 5700e"4,cos(35x + 95 Q _ 61635e"4,sin(35x + 95Z)
ичастн — 24 8 17461481 34922962
_ 5700 e~4zcos(105x + 285 Q 185545 e~4 zsin( 105x + 285/) 1382276281 2764552562
> #Определяем начальные и граничные условия для v(x,t)
> vtOx — ft Ox — и
J части t = 0
>
vtOxf — ftOxf —
d
— и d i части
t = 0
> my PDF v — —yv^x, Z) = a2 -Laplacian(v{x, t), [xl) : ' d/2
> my_solve_v — pdsolve^myPDF _v)
my_solve_v — v = _Fl(2t + x) + _F2\2t — x)
> #Ищем функции f= _F1 (x) и g =_F2(x) no формуле Даламбера
> 1
> my mt := ——
" z-a vtOxf dr: 0
> Д1Д
' 2
+ myjnt
f — 2cos(49x)
75 sin(35x) cos( 105 х) |
25 sin( 105 x) 315896 |
85622091605384 |
sin(3x) 3 |
35896 236922 |
506868411366075381 |
||
vtOx . . > g •— my_mt |
|||
, .„ , 5sin(47x) . 8х3 |
107x2 |
x4 ! x5 ! 3 cos(35x) |
|
5 2 3 |
4 |
48 16 381374 |
|
495 sin(35x) cos( 105x) |
165 sin( 105x |
) 85622091605384 |
|
1525496 10291722 sin(3x) 3 |
13722296 |
506868411366075381 |
> v — subs^x = x + a-t,f) + subs^x = x — a-t,g^
5 sin(47x) 4x3 _ 101 x2 x4 x5 _ 3 cos(35x)
2 3 4 + 48 + 16 8974
, = 2cos(98, + 49 ,) - ^i^M + 4(2, + x)3 _ 101 (2^+,)=
(2 Z + x)4 (2 Z + x)5 3 cos(70 Z + 35x) 75 sin(70z + 35 x)
48 16 " 8974 35896
cos(210z + 105x)
25 sin(210z + 105x)
sin(6z + 3x) , _ ,,
H---—------ + 2 cos(49 x - 98 Z)
5 sin(47x — 94 z) 8(x-2z)3 _ 107 (x-2z)2 (x-2z)4 (x-2z)5
2 3 4 48 16
3 cos(35x — 70 z) _ 495 sin(35x — 70 z) _ cos( 105x — 210z)
381374 1525496 10291722
165 sin( 105x — 210z) sin(3x — 6z)
13722296 " 3
> #Возвращаемся к исходному решению
> ту solve и '■= v + и
7 — — части
, х5 X4 , 5700e”4/cos(35x + 95/) 61635 e"4z sin(35x + 95 Л
- 8 24 17461481 34922962
_ 5700 e 4'cos) 105x + 285/) 185545 e 4'sin( 105x + 285/) sin( -3x + 6 /)
1382276281 2764552562 3
+ 2 cos( -49 , + 98/) + Ssm(-47, + 94/) 3Cos(-35, + 70/) ’ 2 381374
495 sin( -35x + 70 t) cos( - 105x + 210 /) 165 sin( - 105x + 210/)
1525496 " 10291722 " 13722296
+ 2,05(98, + 49,) - Ss.n(94, + 47,) + 4(2/ + ,)’ _ 101(2^+,)’
(2 / + x)4 (2 / + x)5 _ 3cos(70/ + 35 x) 75 sin(70/ + 35 x)
48 16 897435896
cos(210/ + 105x) 25 sin(210/ + 105x) sin(6 / + 3x) 8 (x — 2/)3
236922 " 315896 33
_ 107 (x-2/)2 (x - 2 /)4 (x-2/)5
4 4816
-
> ^Проверка решения
-
> dtt_my_solve_u — simplify
—— my solve и dr '
dtt_my_solve_u —
-416 + 96x — 64/—
27930000 e"4 *cos(35 x + 95 /) 17461481
563933715 e"4' sin(35 x + 95 /) 251370000 e"4 f cos( 105 x + 285 /)
34922962 1382276281
15093915905 e"4z sin( 105x + 285/) 2764552562
+ 2x~ + 10x3 + 8 Г + 120 /2х — 12 sin( - 3x
1050cos(-35x + 70 f) 27241
+ 6/) - 19208 cos(-49x + 98/) - 22090 sin(-47 x + 94 1) -
86625sin(-35x + 70/) 1050 cos(-105x + 210/)
54482 245041
, 259875 sin( - 105x + 210/) ,
H-- 490082 ----------- 19208cos(98 / + 49x) + 22090 sin (94/ +47 x)
1050cos(70/ + 35x) _ 13125sin(70/ + 35x) _ 1050cos(210/ + 105x)
641 1282 5641
39375 sin(210 / + 105x)
12 sin(6/ + 3x)
d2
-
> dxx_my_solve_u — ——my_solve_u dx2
, , 6982500e"4,cos(35x + 95 О ахх ту solve и := -104 + 24 х — 16 t —---------тттттттт:---------
- - 17461481
75502875 e"4,sin(35x + 95 Q 62842500+4' cos( 105л- + 285Q
34922962 1382276281
2045633625 е~4 ?sin( 105х + 285 Q
^-----3 sin( - 3 х + 6 О — 4802 cos(
11045 sin(-47x + 94Q _ 525 cos(-35х + 70 Q
2 54482
86625 sin(-35x + 70Q 525cos(-105x + 210Q
217928 490082
+ 259875 sm(-105x +210 0 _ 48Q2 cos(98 f + 49 x) + 11045 sin(94 / + 47x)
5 (2/+x)3 (2/+x)2 525 cos(70 / + 35x) _ 13125 sin(70/ + 35x)
4 4 1282 5128
525cos(210? + 105x) 11282
39375 sin(210/ + 105x)
— 3 sin(6/ + 3x)
5 (x — 2 I)1 (x — 2 Q~
4 ~
> simplify(subs(t = 0, my_solve_u^)
4cos(49x) — 5 sin(47x) + 4x3 — 52x2
> simplify subs / = 0,
d ,
---my solve_u d t
4cos(3x) — 8x2 + 6x
> simplify^ dtt_my_solve_u
— a"-dxx_my_solve_u — myj\x, t))
>
plot3d\ my_solve_u,x=-
n
Л „ я
..---,/ = 0..—
32 8

Рисунок.
Заключение
В статье был продемонстрирован подход, который можно применять во время обучения методам и инструментарию ком- тической физики. Представленный исходный текст на Maple можно легко модифицировать, что способствует лучшему закреплению обучающимися предлагаемого пьютерного моделирования для аналити- материала.
ческого решения уравнений задач матема-
Список литературы Развитие у обучающихся навыков решения в аналитическом виде уравнений математической физики с применением Maple
- Коробейников А.Г. Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE - СПб.: Cанкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2010. - 144 с. https://elibrary.ru/download/elibrary_26121333_69483773.pdf
- Коробейников А.Г. Проектирование и исследование математических моделей в средах MATLAB и Maple. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. - 160 с. https://elibrary.ru/download/elibrary_26120684_34232766.pdf
- Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. - СПб: НИУ ИТМО, 2014. - 100с. https://elibrary.ru/download/elibrary_26121279_54604165.pdf
- Гришенцев А.Ю., Гурьянов А.В., Кузнецова О.В., Шукалов А.В., Коробейников А.Г. Математическое обеспечение в системах автоматизированного проектирования. - СПб: Университет ИТМО, 2017. - 88 с.
- Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Разработка модели решения обратной задачи вертикального зондирования ионосферы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2011. - №2 (72). - С. 109-113.
- Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю., Кутузов И.М., Пирожникова О.И., Соколов К.О., Литвинов Д.Ю. Разработка математической и имитационной моделей для расчета оценки защищенности объекта информатизации от несанкционированного физического проникновения // Кибернетика и программирование. - 2014. - № 5. - С. 14-25.
- Коробейников А.Г., Федосовский М.Е., Алексанин С.А. Разработка автоматизированной процедуры для решения задачи восстановления смазанных цифровых изображений // Кибернетика и программирование. - 2016. - № 1. - С. 270-291.
- Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г., Величко Е.Н., Непомнящая Э.К., Розов С.В. Синтез бинарных матриц для формирования сигналов широкополосной связи // Радиотехника. - 2015. - № 9. - С. 51-58.