Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов
Автор: Шапеев Василий Павлович, Брындин Лука Сергеевич, Беляев Василий Алексеевич
Рубрика: Программирование
Статья в выпуске: 3 т.12, 2019 года.
Бесплатный доступ
В данной работе рассматривается новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) для численного решения краевых задач для эллиптических уравнений в полигональных областях, в том числе в многосвязных. Возможности этого варианта и численные эксперименты рассмотрены на примерах решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной упругой тонкой пластинки полигональной формы, находящейся под действием поперечной нагрузки. Новый вариант метода КНК основан на триангуляции исходной области, чем принципиально отличается от предложенных ранее более сложных вариантов метода КНК решения краевых задач для уравнений с частными производными (УЧП) в нерегулярных областях. Установлено, что приближенные решения рассмотренных задач на последовательности измельчающихся сеток сходятся с повышением порядка и с высокой точностью совпадают с тестовыми решениями.
Метод коллокации и наименьших квадратов, полигональная многосвязная область, уравнение пуассона, неоднородное бигармоническое уравнение, напряженно-деформированное состояние
Короткий адрес: https://sciup.org/147232953
IDR: 147232953 | УДК: 519.632.4+519.635.1 | DOI: 10.14529/mmp190312
Solving elliptic equations in polygonal domains by the least squares collocation method
The paper considers a new version of the least squares collocation (LSC) method for the numerical solution of boundary value problems for elliptic equations in polygonal domains, in particular, in multiply connected domains. The implementation of this approach and numerical experiments are performed on the examples of the inhomogeneous biharmonic and Poisson equations. As an application, we use the nonhomogeneous biharmonic equation to simulate the stress-strain state of isotropic elastic thin plate of polygonal form under the action of transverse load. The new version of the LSC method is based on the triangulation of the original domain. Therefore, this approach is fundamentally different from the previous more complicated versions of the LSC method proposed to solve the boundary value problems for partial derivative equations in irregular domains. We make the numerical experiments on the convergence of the approximate solution to various problems on a sequence of grids. The experiments show that the solution to the problems converges with high order and, in the case of the known analytical solution, matches with high accuracy with the analytical solution to the test problems.
Список литературы Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов
- Guo Chen. A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and Its Application to an Incompressible Stokes Flow / Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin // Advances in Computational Mathematics. - 2008. - V. 29, № 2. - P. 113-133.
- Шапеев, В.П. Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В.П. Шапеев, В.А. Беляев // Вычислительные методы и программирование. - 2018. - Т. 19, № 4. - С. 340-355.
- Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Физматгиз, 1963.
- Шапеев, В.П. Решение краевых задач для уравнений с частными производными в треугольных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В.П. Шапеев, В.А. Беляев // Вычислительные методы и программирование. - 2018. - Т. 19, № 1. - С. 96-111.
- Сорокин, С.Б. Переобусловливание при численном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения / С.Б. Сорокин // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2011. - Т. 14, № 2. - С. 205-213.
- Шапеев, В.П. Варианты метода коллокации и наименьших невязок повышенной точности в области с криволинейной границей / В.П. Шапеев, В.А. Беляев // Вычислительные технологии. - 2016. - Т. 21, № 5. - С. 95-110.
- Беляев, В.А. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в трапециевидных областях / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2017. - Т. 22, № 4. - С. 22-42.
- Беляев, В.А. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в выпуклых четырехугольных областях / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Моделирование и анализ информационных систем. - 2017. - Т. 24, № 5. - С. 629-648.
- Беляев, В.А. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом коллокации и наименьших квадратов в области с дискретно заданной границей / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2018. - Т. 23, № 3. - С. 15-30.
- Федоренко, Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса / Р.П. Федоренко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1964. - Т. 4, № 3. - С. 559-564.
- Saad, Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems / Y. Saad. - Manchester: Manchester University Press, 1991.
- Голушко, С.К. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин / С.К. Голушко, С.В. Идимешев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2013. - Т. 18, № 6. - С. 31-43.
