Решение краевых задач дифференциальных уравнений запаздывающего типа

В монографии [2] рассматривались начальные задачи для линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Проведены исследования возможностей преобразования начальных задач с помощью функции гибкой структуры к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. Доказано, что задачи Коши для всех дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом, решение которых существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций входящих в уравнения. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и варианты приближённого решения, если точное решение найти затруднительно.

В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа.

Постановка краевой задачи для дифференциальных уравнений запаздывающего типа

Выпишем общий вид уравнений запаздывающего типа l n -1

y ⁽ n ) ( x ) + EE ^f, ⁽ x ) y ⁽ i )⁽ u j ⁽ x )) = ^{f (} x )                 ⁽¹ )

,/ = 0 i = 0

где  u0(x) = x, u, (x) < x, u, (x) ^ x, j = 1, l, f, (x), f (x)  и  u, (x)  не прерывны, ядра Ki, (x, n ) регулярны в квадрате a < x, n < b.

с начальными функциями

У ⁽ ‘ ⁾⁽ u , ^{( x} )) = У ⁽ ‘ ^{)( x} 0 Ш u , ^{( x} )), i = ⁰ , n ^{- 1 x е} E x ₀ ,    ⁽²⁾

l где Exo = ^jEx , Ex — множество точек, для которых соответствующие /=0

u , ( x )< x при x > x ₀ V / = 1, l , а Е 0 = [ a , x ₀], функции ф _i( x ) заданы и

Ф , (x 0 ) = 1,     V i = 0, n - 1.

Рассмотрим уравнение (1) с линейными билокальными краевыми условиями

Е [ а , т У ⁽ i ) ( x 0 ) + P_iT У ⁽ i ) ( x 1 )] = Y _T , т =0, n - 1, a <  x 0 <  x 1 < b .     (3)

I = 0

Преобразование краевой задачи к уравнению с обыкновенным аргументом

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, решение на отрезке x е [ x ₀, b ] будем искать, применив для преобразований новую модификацию функции гибкой структуры, полученную для решения краевых задач в работе [3]

- D ^-

n y (i)(u,( x)) = D-1{E s =1

^d i A s ^{( u}/ ^{( x} ) ^{- x} 0 ) ∂ xⁱ

E ^ s r [ Yt t = 0 to

-

n - 1         ^x 1

⋅∑βkτ∫

k=0     r x0

d k A _n ( x 1 - 1 ) d x 1 ^k

^u / ⁽ x )

-^( t) dt ] + j x0

d n A _H ( u , ( x ) - 1 ) ∂ xⁿ

-^ ( t ) dt } +

+ Y , u ‘ i ( x ) ^ ( u , ( x )),

где i = 0, n , Y n = 1, Y i = 0 V i = 0, n - 1. j = 0, l , x е [ c , , b ].

D = D(r1,r2,K,rn)определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2, , rn. Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель As(x -1), s = 1, n получается из определителя D заменой s-ой строки стро- кой expr1(x-t),exp r2(x-t),..., exprn(x-t) и ц(x) - новая неизвестная функция.

При этом начальные функции примут вид

П - 1     ^x 1 д k X ( x - t )

У ⁽¹⁾№ )) = ф^ х)) £^ [ _Ут - D В ^e k T j     , x     ^ t ) dt ], ( ⁴ *)

т=0 to                       xо i = 0, n -1, j = 0, l, x e Er . ,              j        j j            xо

Подставим формулы функции гибкой структуры и ее производных (4*), полученные для краевой задачи в работе [3] в уравнение (1). Затем, перенесём все известные получившиеся при этом выражения в правую часть равенства и под знаками интегралов для известных выражений введя обозначения получим разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом д< x)+i

J = 0

x ,                                     uj ^{( x} )

j G_J ( x , t ) ^ ( t ) dt + X j H_J ( x , t ) ^ ( t ) dt ] = F ( x ),

^x 0                                ^x 0

где для ядер G_J ( x , t ) , H_J ( x , t ) и функции F ( x ) получены определённые формулы.

Пример 1. Найдём решение краевой задачи f . х х2                х

Ь ‘ ( x ) + xy (^) = 1 + у, y ( x ) = у (0)у, 3 у (0) + у (1) = 1.

Решение. В данной краевой задаче x 0 = 0, x 1 = 1, u 0 ( x ) = x ,

U i ( x ) = x , c ₀ = 0, c 1 = 0 и E x = [ 0 ] . Выпишем функцию гибкой структуры по формулам (4) учитывая условия краевой задачи

у ^{( x} ) =

rx            rx erx       erx

x

3 + e

rx и у (x) = -ei-Л 27 3 + er

3 + er rx e2

j e r ⁽¹ - t ) д ( t ) dt + j e r ⁽ x - t ) ^ ( t ) dt

3 + e^r

x

^{1                     2} r ( x - 1 )

j e^{r (1} ) ^ ( t ) dt + j e ² ^ ( t ) dt .

С целью сокращения объёма выкладок положим r = 0, тогда выражения функции гибкой структуры упростятся

x

11 1         x            X   1  1 1        2

у ( x ) =--- j M (t ) dt + j М (t ) dt и у ф =--- j м (t ) dt + j ц (t ) dt .

4  40         0             2   4  40         0

Вычислив y ' ( x ) = ц (x ) и подставив полученные выражения для данной краевой задачи в исходное уравнение получим разрешающее уравнение

x x1             2              x x2

^ ( x )—J ^ (t ) dt + x J ^ (t ) dt = 1 —

4 00    4

Решение этого интегрального уравнения будет ц (x ) = 1 . Подставив это значение ^ ( x ) в функцию гибкой структуры краевой задачи найдём её решение y = x . Нетрудно проверить, что все условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются работы которые затрагивают некоторые вопросы решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, но мало работ которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевых задач дифференциальных уравнений запаздывающего типа и для них этот вопрос решён положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов скорее всего такое преобразование возможно только для некоторых видов уравнений. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение её точного или приближённого решений за счёт оптимального выбора параметров функции гибкой структуры.