Решение краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде

В работах [4-7] рассматривались краевые задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Определение типов в этих работах осуществлялось в соответствии с классификацией, приведенной в работе [1].

Общий вид таких уравнений можно записать в виде ln

b

n

EE f J ( x ) y^(u^U J ⁽ x » + ² f K J ⁽ x , n ) y ^<0( U j ⁽ n )) d n = f ⁽ x ),

J = 0 i = 0

где u ^ ( x) = x, u j ( x ) < x ^ J = 1, l , функции f j ( x ), u j ( x ), и f ( x ) - непрерывны, ядра K j ( x , n ) — регулярны в квадрате a <  x , n <  b , с линейными краевыми условиями для уравнений вида (1)

n -1                                                  _________

E [ « i ^ y⁽ i ^{)( x} 0 ) ^{+ в} т У⁽ i ⁾⁽ x 1^)] = Y t , ^T = 0, n - 1, a < ^x 0 < b , i =0

с начальными функциями

У^{(1 )(} u ^{( x} )) = У'^{1 )(} x, W u ^{( x} )) где x e E_x0, i = 0, n ^- 1,          (3)

где u ₀ ( x ) ^ x , u j ( x ) <  x ; функции u j ( x ), f j ( x ) е f ( x ) - непрерывны, ядра l

K j ( x ) — регулярны в квадрате a <  x , n <  b , E x = U E j , E j — множество j = 0

значений u j ( x ) <  x при x > x ₀, V j = 1, l , E® = [ a , x ₀ ], функции ф_i ( x ) - заданы и ф , (x ₀) = 1, Vi = 0, n - 1.

Используя одну из модификаций функции гибкой структуры [2; 3], было показано, что задача (1)-(3) для уравнений запаздывающего типа всегда сводится к разрешающему интегральному уравнению смешанного вида Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. Для уравнений нейтрального и опережающего типов получены условия, при которых такое преобразование возможно. Далее в работе [6] показано, что все разрешающие уравнения рассмотренных краевых задач приводятся к одному виду смешанных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма

*)-у

j = 0

v_j ( x )                                    u_j ( b )

J Oj (z, t)^(t)dt+X j Gj (z, t)^(t)dt x0                                x0

= F ( z ),

где z = x для уравнений запаздывающего типа и z = u l ( x ) для уравнений нейтрального и опережающего типов.

Так как в разрешающее уравнение (4) вошли n параметров r i , i = 1, n , то можно попытаться за счет их выбора оптимизировать дальнейшее решение задачи и, во-первых, попытаться найти решение в замкнутом виде, а если это затруднительно, то перейти к ее приближенному решению.

Постановка задачи и ее решение

Исследование возможностей решения начальных задач в замкнутом виде проведем, опираясь на результаты работ [4-6] .

Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении (4) параметры Г , i = 1, n , можно определить так, что F ( z ) = 0. Тогда решение однородного уравнения (4) будет ц(z ) = 0 (в силу единственности решения при выполнении условий ограниченности функций |ф j ( z , t )| <  Q 1 j , V j = 0, l в заданном квадрате u l ( x ₀) <  z <  u l ( b )), и решение первоначально поставленной задачи найдется по формуле (9) работы [4] при значении i = 0

n                n - 1 _т

У ^{( z} ) = D "1 Ё ^А . ^{( z - x A}E —Tt .,          (5)

s=1                 т = 0 to где определители D, As (z — x0), вычисляются по формулам для функции гибкой структуры (4) в работе [4], ω по формуле (6) этой же работы, а ωsτ – алгебраические дополнения к его элементам.

Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры r i , i = 1, n , таковы, что Ф j ( z , t ) = 0, G j ( z , t ) = 0 V j = 0, l . Тогда решение уравнения (4) будет ц(z ) = F ( z ) и, соответственно, по формуле для функции гибкой структуры (9) работы [4], определятся решения краевых задач

{ n                n — 1                    n — 1

Ea.(z — X0)E~Y — D"‘EAt ■ s=1             т=0 —            к=0

J ^d \' x t ) F ( t ) dt ] + z A n ( z — t ) F ( t ) dt } + F ( z ). (6) 0 ^d X x ₀

Если за счет выбора параметров выполнить условия F ( z ) = 0 или O j ( z , t ) = 0 и G j ( z , t ) = 0 V j = 0, l не удается, то можно попытаться при G j ( z , t ) * 0 сделать O j ( z , t ) = 0. В этом случае разрешающее уравнение будет интегральным уравнением Фредгольма, и к нему применимы все известные методы решения в замкнутом виде интегральных уравнений Фредгольма (например, метод для вырожденных ядер).

Если же за счет выбора параметров удается сделать G j ( z , t ) ^ 0 при O j ( z , t ) ^ 0 V j = 0, l , тогда получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра, для которого также в некоторых случаях известны возможные варианты решения в замкнутом виде.

Следует также заметить, что для некоторых частных видов разрешающих уравнений какие-то из выше перечисленных условий могут выполняться автоматически.

Пример. Рассмотрим краевую задачу

у"(x) + 2 у,(x) — у'

( X )

12 J

— j у ,(n ) dn = 0,

у(0) + у’(1) = 0, 2у’(0) — у’(1) = 1.

Решение. Так как начальное множество состоит из одной точки, то краевая задача в этом случае ставится также, как и для уравнений с обык- новенным аргументом, без задания начальных функций, следовательно Eо = E0 U E1 = [0].

Воспользовавшись формулами функций гибкой структуры (9) работы [4] при n=2, x0=0 и положив r1=0 для искомой функции и ее производных, найдем r2x             x

- 1 ] ц( t ) dt ,

y(x)=y(0)+y '(0) e—+-J[e'-tt r2      r2 0

x

y'(x)=y '(0) erx + j erx- t) ^( t) dt,

y'(x) = y '(0) r2 erx + r2 jex- t) M( t) dt + м( X).

Откуда получим r2                    1

y(1) = y(0) + y'(0)------+ - J[. rt) -1] Д(t)dt, r2      r2 0

y '(1) = y '(0) er2 + j err(1- t) ^( t) dt. 0

Подставив полученные выражения для y(1), y'(1) в краевые условия, определим er2 + 2j er t) ^(t)

2 e r

1 + j er2(1-t) ^(t) dt

.

y '(0) =   0O r-----, y (0) = 1 - 2 y '(0) = -

2 - e2

Затем полученные выражения для y (0), y ' (0) подставим в формулы для искомой функции и ее производных, а последние – в заданные уравнения, тогда придем к разрешающему уравнению

x r2x      r2 2 1                                     x

^(x) +(r2 + 2)e r e   [er2(1-t)^(t)dt + (2 + r2)[er2

e0                             0

-j er ^²- t^ ^( t) dt =

er -1 - r₂²er^x- 2 r₂ er^x + r₂ er²

= F^(x).

Г2(2 - er2)

Теперь за счет выбора параметра r2 минимизируем функцию F(x), минимум которой достигается при r2=0, т. к.

lim F (x) = lim r₂'0             r ⁿ

^r2 '0 2

—

^e lim er r2 '0

r

2—

1 — r₂²erx

—

x r₂

2 r₂ er^x + r₂ e²

r₂

e

= lim— ^r2 '0

r₂

—1 -- —

г

r₂       r₂'0

lim r₂e

rx rx

•²+ 2 e²

—

x r₂

e²

= 1 — 2 +1 = 0.

к

Следовательно, при r₂ =0 разрешающее уравнение однородное, и его решение д(x) = 0, тогда решение поставленной краевой задачи будет

У^(x) =

er2

2 — er²

er^x — 1

+ r₂(2 — er²)

= lim r '0

Г er²x — 1 — r2 e^r2 к r2(2 — er²)

= x — 1.

Нетрудно проверить, что функция y(x) = x — 1 удовлетворяет всем условиям поставленной краевой задачи.