Решение многомерного уравнения модели безынфляционости экономики

Модель безынфляционного состояния экономики и производства инфляции описана в работах [3], [4], поэтому для ознакомления с этой моделью рекомендуется обратиться к указанным источникам.

Основное уравнение модели (основное логистическое уравнение), соответствующее стационарному (безынфляционному) обороту общественно необходимого времени таково¹: х = 1 - х^х .              (1)

При инфляционных процессах коэффициент β обесценивания денежной массы относительно общественно необходимого времени (ОНВ) вводится в уравнение (это коэффициент инфляции):

х = 1 ⋅ β - х^х .              (2)

От описанного выше уравнения (2) легко перейти к матричному виду:

X = β ⋅ E - Х^X ,          (3)

где матрица E – диагональная единичная матрица, X – матрица групп потребностей (соответствует высвобождаемому в отраслях общественно необходимому времени), β – коэффи-

циент инфляции (о свойстве этого уравнения см. [6]). При этом общественно необходимое время каждой отрасли (а они в безынфляционном случае при агрегировании примерно равны по трудозатратам, см. табл. 1) принимается за единицу, что соответствует диагональным единичным элементам матрицы Е ². .

Ввиду невозможности непосредственного использования операции Х^Х в матричном виде, формула (4) представима следующим образом:

X = β ⋅ E - e ^{X ln( X )} , (4) что соответствует исходному. Уже в таком виде заданная задача решения уравнения представляется вполне выполнимой.

Для вычисления функций от матриц применимы формулы матричной алгебры [1]:

Ошибка! , (5)

Ошибка! , (6)

где | λ s – 1| < 1, λ k – собственные числа матрицы Х, k = 1, 2, 3…

Как видно из дальнейшего (см. (8)), условие (6), накладываемое на собственные числа матрицы А, ввиду того что её элементы и суммы её строк (столбцов) по модулю меньше 1, в окрестности решения (соответствующего безынфляционности) выполнимо.

Используя вышеприведенные формулы (5) для матричной экспоненты и (6) для матричного логарифма для вычисления решения организуется итерационный процесс:

X n + 1 = в • E - e X ln( X n ) . (7)

В качестве условия сходимости берётся сходимость по норме

.              (8)

Эвклидова норма выр ажается фо рмулой

II л||=Д£М i j           .                 (9)

Таким образом, организуя цикл, вычислим значения решения ОЛУ в многомерном виде. Для простоты сравнений с одномерным

вариантом модели в рассматриваемом случае β = 1.

Результат приближённых вычислений для размерности 3 (соответствующей 3-мерному агрегированию, см. таблицу) и ε = 0,0001 таков:

' 0.303656

x= 1.70616x10-*

1.70616x10-*

1.70616x10-*

0.303656

1.70616x10-*

1.70616x10-*'

1.70616x10-*

Структура системы ценностей (отраслей хозяйства, потребностей)

• 1.    Сельское хозяйство (снабжен.

• 2.    Водоснабжение, гигиена.

• 3.    Деревообработка, мебелеснабжение.

• 4.    Одеждоснабже-ние.

• 5.    Жилищеустройст во, промышленность.

• 6.    Родовспоможени е, медицина.

• 7.    Воспитание.

• 8.    Образование.

• 9.    Наука.

• 10.    Управление.

едой).

ной обобщённой (одноотраслевой) модели экономики страны при безынфляционности является более простым, чем рассмотрение многомерной модели. (Другое дело, если в экономике наблюдаются диспропорции отраслей, связанные с инфляционными процессами, как это отмечено в [2].)