Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне

При исследовании колебаний упругих систем возникает необходимость учитывать начальные условия – положение и скорости точек системы в начальный момент времени. Это, во-первых, дает возможность получить выражения для положений и скоростей точек системы в любой момент времени, во-вторых – решать задачи, связанные с ударным воздействием на систему различных внешних возмущений. При учете начальных условий и условий закрепления на краях систем расчет их колебаний называется начально-краевой задачей.

В случае стержней с различными типами закреплений на концах при рассмотрении как продольных, так и поперечных колебаний, начальнокраевая задача решается методом Фурье, используя ортогональность сис- темы тригонометрических функций. При учете точечной массы или пружины, закрепленной на свободном конце стержня, задача решена методом Фурье, но условие ортогональности сложнее, здесь не используется ортогональность системы тригонометрических функций [1].

В данной работе решается начально-краевая задача для системы: упругий стержень с неподвижными краями с установленным на нем в произвольном месте осциллятором в виде твердого тела на пружине. Получено условие ортогональности, использующее вид амплитудных уравнений и собственных функций задачи на собственные частоты. Затем производится разложение поперечных смещений точек стержня и смещения твердого тела в ряд по собственным функциям с коэффициентами в виде гармонических функций с неизвестными амплитудами и гармоническими функциями с теми же амплитудами, но неизвестным множителем. После подстановки указанных смещений в уравнения движения системы и интегрировании по длине стержня (с использованием найденного условия ортогональности) находятся неизвестные амплитуды и множители.

• 1.    Разложение в ряд по собственным формам

Решение начально-краевой задачи dz 2

• -t^ + p ( z - u ( a , t )) = 0

d ² u    d ⁴ u

• -T+ ^{+ b} —p = e ⁽ z ^{- u (} x, t )) 5⁽ x ^- a ) d t      d x

d u (x, 0) = /1 (x), —u (x, 0) = f, (x) dt

dz

z(0) = zo, -- (0) = ztо dt u (0, t) = 0, u (l, t) = 0

| u (0, t ) = 0, | u ( l , t ) = 0

dx         dx будем искать в виде рядов z (t)=E AM t)

u ⁽ x , t ) = Z ^{ф (} t ) V ⁽ x )

Подставляя в (11) , получим

Z A, -^ ф , ( t ) + p ² ( Z Аф, ( t ) - Z ф , ( t ) V i ( a )) = 0 i         ^д t                           i                      i

Z^ ф ( t ) V ( x ) + b Z Ф_l(tt ) V ( x ) = , д t                           д x

= e ⁽ Z ^{А ф (} t ) - Z ^{ф (} t ) V ^{( x} )) ^{5 ( x —} a )

Отсюда для i- ой составляющей этой системы получим ²

А^Г ф^ t ) + p ²( A — Vi ( a )) ф ( t ) = 0 д t

—ф ( t ) V ( x ) + Ьф ( t )— V ( x ) =                     (14)

о t                    о x

= e Ф , ( t ) ( A i — V i ( x )) 5 ( x — a )

Разделив первое и второе уравнения системы (14) на ф ( t ) Ф 0, получим

^2Т Ф ( t )

^dL— A_l + Р ²( A — V i ( a )) = 0

φ ( t )

д1

цфУУУ

φ ( t )

д2 . ..

₂ φ ( t )

Положив ^t φ ( t )

.

V ( x ) + b — V ( x ) = e ( A i — V ( x )) 3(x — a ) d x

— to ²,получим, что каждая составляющая рядов

(12-13) изменяется со временем по гармоническому закону с собственной частотой ω , постоянной амплитудой для твердого тела и переменной амплитудой V ( x ) для точек стержня, которую назовем собственной формой, соответствующей собственной частоте ω .

Из начальных условий задачи (11) для смещений получим

Z ^ф 0 V i ^{( x} ) = f ^{( x} ) i

Z ^ф 0 ^A = ^z 0

или Z ^ф 0 ^V i ^{( x} ) = f ^{( x} )

^- ^{ф 0} p ²

p ²

—

— ^Vi ⁽ a ) = z 0 ω i ²

Домножим (17) на V j ( x ) и проинтегрируем в пределах от x = 0 до x = l :

ll

E Ф i0 J V i ( ^x ) V j ( ^x ) dx = J f l ( ^x ) ^V j ( ^x ) dx .

i 0                                 0

V_j ( a )

Домножив (18) на e       , получим p -№J

E Ф i0   --- ep---V ( a ) V j (a ) = z 0 "Ч^Аa ) •

( p ^- - » *)( p ² - № 2 )        ^J         p ² - № - ^J

Сложив (19) и (20), получим

E Ф^ ⁽j V i ⁽ x ) V j ⁽ x ) dx + ,---- e p-----

I 0                  ⁽ p ^{- №} i ⁾⁽ p ^{- №} J )

( 0)

( 1)

V i ( a ) V j ( a )) = f f l ( x ) V j ( x ) dx + z о          V ( a )

0                 p — ^№ J

Из условия ортогональности

l

J V i ( x ) V j ( x ) dx +

ep

⁽ p ^{2 - №} i ⁾⁽ p ² - mJ)

V i ( a ) V( a ) =

f 0, i ^ J

l

J V ⁽ x ) dx + —--- — V ⁽ a ), i = ^J

0            ⁽ p ^{- №} i )

полученной в [-] вытекает, что в (-1) только один член при i = J не равен

нулю, то есть	Ф iо ( | V 2( x ) dx +    2 ep2 2 V i 2( a )) = о            ( p - ®i) = J f 1 ( x ) V ( x ) dx + z 0 --^ V ( a )
Отсюда	j f l ( x ) V i ( x ) dx + z 0^^^ V i ( a ) o                  p - № i Ф i0 = l                      2                                     (--) J V i 2( x ) dx +    2ep 2 V i 2( a ) J0            ( p - № i )

Из начальных условий задачи (11) для скоростей получим

E Ф ti 0 ^V i ⁽ x ) = ^f ! ⁽ x ) i

E Ф ti 0 A i⁽ x ) = ^z t 0 .

i

Выполняя аналогичные преобразования, что и в (19)-(22), получим

^ф ti 0 =

l

J f 2 ( x ) V ⁽ x ) dx + z o 2 ⁶ 2 V ⁽ a )

b_____________p - Ю l2

J V ²( x ) dx + ₂ ep     V ²( a )

^J0            ⁽ p - ^Ю / )

Временной множитель φ_i ( t ) в рядах (1 -13) удовлетворяет уравнению

d2             7

—-ф (t) + ю ф (t) = 0 , которое имеет решение ф (t) = С sinю t + D cos ю t, d t2                                                                                                                 i i i i где Ci и Di – произвольные постоянные.

Из начальных условий ф (0) = D = ф0, ^- (0) = С ю = Фт   или i             i      i0 dt              i i ti0

D i = ф , ₀, C i = ^ t¹⁰- . Отсюда ф i ( t ) = ^ф ‘1°_ sin _ю i t + ф , 0 co s to i l .

ω _i

ω _i

л eV ( x - ^а ) л Согласно [3] имеем для собственных форм V i ( x ) =--------- A i или

1 + eV , (0)

~

V i ( x ) = V i ( x ) A, ,

( 5)

T~z z   eV (x - a) „                  __ где Vi (x) = —i------. Подставляя (25) в (22) и (24) и сокращая на Ai, по-

1 + eV i (0)

лучим

~

z ⁽ t ) = E Ф i⁽ t )

i

~~

u ^{( x} , t ) = E ^{ф (} t ) V i ^{( x} ), i

~

где Ф , ( t ) = ^Ф ^ sin ю , t + Ф , ₀ cos ю , t ,

~

~

ωi

~ ^φ

l ~                  e ~

[ f 1 ( x ) V i ( x ) dx + z 0—2 ----2 V i ( a )

-

, ₌ J________________ p ^- ю

' i 0 l ~ 2                           2        ~ 2           , f Vi (x) dx + P     Vi (a )

^J0             ⁽ P - ®i)

~ фti 0 =

l ~                 e~ f f2 (x) V i (x) dx + zt 0—2----2 V i (a)

0^----------p         , V '( a )

J V i ⁽ x ) dx +    ® p V i ⁽ a )

0            (P ^— ® 2^

—

V i (0)

e

1 + eV i (0)

Заключение

Таким образом, решена начально-краевая задача колебаний механической системы-упругий стержень с неподвижными краями с установленным на нем в произвольном месте осциллятором в виде твердого тела на пружине.

Получено условие ортогональности, позволившее разложить поперечное смещение (скорость) точек стержня и смещение (скорость) твердого тела в ряд по собственным функциям с коэффициентами, зависящими от времени.