Решение начально-краевой задачи о колебанияхтвердых тел на упругом стержне

Стержни, балки, трубопроводы являются составными элементами многих конструкций в авиационной и космической технике, в водном и надводном транспорте, автомобильном и железнодорожном транспорте, зданиях и сооружениях, газонасосных и нефтепередающих станциях и т.п. Изгибные колебания таких элементов с получением частот и их форм колебаний изучены широко. В меньшей степени изучены колебания механических систем в виде этих элементов (стержней) с нагрузкой, закрепленной на них с помощью упругих связей. Наибольший практический интерес вызывает начально-краевая задача колебаний таких систем. В этом случае происходит перераспределение энергии между частями системы. В работах [1; 2] исследована такая задача, в которой смещение твердых тел раскладывается в ряд по их амплитудам, смещение стержня - в ряд по собственным формам колебаний стержня с одним и тем же коэффициентом в виде временной функции. После подстановки в гибридную систему дифференциальных уравнений и замены отношения второй производной от временной функции к самой временной функции на квадрат частоты со знаком минус, которое сводится к уравнению типа линейного осциллятора, получается несколько алгебраических, линейных относительно амплитуд твердых тел уравнений с коэффициентами, зависящими от частоты и параметров системы и одного уравнения четвертого порядка относитель -но форм колебаний. Решение линейного осциллятора есть линейная комбинация гармонических функций с аргументом, равным произведению частоты и времени с постоянными коэффициентами. Полученное соотношение ортогональности позволяет выразить неизвестные постоянные через амплитуды твердых тел и формы колебаний, частоты, параметров системы и начальных условий. В результате получено решение начальнокраевой задачи, в которое в явном виде входят амплитуды твердых тел.

Целью настоящей работы является исключение амплитуд твердых тел в решении, а также вывод проверочных соотношений, вытекающих из введенных в [1] гильбертовых пространств, для установления адекватности полученных решений.

1 Постановка задачи

Приведем гибридную систему дифференциальных уравнений [1]: 2z.

+ p2(Zk - и(ak, t)) = 0, д и 7 д и /

+ Ь^ = ^ ek (zk д t     дx    k=1

n

- и ( x , t)) S (x - a_k ),

(1.1)

где zk = zk (t) — смещение твердых тел; u = u(x, t) — поперечные сме щения стержневых точек; x — абсциссы этих точек стержня; t —

2 c:        EJ         c,                      , временная координата; pk = k ,b =---, ek = -k-; mk — масса k -го те- k  mk    pF    pF ла, n — число твердых тел; ck — пружинные жесткости; p — удельная стержневая плотность; F — поперечное стержневое сечение (площадь); E — модуль упругости; J — момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний, ak — точки закрепления пружин с твердыми телами; S( x - ak ) — дельта-функция.

Система (1.1) описывает изгибные колебания упругого стержня с закрепленными на нем продольно твердыми телами с помощью пружинных связей.

Ищем решение системы (1) в виде рядов: m zk =S ?i( t) Aki,k =1,-, n, i=1

m

u(x, t)=E ^i( t)V(x), i=1

с заданными начальными условиями:

Zk (0) = Zk 0, k = 1,2,..., n, zk (0) = zk 0, k = 1,2,..., n,

u(x,0) = fi(x), ut(x,0) = f>(x), где pi(t) — числовые функции от переменной t,

A_ki — амплитудные значения колебания k -го тела по i -й частоте,

V ( x ) — i -я собственная форма стержня.

Краевые условия на концах стержня:

и (0, t) = u (l, t) = 0, du (0, ()du (i, ()=0, dx       dx где l — длина стержня.

2 Решение начально-краевой задачи т"      2

Подставляя (1.2) и (1.3) в (1.1), с учетом замены — = -m_i , приводя- ^

щиеся к уравнению ф ” + о 2^ = 0 , с учетом примечания получим:

• ^{- о} 2 Au ⁺ p 1 ⁽ Au ^- Y e ⁰ V ki a ^{- a} k ) A ki ) = ⁰, k = 1 Pk

• ^{0 2} A 2 i + P 22 ⁽ A 2i - E e ^{0 V} ki ^(a 2 - a k ) A ki ) = ⁰,

k = 1 Pk

(2.1)

n 2

• - ° ² A ( n - 1)i ⁺ p ( ² n - 1) ⁽ A ( n - 1)i - E — Vki a - 1 - ^a k ) A ki ) = 0, k = 1 Pk

n 2

• ^{- 0} A ni ⁺ P ^{2 (} A ni ^- E — V ki ⁽ a n ^{- a} k ) Aki ) = 0.

k = 1 Pk

Приравняв нулю в (2.1) определитель при неизвестных коэффициентах

A i , A ₂ i ,..., A_ni , получаем уравнение на собственные частоты m i .

Считая собственные частоты найденными, находим коэффициенты

A i , A ₂ i ,..., A_ni следующим образом.

Из первых n - 1 уравнений системы (2.1) выражаем амплитуды A ₂ i ,..., A_ni через амплитуду A 1 i ;

A k. = a^h, k = 1,2,3,..., n                (2.2)

где g ki = 1

' 1, k = 1

. в -, k >  1 ^,

величина P _ki зависит от номера k , частоты m i и па-

раметров механической системы.

Тогда собственные формы примут вид:

• ^V i ⁽ x ) = A J i^x ) ,

  (2.3)

  
  

  ^ek °i ² где a ⁽ x ) = e      V ki ⁽ x ^- a k ) g ki .

  k = 1 Pk n

  
  
  
  

  k = 1

  V ki ( x ) — решения краевых задач:

  
  

  V ki ( x ) A_ki , где V_ki(x ) =

  
  

  ek °i T7 к А

  ^k 2 ^Vki^{(x - a}k ) , ^а

  Pk

  
  

₂-,     d V ( x )

-а V (x) + b dx; - 5 (x),V (-ak ) = V (l - ak ) = 0, dVdV

( — a k ) =      ^l - a k ) = ⁰

dxdx k = 1,2,..., n

Как указано в пункте (1), обобщенное решение системы (1.1) ищется в виде:

Zk = j^Vi(t)Au,k = 1,-,n; u(x,t) = £Vi(tV(x) ,( i=1

где v i(t ) — неизвестная функция, A_ki — неизвестные коэффициенты,

V i ( x ) — заданные формы собственных колебаний стержня.

Согласно [1] функция v i ( t ) определяется выражением

V i ( t ) = A i sin a i t + B i cos a i t , где a i — заданная собственная частота.

Определяем A i , B_i через v i (0)и v _ti (0)таким образом:

Ai= —, Bi= Vi0. ai

В результате:

V i ( t ) = ^{V ti} (0) sin a i t + v i (0) cos a i t , ^a i

(2.5)

l _n

J fx (x)Vi (x)dx + £ k k02 ki где

V (0) = -------------k=1   pk il   n f Vi2 (x) dx + £ k k‘ ki

о         И  Pk

V ti (0) =

l

J f > ( x V ( x ) dx +

n £ k = 1

e k z tk 0 ^A ki

P k

J V i ² ( x ) dx + £ e k^^k 0               k = 1     ^p k

Эти начальные значения получены путем применения к (1.2) и (1.3) условия типа ортогональности

\°,i*J ln f V (x )Vj( x) dx + £ ^AkiAk, =1

0                      k = 1 P k

l               n _-

J V ²( ^x ) ^dx + £ - Ali i = J

L>                  k = 1 p_k

Подставляя (2.5) в (2.4), получаем решение системы (1.1):

m . ffк.x)V.(x)dx        ' Ak, zk(t)=£ (-1!---------n ‘ = Pk—Au sin a<+

• •' ^ai    i ; ²( x ) dx + £% aJ

0                  I - I Pt

(2.6)

(2.7)

f f, ( x ) V i ( x ) dx + £ eAzr A ki

+n------------, i-1 Pk-----Aki cosaf), f V( x) dx + t4( Au)2

0                   i-1 Pi m 1 \f,(x V (x) dx + ±-zP Aki u (x, t) = £ (——t-----------———----Vi (x) sin ait +

‘^{-1 a} i    VV( ²( x ) dx + £ ^-k _r( A ki )²

0                 i = 1 Pk

J f ( xV(x ) dx -^' k A_u

+ ~i ------------jj- i ^-— —-----V i ( x ) cos a i t ).

J V i ²( x ) dx + £ ^-k 2 ( A ki )²

0                 i = 1 Pk

Преобразуем эти решения в соответствии c (2.2) и (2.3):

m 1 ff>( x)a(x)dx+£ k^kfg Ski zk(t) = £(—----------n ‘-1 Pk—Skisin a+

‘^-1       j « i ²⁽ x ) dx +£ ^— к S ki ⁾²

0                i=1 Pk f f.(x a(x)dx + £ ekzr Ski

⁺ —i------------ _n i ^{-1 Pk} -----S ki ^cos — ),

J V ²⁽ x ) dx + £ k^t S ki ⁾²

о                i=1 Pk m 1 f f>(x a(x)dx + £ ekzr- gki u (x, t) = £ (— °—l------------———----ai (x )sin to/ +

‘=1 ® i    \ a xx ) dx + £ 4⁽ g^²

0                i=1 —k f f.(x)ai(x) dx+£ ekz0 gu

+ °—_l------------^d——k----ai ( x ) cos ait ).

J ^a i ^(x ) dx + £ e^( g ki ⁾²

0                 i =1 Pk

3 Проверочные соотношения

Рассмотрим введенные в работе [1] гильбертовы пространства с орто-нормированным базисом:

______________4 1_______________

4( 4 ¹)² + ... + 4 ( 4 ’ )² + V , V )

—1

e i =

^A i ⁿ

¹ e^ t) + ... + 4 ( A i )² + V , V )

—1

V ( x )

Е4)у++^^ п —г—„

( z 1 (0) ^

( z 1 / (0) ^

Разложим векторы

Z n (0)

Z nt (0)

в ряды Фурье по указан-

^ u ( x ,0) )

I u t ^{( x ,0)} J

ному ортонормированному базису:

	( Z 1 (0) >		Г Z 1 1 (0) >
	... Z n (0) к u ( x ,0) J	^ ■ E a j (0) e j , j = i	... Z nt (0) К u t ( x ,0) J	TO ■ E a ‘ (0) e j . j = i	(3.1)

Коэффициенты Фурье a jj (0) и a ‘ (0) имеют вид:

4 z 1 (0) A j + ... + 4 Z n (0) A ’ + ( u ( x ,0), V ( x )) a /0) = p i               p n                        ,

4( A j. )² + ... + e^ A n )² + ( V , Vj)

V Px             Pn e Z11 (0) Aj +... + e^Znt (0) An + (Ut (x ,0), V( x))

a ' (0) = P-----           p n                     ------.          (3.2)

4( A j.)² + ... + 4 ( A n )² + ( V , V )

V P i              P_n

Из (3.1) и (3.2) вытекает, что:

. e ; z , (0) a ; + ... + e 2 Z n (0) A ’ + ( u ( x ,0), V j( x ))

Zk(0) ■ Ep---;-------pn-------------------Aj .(3.3)

¹■'        4( A j.)² + ... + e ( A ’ )² + ( V j, V j)

Pip„

. e r Z i t (0) A j + ... + e Z ’t (0) A n + ( u ( x ,0), V j ( x ))

zk. (0) = E -p-------------pn—---------------------A‘,

• ¹ -      4( A ] )² + ... + e r ( A ')² + ( V , V )

Pi

• „ 4 Z 1 (0) A j.+ ... + 4 Z n (0) A ’ + ( u ( x ,0), V j( x ))

• ^{u (} x ,⁰⁾ ■ E——------- ^P—_J-----------------Vj ^{( x} ), (^3.5)

• ^J=1        4( A j- )² + ... + e r ( A n )² + ( V j , V j )

Pi            Pn ut(x,0)=E j=i

' Z it (0) A j. + ... + e 2 Z nt (0) A n + ( u ( x ,0), V j (x ))

-^{P i}----------------- ^Pn-----------------------------V ( x ). (3.6)

A j )² + ... +^ a ” )² + ( V , V )

Если подставить в выражения (2.6), (2.7) и их производные значение t = 0 при m = m , то получим проверочные соотношения, что свидетельствует о достоверности полученных решений.

Заключение

В работе установлена пропорциональность амплитуд твердых тел фиксированной амплитуде с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от частоты и параметров системы. В результате в решении, полученном в [1], амплитуды твердых тел исключаются и остаются их коэффициенты пропорциональности. Кроме того, из введенных гильбертовых пространств с ортонормированными системами векторов выведены проверочные соотношения, позволяющие убедиться в адекватности полученных решений.