Решение трехмерных задач теплопроводности методом фиктивных канонических областей

Решение краевых задач является одним из ведущих направлений математического моделирования. Первые аналитические методы решения краевых задач были предложены в работах Ж.Л. Д’Аламбера и Ж.Б.Ж. Фурье и с успехом применялись для решения задач в простых областях. Однако современные инженерные задачи требуют получения решений краевых задач в трехмерных конструкциях сложной конфигурации. Считается, что применение аналитических методов для таких задач невозможно или крайне затруднительно. Поэтому большинство расчетов сложных элементов инженерных конструкций выполняется численными методами. Тем не менее применение аналитических методов расчетов на современных высокопроизводительных компьютерах может быть эффективным для задач, где первостепенным фактором является точность и надежность получаемых решений. Один из таких методов – метод фиктивных канонических областей (ФКО). Данный метод является, по сути, методикой выбора базисных функций к методу Треффтца и позволяет получать высокоточные решения для областей сложной конфигурации. Следует отметить, что метод ФКО применяется для реше- ния только линейных краевых задач математической физики. Решение нелинейных задач – предмет дальнейших исследований.

2.    Метод фиктивных канонических областей

Пусть требуется решить линейную краевую задачу: найти функцию U ( x ) , удовлетворяющую в пределах некоторого тела D g R³ дифференциальному уравнению в частных производных

LU ( x ) = R ( x ), x е D ,         (1)

и на поверхности S тела D – граничным условиям

BU ( x ) = B * ( x ), x е S ,       (2)

где L и B – заданные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами; R ( x ) и B * ( x ) - заданные функции координат x .

Согласно методу ФКО [1], решение краевой задачи ищется в виде конечной суммы N

U ⁽ x ) = U ^{R (} x ) + ^ c n u n ^{( x} ) ,        ⁽³⁾

n = 1

где U^R ( x ) - любое частное решение уравнения (1), c _n – постоянные коэффициенты,

u n ( x ) - базисные функции, каждая из которых тождественно удовлетворяет однородному уравнению

LU ( x ) = 0.               (4)

Базисные функции выбираются следующим образом. Существуют такие области, называемые каноническими, для которых известны общие решения однородного уравнения (4) (например, полученные методом разделения переменных Фурье) в виде бесконечного ряда

U V ( с V ) = L ( с V ) • С V e V •   (5)

n = 0

Такие решения являются общими в том смысле, что подбором коэффициентов c_n^V из них можно выделить частные решения, удовлетворяющие достаточно произвольным краевым условиям на границе канонической области V с R ³ с любой точностью. Под достаточно произвольными понимаются граничные условия, не имеющие разрывов, изломов и т.д. Согласно методу ФКО исходное тело D погружается в пересечение нескольких канонических областей V n V ₂ п ... . Решение краевой задачи для исходного тела D определяется в виде суммы решений, относящихся к каноническим областям. В каждом таком решении ограничивают число слагаемых. Неизвестные коэффициенты c ^V находятся из условия приближенного удовлетворения краевым условиям (например, по методу наименьших квадратов).

Таким образом, метод ФКО является приближенным аналитическим методом. Решение краевой задачи, полученное методом ФКО, тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению и приближенно – краевым условиям.

Главным преимуществом метода ФКО является возможность простой и надежной оценки точности полученных решений [1–3]. Это обусловлено тем, что дифференциальное уравнение задачи удовлетворяется тождественно и для оценки точности достаточно выполнить анализ погрешности удовлетворения граничным условиям. Также к преимуществам метода ФКО можно отнести снижение размерности исходной задачи на единицу, поскольку для решения объемной задачи требуется информация только о поверхности тела. Данное преимущество позволяет существенно сократить время на создание объемной модели и ее подготовку к решению.

• 3.    Решение трехмерных задач теплопроводности

В стационарной задаче теплопроводности искомой функцией является температура, которая при отсутствии тепловых источников удовлетворяет уравнению Лапласа [4]

V ² T = 0 ,                (6)

где T - температура; V ² - оператор Лапласа.

На поверхности тела могут быть заданы условия первого, второго или третьего рода.

Для применения метода ФКО к решению трехмерных стационарных задач теплопроводности необходимы общие решения уравнения Лапласа для различных объемных канонических областей – сферы, цилиндра и т.д. Данные решения могут быть получены методом разделения переменных Фурье в различных системах координат (СК). В работе [5] приведены общие решения уравнения Лапласа в сферической и цилиндрической СК.

В сферических координатах   ( r , ю , 0 )

оператор Лапласа имеет следующий вид:

V

1 д f ₂ д Л         1        3 ²

• —й--I r  --- I +--й------й--Й” +

r ² д r V    д r ) r ² sin²( 0 ) дю

1       д f         д Л

+                1 sm( 0 ) | .

r ²sin( 0 ) д0 V       дв )

Общее решение уравнения Лапласа в сферической СК может быть представлено в следующем виде:

T ( r, ю , 0 ) = c о + c i 1 1 ( r ) +

” n 4

+ ZZZ Cnmitnmi( r • Ю,0 ) + n =1 m =1 i =1

QO 6

+ Ц C n 0 A 0 i ( r , 0 )

n = 1 i = 5

t 1 ( r ) = r tnm 1(r,ю,в) = rn sin(mю) Pnm(cos(0))• tnm2 (r, Ю, в) = rn cos(m ю) P" (cos(0))•    (8)

,   (    n\_ sin( тю) Pn^m ( cos( 0 ) )

t nm 3 ⁽ r , ^Ю , ^в)                 _{n +} 1             ^

r tnm4 (r, P?) =

cos( m p ) P m ( cos( ? ) )

n + 1

r tn05(r,?)=rn P (cost?)), t 1гв)= Pn (cos?)) tn 06 (' , ?          n +1      ’

r где Pn – полиномы Лежандра, Pnm – присоединенные функции Лежандра [6].

Данное решение является общим для полой сферы, т. е. подбором коэффициентов данного решения можно удовлетворить достаточно произвольным граничным условиям на поверхности полой сферы произвольных внешнего и внутреннего радиуса. Если в данном решении оставить только несингулярные базисные функции, то получим общее решение для шара, если оставить только сингулярные функции, получим решение для сферической полости в бесконечном пространстве.

В    цилиндрических координатах

( r , p , z ) оператор Лапласа имеет вид

V ²

1 д ( д Л

I r I г д r ^ д r J

+

1   д ² д ²

r ² др ²    дz²

Общее решение уравнения Лапласа в цилиндрической СК может быть представлено в следующем виде:

T ( r , р , z ) = c о + c i 1 1 ( r ) + c 2 1 2 ( z )

M M 16

+ EEE cnmitnmi (r, P, z ) + n =1 m=1 i=1 m 24

+ ES cn 0itn0i(r, z) + n=1 i=17

+ ЁЕ c 0 m,t 0 m,(rP) + m =1 i = 25

+ £Z c 0 .P0 m,(r, P, z ), m=1i=29

t 1(r )=ln( r), t2 (z)= z , tn m 1 (r, P, z) = Im (^ r) Sin(m P) Sin(^ z) , tnm 2(r ,P, z ) = Im (^ r ) sin(mp)cos(^z), tnm 3 (r, Ф, z ) = Im (h r ) cos(m Q)sin(^ z), tnm 4 (r, Ф, z )= Im (^ r ) Cosm ф)cOS(Ц z) , tnm 5 (r, Ф, z ) = Km (ц r) sin(m ф)sin(ц z), tnm 6 (r, Ф, z ) = Km (ц r ) sin(m ф)cos(Ц z), tnm 7 (r, Ф, z ) = Km (ц r) cos(m ф)sin(ц z), tnm 8 (r, Ф, z ) = Km (ц r ) cosm ф)cos(Ц z), tnm 9 (r, Ф, z ) = Jm (ц r ) sin(m ф)sinh(Ц z), tnm 10(r, Ф, z) = Jm (ц r) sin(m ф)cosh(л z), tnm 11(r, Ф, z) = Jm (цr) cosm Ф^тЫцz), tnm 12 (r, Ф, z ) = Jm (цr ) cos(m ф)cosh(л z), tnm 13( r, Ф, z )= Ym (H r ) sin(m Ф)sinh(Ц z), tnm 14( r, Ф, z )= Ym (Ц r ) sin(m ф)cosh(l z), tnm 15(r, Ф,z )= Ym (H r ) cos(m ф)sinh(Ц z), tnm 16 (r, Ф, z ) = Ym (Ц r ) cosm ф)cOshЦ z), tn017(r’z) = I0 (Hr)sin(Hz),             (9)

tn018(r,z) = I0 (Hr) cosHz) , tn 019 (r,z ) = K0 (H r ) sin(H z), tn020(r, z)= K0 (Hr) cosHz) , tn 021(r,z ) = J0 (H r ) sinhH z)’ tn 022(r,z) = J0 (H r ) coshH z)’ tn023(r,z)= Y0 (Hr)sinhHz)’ tn024(r,z)= Y0 (Hr)coshHz) , 10m25(r,ф) = rm sin(mФ), t0m26(r’Ф)= rm cos(mФ)’

1 0 m 27 ( r , Ф ) = r - m sin( m ф ), t 0 m 28 ^{( r} , ф ) = ^r - m ^{cos( m} Ф )’

1 0 m 29 ( r , Ф , z ) = r m sin( m ф ) z ,

1 0 m 30 ( r , Ф , z ) = r m cos m Ф ) z , 1 0 m 31 ( r , Ф , z ) = r - m sin( m ф ) z , 1 0 m 32 ( r , Ф , z ) = r - ^m cos(m ф ) z ,

П n где ^ =---, L - период изменения темпера-

L туры по оси z , Im, Km, Jm, Ym – функции Бесселя [6].

Данное решение является общим для полого цилиндра. Если в этом решении оставить только несингулярные базисные функ- ции, то получим общее решение для сплошного цилиндра, если оставить только сингулярные – получим решение для цилиндрической полости в бесконечном пространстве. Решения, содержащие тригонометрические функции координаты z , соответствуют решению для длинного цилиндра, гиперболические функции – решению для короткого цилиндра.

• 4.    Пример решения задачи

Рассмотрим следующую стационарную задачу теплопроводности. На рис. 1 изображено исходное трехмерное цилиндрическое тело с отверстием в боковой стенке. На поверхности тела заданы условия третьего рода: на внешней и торцевой поверхностях температура окружающей среды равна 0, на внутренней поверхности и поверхности отверстия – 1. Коэффициент теплоотдачи на всей поверхности задан равным 1 (все значения приведены в безразмерном виде).

Рис. 1. Исходное цилиндрическое тело с отверстием

Рис. 2. Схема погружения исходного тела в пересечение ФКО – полой сферы V ₁ и сферических полостей V ₂ , V ₃, V ₄, V ₅ (сечение в середине отверстия)

Решение задачи было выполнено с помощью разработанной универсальной программы REGIONS MF. Согласно методу ФКО исходное тело было погружено в пересечение фиктивных канонических областей – полой сферы и четырех сферических полостей. Схема погружения представлена на рис.2.

Результаты решения задачи представлены на рис. 3 и рис. 4. Максимальная погрешность удовлетворения граничным условиям по тепловому потоку составила менее 1%. Отметим, что в инженерных расчетах такая погрешность может рассматриваться как следствие идеализации реальных граничных условий, поскольку все граничные условия задаются с некоторой допустимой точностью. То есть данное решение является точным для некоторых скорректированных граничных условий [2], незначительно (менее 1%) отличающихся от исходных.

Рис. 3. Распределение температуры

Рис. 4. Распределение теплового потока

• 5.    Заключение

В работе рассмотрено применение метода фиктивных канонических областей для решения трехмерных задач теплопроводности. Приведен пример решения задачи для объемного тела сложной конфигурации, для которой получено решение с высокой точностью – менее 1% по тепловому потоку. Таким образом, показано, что метод ФКО может применяться для решения современных сложных инженерных задач. Поскольку метод ФКО позволяет получать надежные аналитические решения с высокой точностью, его областью применения могут быть задачи ответственного назначения, в которых точность и надежность являются превалирующими факторами.