Решение уравнения пятой степени разложением левой части на произведение многочленов второй и третьей степени

История современной теории алгебраического уравнения восходит к XVII веку. С того времени для развития теории применялся большой запас средств (теория Галуа, геометрия икосаэдра, эллиптические модулярные функции, гипергеометрические ряды, аналитические функции многих комплексных переменных). При этом уравнению пятой степени уделялось и уделяется повышенное внимание [1, с. 151], [2]. Однако для этого уравнения в справочной литературе не представлены простые способы решения.

Отметим, что в литературе, не являющейся справочной, есть простой способ нахождения одного или двух действительных корней уравнения нечетной степени, который не требует задания начального приближения, и который справедлив для уравнения пятой степени [3]. Но он действует лишь при определенных ограничениях на коэффициенты уравнения и не годится, например, для решения уравнения Лагранжа пятой степени [4, с. 144] и для нахождения расстояний до точек либраций L1, L2, L3 [5, с. 22]. (Одна из причин непригодности: отдельные коэффициенты этих уравнений являются отрицательными числами). Между тем, например, расстояния до точек либраций могут применяться при решении практических потребностей космических исследований [5, с. 10]. В связи с этим разработка простого способа решения уравнения пятой степени весьма актуальна. Поэтому целью исследования, представленного в данной статье, была разработка такого способа.

Простым способом может быть способ, основанный на применении метода неопределенных коэффициентов и сводящий решение уравнения пятой степени к вычислению корней одного квадратного уравнения и одного кубического уравнения. Поэтому задачей исследования было построение именно такого способа. Задача исследования была решена. Способ имеет три варианта и заключается в выполнении следующих шагов: 1) итерационное решение вспомогательной системы уравнений; 2) вычисление корней квадратного и кубического уравнений. При выполнении первого шага решается система пяти, трех или двух уравнений. Коэффициентами уравнений, решаемых при выполнении второго шага, служат числа, полученные на первом шаге.

Способ, предлагаемый в статье, применяется к уравнению x5 + a4x4 + … + a0 = 0 (*)

( a 4 , …, a 0 – действительные числа, a 0 ≠ 0).

Он исходит из возможности представления левой части уравнения (*) в виде равенства x ⁵ + a 4 x ⁴ + … + a 0 = ( x ² + b 1 * x + b 0 * )∙( x ³ + + c 2 * x ² + c 1 * x + c 0 *) (**).

Итерационные формулы, используемые способом, получены применением метода простой итерации (для систем пятого, третьего и второго порядков) и использованием метода Ньютона (для системы второго порядка).

В статье предложенный способ применяется, в частности, к решению уравнения пятой степени Лагранжа и к нахождению расстояний до точек либраций L 1 , L 2 , L 3 . При решении уравнения Лагранжа и уравнений, связанных с точками либраций, применяется метод Ньютона.

Изложение решения задачи исследования приводится ниже.

Для определения значений величин b 1 *, b 0 *, c 2 *, c 1 *, c 0 * будем исходить из тождественного относительно величины x равенства x ⁵ + a 4 x ⁴ + … + a 0 ≡ ( x ² + b 1 x + b 0 )∙

∙( x ³ + c 2 x ² + c 1 x + c 0 ).             (1)

В результате придем к системе a4 = b1 + c2, a3 = b1 c2 + b0 + c1, a2 = b1 c1 + b0 c2 + c0, a1 = b1 c0 + b0 c1, a0 = b0 c0.                           (2)

Система (2) эквивалентна каждой из трех используемых ниже систем. Для эквивалентных систем построим формулы итерационного вычисления значений следующих совокупностей величин: 1) b 1 *, b 0 *, c 2 *, c 1 *, c 0 *; 2) c 2 *, c 1 *, c 0 *; 3) b 1 *, b 0 *.

В качестве итерационного способа вычислений применим метод простой итерации [6 , с. 89] и метод Ньютона [6, с. 94]. (Причем метод Ньютона будем применять лишь для получения значений величин b 1 *, b 0 *).

Эти значения – при сходимости итерационного процесса – будем использовать для нахождения корней уравнения (*) путем решения одного квадратного уравнения и одного кубического уравнения.

Первая система, эквивалентная системе (2)

Этой системой является следующая совокупность соотношений:

b1 = – (a1 – b0 c1)/c0, b0 = a0/c0, c2 = a4 – b1, c1 = a3 – b1 c2 – b0, c0 = a2 – b1 c1– b0 c2.               (3)

Итерационными формулами по вычислению значений величин b1*, b0*, c2*, c1*, c0*, соответствующими методу простой итерации, служат соотношения b1,k+1 = – (a1 – b0,k c1,k )/c0,k, b0,k+1 = a0/c0,k, c2,k+1 = a4 – b1,k, c1,k+1 = a3 – b1,k c2,k – b0,k, c0,k+1 = a2 – b1,k c1,k – b0,k c2,k.           (4)

Применение формул (4) к вычислению корней уравнения пятой степени показано на примере 1.

Пример 1. Требуется решить уравнение x ⁵ – 5 x ⁴ – 52 x ³ – 260 x ² – 576 x + 2880 = 0 с помощью формул (4).

Решение. Предварительно замечаем, что a 4 = – 5, a 3 = – 52, a 2 = – 260, a 1 = – 576, a 4 = 2880. Применение формул (4) при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = c 2,0 = c 1,0 = c 0,0 = 1 приводит после вычисления 346 приближений к следующим значениям величин b 1 *, b 0 *, c 2 *, c 1 *, c 0 *:

b 1 * = 2,76779215060065;

b 0 *= – 1,01819333370811;

c 2 *= – 7,76779215060065;

c 1 * = – 2,03184325209890∙10;

c 0 * = – 2,82853943809616∙10 ².

Для полученных значений решим уравнения x ² + b 1 * x + b 0 * = 0 и x ³ + c 2 * x ² + c 1 * x + + c 0 * = 0. Для квадратного уравнения получим следующие корни:

– 4,86198487294664; 2,0941927223459885. Для кубического уравнения получим корни – 1,92319339683397 ± i 4,54483433668558, 11,6141789442686.

Объединение всех полученных выше корней дает множество корней исходного уравнения пятой степени.

Замечание 1. Приведенные выше значения коэффициентов b 1 *, b 0 *, c 2 *, c 1 *, c 0 * были взяты с того номера приближений, начиная с которого не изменяются пятнадцатиразрядные мантиссы и порядки всех величин b 1, k +1 , b 0, k +1 , c 2, k +1 , c 1, k +1 , c 0, k +1 .

Начальные приближения оказались одним из многих удачных вариантов выбора. Не было найдено ни одного неудачного варианта начальных приближений.

Для всех апробированных вариантов обязательным условием было выполнение условий b 0,0 ≠ 0 и c 0,0 ≠ 0.

Вторая система, эквивалентная системе (2)

Этой системой является совокупность соотношений b1 = (a1c0 – a0 c1)/c02, b0 = a0/c0, c2 = a4 – (a1c0 – a0 c1)/c0 , c1 = a3 – (a1c0 – a0 c1)/c02 ∙c2 – a0/c0, c0 = a2 – (a1c0 – a0 c1)/c0 ∙c1– a0/c0 ∙c2.    (5)

Три последние уравнения из системы (5) содержат все коэффициенты уравнения (*), а, с другой стороны, не содержат величин b1 и b0. Поэтому эти уравнения можно использовать для итерационного вычисления значений величин c2*, c1*, c0*. При этом итерационные формулы, соответствующие методу простой итерации, имеют вид c2,k+1 = a4 – (a1c0,k – a0 c1,k)/c0,k 2 ;

c 1, k +1 = a 3 – ( a 1 c 0, k – a 0 c 1, k )/ c 0, k ∙ c 2, k –

– a0/c0,k, c0,k+1 = a2 – (a1c0,k – a0 c1,k)/c0,k ∙c1,k –

– a 0 / c 0_, k ∙ c 2_, k .                                       (6)

Значения величин b1*, b0* следует находить с помощью равенств b1* = (a1c0* – a0 c1*)/c02 ;

b 0 * = a 0 / c 0 *.                         (6*)

Замечание 2. При решении уравнения из первого примера с помощью формул (6) и (6*), при начальных приближениях c 2,0 = c 1,0 = c 0,0 = 1, для достижения такой же точности, как в примере 1, требуется выполнить не более 197 итерационных шагов. Итерационные вычисления приводят к следующему результату:

c 2 *= – 7,76779215060065;

c 1 * = – 2,03184325209890∙10;

c 0 * = – 2,82853943809616∙10 ².

Формулы (6*) дают равенства b1* = 2,76779215060065;

b 0 * = – 10,1819333370811.

Третья система, эквивалентная системе (2)

Этой системой является совокупность равенств b1 = b0/a0∙{a1 – b0[ a3 – b1(a4 – b1) – b0 ]}, b0 = a0/{a2 – b1[ a3 – b1(a4 – b1) – b0] – b0(a4– – b1)}, c2 = a4 – b1, c1 = a3 – b1c2 – b0, c0 = a2 – b1c1 – b0c2.                     (7)

Два первых уравнения системы (7) содержат все коэффициенты уравнения (*), а, с другой стороны, не содержат величин c2, c1, c0. Поэтому эти уравнения можно использовать для итерационного вычисления значений величин b1* и b0*. Тогда итерационные формулы принимают вид b1,k+1 = b0,k/a0∙{a1 – b0,k∙[ a3 – b1,k (a4 –

– b 1, k ) – b 0, k ]};

b 0, k +1 = a 0, k /{ a 2 – b 1, k ∙[ a 3 – b 1, k ( a 4 –

– b 1, k ) – b 0, k ] – b 0, k ( a 4 – b 1, k )}.             (8)

После использования зависимостей (8) следует для вычисления значений величин c2*, c1*, c0* последовательно применять равенства c2* = a4 – b1*, c1* = a3 – b1*c2* – b0*, c0* = a2 – b1*c1* – b0*c2*.             (8*)

Замечание 3. При решении уравнения из первого примера с помощью формул (8) и (8*), при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = 1, требуется для достижения такой же точности, как в примере 1, выполнить не более 67 итерационных шагов.

В случае применения метода Ньютона к системе, состоящей из двух первых уравнений системы (7), т. е. к системе b 1 = b 0 / a 0 ∙{ a 1 – b 0 [ a 3 – b 1 ( a 4 – b 1 ) – b 0 ]}, b 0 = a 0 /{ a 2 – b 1 [ a 3 – b 1 ( a 4 – b 1 ) – b 0 ] – b 0 ( a 4 – – b 1 )},                                              (9)

введем вспомогательную функцию t, определяемую равенством t =a3 – b1∙ (a4 – b1) – b0. Рассмотрим также следующую систему: f(b1,b0) = b0/a0∙(a1 – b0t) – b1, g(b1,b0) = a0/[a2 – b1t – b0(a4 – b1)] – b0.      (10)

Для первых частных производных функций f и g по b 1 и b 0 справедливы следующие зависимости:

f ′ b 1 ( b 1 , b 0 )= – b 0 ²/ a 0 ∙( – a 4 + 2 b 1 ) – 1;

f ′ b 0 ( b 1 , b 0 )= 1/ a 0 ∙( a 1 – 2∙ b 0 ∙ t + b 0 ²);

g′ b 1 ( b 1 , b 0 )= – a 0 / [ a 2 – b 1 ∙ t – b 0 ∙( a 4 – b 1 )] ² ∙[ – t – b 1 ∙( – a 4 + 2 b 1 ) + b 0 ];

g′ b 0 ( b 1 , b 0 ) = – a 0 / [ a 2 – b 1 ∙ t – b 0 ∙( a 4 – b 1 )] ² ∙( – a 4 + 2 b 1 ) – 1.

Определим величины A , B , и J с помощью следующих равенств:

A(b1,b0) = f(b1,b0)∙g′ b0(b1,b0) – g(b1,b0)∙ f ′b0(b1,b0),

B ( b 1 , b 0 ) = f ′ b 1 ( b 1 , b 0 )∙ g ( b 1 , b 0 ) –

– g′ b 1 ( b 1 , b 0 )∙ f ( b 1 , b 0 ),

J ( b 1 , b 0 ) = f ′ b 1 ( b 1 , b 0 )∙ g′ b 0 ( b 1 , b 0 ) – f ′ b 0 ( b 1 , b 0 )∙ ∙ g′ b 1 ( b 1 , b 0 ).

Теперь применение метода Ньютона к системе (9) сводится к использованию итерационных формул b1,i = b1,i – 1 – A(b1,i – 1,b0,i – 1)/

/ J ( b 1, i – 1 , b 0 , i – 1 );                        (11.1)

b 0, i = b 0, i – 1 – B ( b 1, i – 1 , b 0, i – 1)/

/ J ( b 1, i – 1 , b 0, i – 1 ).                        (11.2)

( i = 1,2, …).

Замечание 4. При решении уравнения из первого примера с помощью формул (11) и (8*), при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = 1, требуется для достижения такой же точности, как в примере 1, выполнить не более 6 итерационных шагов.

Решение уравнения Лагранжа пятой степени

Уравнением Лагранжа пятой степени является следующее уравнение [4, с. 144]:

( m 1 + m 2 ) X ⁵ + (3 m 1 + 2 m 2 ) X ⁴ +

+ (3 m 1 + m 2 ) X ³ – ( m 2 + 3 m 3 ) X ² –

– (2 m 2 + 3 m 3 ) X – ( m 2 + m 3 ) = 0.    (12)

В нем m 1 , m 2 , m 3 – массы расположенных на одной прямой материальных точек, а X – безразмерная величина, характеризующая расположение точек на прямой относительно друг друга. Решение уравнения (12) с помощью формул (11) и (8*) приводится в примере 2.

Пример 2. Требуется решить уравнение пятой степени Лагранжа, если m 1 = 100000, m 2 = 1000, m 3 = 1. (Применяется относительная единица измерения массы).

Решение. Преобразуем уравнение (12) для заданных значений величин m1, m2, m3 к виду (*). В результате получим равенства a4 = 2,99009900990099;

a 3 = 2,98019801980198;

a 2 = – 9,93069306930693∙10 ^{– 3};

a 1 = – 1,98316831683168∙10 ^{– 2};

a 0 = – 9,91089108910891∙10^–3.

Применив формулы (11) при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = 1, получим после выполнения десяти итерационных шагов следующие значения величин b 1 * и b 0 *:

b 1 * = 1,57395820281564∙10 ^{– 1};

b 0 * = 2,12792358971009∙10 ^{– 2}.

Применив далее формулы (8*), получим значения величин c 2 *, c 1 *, c 0 *:

c 2 * = 2,83270318961943;

c 1 * = 2,51306314176053;

c 0 * = – 4,65754087084452∙10 ^{– 1}.

Решив квадратное уравнение x ² + b 1 * x + b 0 * = 0 для найденных значений величин b 1 * и b 0 *, получим следующие два корня исходного уравнения пятой степени:

• 1)    – 0,0786979101407820 +

  + i 0,1228245693522851;

• 2)    – 0,0786979101407820 –

  – i 0,1228245693522851.

Решив кубическое уравнение x ³ + c 2 * x ² + c 1 * x+ + c 0 * = 0 для найденных значений величин c 2 *, c 1 *, c 0 *, получим следующие три корня исходного уравнения пятой степени:

• 1)    –1,4944932269163219 +

  + i 0,8641074563709152;

• 2)    –1,4944932269163219 –

  – i 0,8641074563709152;

• 3)    0,1562832642132137.

Таким образом, объединение найденных корней квадратного уравнения и кубического уравнения является множеством корней исходного уравнения пятой степени.

Решение уравнений на вычисление расстояний до точек либраций

Известно [5, с. 20], что, с точки зрения небесной механики, в Солнечной системе на прямой, проходящей через материальные точки S и J , движущиеся по кеплеровским орбитам, расположены точки либраций L 1 , L 2 , L 3 двухточечной системы S – J .

Пусть материальными точками являются небесные тела соответственно с массами m 1 и m 2 . Рассмотрим применение формул (11) и (8*) к вычислению расстояний от точек S и J до точек либраций L 1 , L 2 , L 3 . Пусть m 1 ≥ m 2 .

Известные уравнения для определения расстояний до точек либраций учитывают следующие известные факты:

• 1)    для описания расположения точек либраций относительно точек S и J применяют следующую декартову систему координат на прямой SJ . За начальную точку принимается центр масс. За единичную точку принимается геометрическая точка, расположенная между началом координат и точкой J ;

• 2)    в декартовой системе координат точки L 1 , L 2 , L 3 характеризуются следующими свойствами: координата точки L 1 больше нуля и меньше координаты точки J ; координата

точки L 2 больше координаты точки J ; координата точки L 3 меньше декартовой координаты точки S;

• 3)    введение безразмерной единицы измерения расстояния на прямой SJ , применение закона всемирного тяготения и закона движения Ньютона приводит к алгебраическим уравнениям пятой степени. Положительные корни этих уравнений являются расстояниями от точек S и J до точек L 1 , L 2 , L 3 . В коэффициенты всех уравнений входит величина μ = m 2 / ( m 1 + m 2 ) [5, с. 11].

В уравнениях неизвестной величиной является расстояние ρ. Расстояние ρ от точки J до точки L 1 является положительным корнем уравнения

ρ5 – (3 – μ) ρ4 + (3 – 2 μ) ρ3 – μ ρ2 + 2 μρ –

– μ = 0.(13)

Расстояние ρ от точки J до точки L 2 является положительным корнем уравнения

ρ5 + (3 – μ) ρ4 + (3 – 2 μ) ρ3 – μ ρ2 – 2 μρ –

– μ = 0.(14)

Расстояние ρ от точки S до точки L 3 является положительным корнем уравнения

ρ5 + (2 + μ) ρ4 + ( 2 μ + 1) ρ3 + (μ – 1) ρ2 +

+ 2 (μ – 1) ρ + μ – 1 = 0.(15)

Вычисление расстояний до точек либраций сводится к нахождению положительных корней уравнений (12) – (15) с помощью формул (11) и (8*).

• Пример 3. Требуется найти расстояние от Луны до точки L 1 в системе Земля – Луна.

Решение . В системе Земля – Луна материальными точками S и J являются соответственно Земля и Луна, вследствие чего величина μ принимает значение 0,0121506683. Учитывая этот факт, применим способ, предлагаемый в данной работе, заметив, что при отмеченном значении величины μ для уравнения (13) справедливы следующие равенства:

a 4 = – 2,98784933170000;

a 3 = 2,97569866340000;

a 2 = – 1,21506683000000∙10 ^{– 2};

a 1 = 2,43013366000000∙10 ^{– 2};

a 0 = – 1,21506683000000∙10 ^{– 2}.      (16)

Применив формулы (11) при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = 0,01, получим после выполнения одиннадцати итерационных шагов следующие значения величин b 1 * и b 0 *:

b 1 * = 1,52306710364558∙10 ^{– 1};

b 0 * = 2,70530979783522∙10 ^{– 2}.       (17)

Применив далее формулы (8*), получим значения величин c 2 *, c 1 *, c 0 *

c 2 * = – 3,14015604206456;

c 1 * = 3,42691240221989;

c 0 * = – 4,49141473916330∙10 ^{– 1}.     (18)

Решив уравнение x ² + b 1 * x + b 0 * = 0 для найденных значений величин b 1 * и b 0 *, получим следующие два корня уравнения пятой степени с коэффициентами (16):

• 1)    – 0,0761533551822790 +

  + i 0,1457867088346323;

• 2)    – 0,0761533551822790 –

  – i 0,1457867088346323.           (19)

Решив уравнение x ³ + c 2 * x ² + c 1 * x + c 0 * = 0 для найденных значений величин c 2 *, c 1 *, c 0 *, получим следующие три корня исходного уравнения пятой степени с коэффициентами (16):

• 1)    0,1509346128067983;           (20.1)

• 2)    1,4946107146288808 +

  + i 0,8613212147147146;         (20.2)

• 3)    1,4946107146288808 –

  – i 0,8613212147147146.           (20)

Среди найденных корней уравнения с коэффициентами (16) положительным числом является лишь корень 0,1509346128067983. Это число является расстоянием от Луны до точки либраций L 1 в системе Земля – Луна.

• Пример 4. Требуется найти расстояние от Луны до точки L 2 в системе Земля – Луна.

Решение . Применим предлагаемый способ, заметив, что для уравнения (14) справедливы следующие равенства:

a 4 = 2,98784933170000;

a 3 = 2,97569866340000;

a 2 = – 1,21506683000000∙10 ^{– 2};

a 1 = – 2,43013366000000∙10 ^{– 2};

a 0 = – 1,21506683000000∙10 ^{– 2}.      (21)

Применив формулы (11) при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = 1, получим после выполнения девяти итерационных шагов следующие значения величин b 1 * и b 0 *:

b 1 * = 1,69205340444714∙10 ^{– 1};

b 0 * = 2,43297569628974∙10 ^{– 2}.       (22)

Применив далее формулы (8*), получим значения величин c 2 *, c 1 *, c 0 *:

c 2 * = 2,81864399125529;

c1* = 2,47443929030430’ c0* = – 4,99415934097888∙10 – 1.     (23)

Решив уравнение x ² + b 1 * x + b 0 * = 0 для найденных значений величин b 1 * и b 0 *, получим следующие два корня уравнения пятой степени с коэффициентами (21):

• 1)    – 0,0846026702223570 +

  + i 0,1310425318518553;

• 2)    – 0,0846026702223570 –

  – i 0,1310425318518553.           (24)

Решив уравнение x ³ + c 2 * x ² + c 1 * x + c 0 * = 0 для найденных значений величин c 2 *, c 1 *, c 0 *, получим следующие три корня исходного уравнения пятой степени с коэффициентами (21):

• 1)    –1,4932385715169518 +

  + i 0.8636594991479471;

• 2)    – 1,4932385715169518 –

  – i 0.8636594991479471;

• 3)    0,1678331517786137.            (25)

Следовательно, корень 0,1678331517786137 является положительным числом. Это число является расстоянием от Луны до точки либраций L 2 в системе Земля – Луна.

Пример 5. Требуется найти расстояние от Земли до точки L 3 в системе Земля – Луна.

Решение . Применим предлагаемый способ, заметив, что для уравнения (15) справедливы следующие равенства:

a 4 = 2,01215066830000;

a 3 = 1,02430133660000∙10 ^{– 1};

a 2 = – 9,87849331700000∙10 ^{– 1};

a 1 = – 1,97569866340000;

a 0 = – 9,87849331700000∙10 ^{– 1}.       (26)

Применив формулы (11) при начальных приближениях b 1,0 = b 0,0 = 1, получим после выполнения девяти итерационных шагов следующие значения величин b 1 * и b 0 *:

b 1 * = 1,00809886011960;

b 0 * = 9,91765217060565∙10 ^{– 1}.       (27)

Применив далее формулы (8*), получим значения величин c 2 *, c 1 *, c 0 *:

c 2 * = 1,00405180818040;

c 1 * = – 9,79647363788249∙10 ^{– 1};

c 0 * = – 9,96051600425985∙10 ^{– 1}.     (28)

Решив уравнение x ² + b 1 * x + b 0 * = 0 для найденных значений величин b 1 * и b 0 *, получим следующие два корня уравнения пятой степени с коэффициентами (26):

• 1)    – 0,5040494300598000 +

  + i 0,8588942828526429;

• 2)    – 0,5040494300598000 –

  – i 0,8588942828526429.           (29)

Решив уравнение x ³ + c 2 * x ² + c 1 * x + c 0 * = 0 для найденных значений величин c 2 *, c 1 *, c 0 *, получим следующие три корня исходного уравнения пятой степени с коэффициентами (26):

• 1)    – 0,9984819100714960 +

  + i 0,0787138866173547;

• 2)    – 0,9984819100714960 –

  – i 0,0787138866173547;

• 3)    0,9929120119625920.            (30)

Корень 0,9929120119625920 является положительным числом. Это число является расстоянием от Земли до точки либраций L 3 в системе Земля – Луна.

Пример 6. Требуется найти расстояния до точек либраций L 1 , L 2 , L 3 в системах Солнце – Меркурий, Солнце – Венера, Солнце – Земля, Солнце – (Земля + Луна), Солнце – Марс, Солнце – Юпитер, Солнце – Сатурн, Солнце – Уран, Солнце – Нептун, Солнце – Плутон.

Решение. Будем использовать формулы (11) и (8*) при решении уравнений (13)–(15). При использовании формул (11) в качестве начальных приближений возьмем числа из табл. 1. В качестве значений величины μ возьмем числа из табл. 2. Для расстояний до точек либраций получим числа из табл. 3.

Замечание 5. При решении примера 6 значения величины μ были получены преобразованием соответствующих чисел из [5, с. 24]. (В источнике приведены значения величины μ∙10⁵.) Полученные расстояния до точки L 3 после округления сравнивались с соответствующими значениями из [5, с. 24]. Обнаружено отличие лишь в системе Солнце – Плутон.

Таблица 1. Начальные приближения при использовании формул (11)

S	J	L 1		L 2		L 3
		b 1,0	b 0,0	b 1,0	b 0,0	b 1,0	b 0,0
Солнце	Меркурий	0,004	0,00001	0,004	0,00001	2	1
Солнце	Венера	0,009	0,00009	0,004	0,00001	2	1
Солнце	Земля	0,01	0,0001	0,01	0,0001	2	1
Солнце	Земля + Луна	0,01	0,0001	0,01	0,0001	2	1
Солнце	Марс	0,005	0,00002	0,005	0,00002	2	1
Солнце	Юпитер	0,07	0,005	0,07	0,005	2	1
Солнце	Сатурн	0,04	0,002	0,05	0,002	2	1
Солнце	Уран	0,02	0,0006	0,02	0,0006	2	1
Солнце	Нептун	0,02	0,0006	0,03	0,0007	2	1
Солнце	Плутон	0,009	0,00009	0,009	0,00009	2	1

Таблица 2. Значения величины μ ∙ 10⁺⁵ для двухточечных систем

Система	μ∙10+5	Система	μ∙10+5
Солнце-Меркурий	0,0163399	Солнце-Венера	0,2447738
Солнце-Земля	0,3003433	Солнце-Земля+Луна	0,3040429
Солнце-Марс	0,0323834	Солнце-Юпитер	95,3843512
Солнце-Сатурн	28,5632676	Солнце-Уран	4,3725405
Солнце-Нептун	5,2938063	Солнце-Плутон	0,2499994

Таблица 3. Расстояния до точек либраций в двухточечных системах

Система	Расстояние до L 1	Расстояние до L 2	Расстояние до L 3
Солнце-Меркурий	3,78581∙10 – 3	3,79540∙10 – 3	9,999999∙10 – 1
Солнце-Венера	9,31513∙10 – 3	9,37334∙10 – 3	9,9999857∙10 – 1
Солнце-Земля	9,97035∙10 – 3	1,003707∙10 – 2	9,9999825∙10 – 1
Солнце-(Земля+Луна)	1,001098∙10 – 2	1,007827∙10 – 2	9,9999822∙10 – 1
Солнце-Марс	4,75382∙10 – 3	4,76894∙10 – 3	9,9999981∙10 – 1
Солнце-Юпитер	6,66798∙10 – 2	6,97836∙10 – 2	9,99444∙10 – 1
Солнце-Сатурн	4,49603∙10 – 2	4,63499∙10 – 2	9,99833∙10 – 1
Солнце-Уран	2,42268∙10 – 2	2,46245∙10 – 2	9,99974∙10 – 1
Солнце-Нептун	2,58069∙10 – 2	2,62587∙10 – 2	9,99969∙10 – 1
Солнце-Плутон	9,38074∙10 – 3	9,43978∙10 – 3	9,999985∙10 – 1

При отличии абсолютная величина разности значений равна числу 0,0000001. Полученные расстояния до точек L 1 и L 2 проверялись опосредованно сложением суммы этих расстояний с расстоянием от Солнца до точки L 1 (это расстояние бралось из [5, с. 24]). Результаты сложения совпадали с теми расстояниями от Солнца до точки L 2 , которые приведены в [5, с. 24]. При использовании формул (11) повторение приближений начиналось после выполнения 2–8 итерационных шагов. Результаты вычисления корней всех уравнений контролировались способом из [7]. При контроле расхождение в значениях корней наблюдались иногда только в 14–15-м разряде мантиссы.

Таким образом, эксперимент по воплощению всех трех вариантов предлагаемого способа в компьютерные программы убеждает в простоте его применения на практике.

В статье все варианты способа представлены решением 35 уравнений.