Решение задачи оптимального управления в рамках модели реализации газового продукта

Спектр прикладных задач оптимального управления, допускающих аналитическое либо численное решение на основе известных результатов теории, динамично расширяется в том числе за счет многообразия приложений (см., например, [1–3]). В данной работе изучается один вариант прикладной задачи из [4; 5], связанный с эффективной по стоимости реализацией некоторого продукта с конечным горизонтом планирования и известным прогнозом по цене. Рабочий инструмент анализа — принцип максимума Понтрягина [6], который в очередной раз позволяет успешно построить экстремальный процесс. Поскольку задача является невыпук- лой, то возникает необходимость дополнительного рассмотрения на предмет оптимальности. С этой целью используется достаточное условие в формате сильно экстремального управления [7]. В результате получена оптимальная программа реализации продукта в виде простых квадратурных соотношений с явной зависимостью от параметров задачи.

• 1    Постановка задачи

Сформулируем специальную задачу оптимального управления, связанную в содержательном смысле с моделью разработки газового месторождения [4; 5]

T

Ф ( u ) = J e ^{-v t} p ( t ) u ( t ) x ( t ) dt ^ max,                    (1)

x = -— ux ,     x (0) = x о >  0.

Здесь v >  0 — коэффициент дисконтирования, p ( t ) >  0, t e [0, T ] — известная функция цены, T >>  0 — горизонт планирования.

В задаче (1) фазовая переменная x ( t ) характеризует текущий запас сырья, управление u ( t ) описывает программу реализации продукта, функционал Ф ( u ) выражает стоимость этой программы.

Предположим, что множество допустимых управлений V содержит кусочно-непрерывные функции с условиями неотрицательности u ( t ) >  0, t e [0, T ]. Кроме того, считаем, что p ( • ) e V . Будем использовать обозначение q ( t ) = e ^{-v t}p ( t ), t e [0, T ] (дисконтированная функция цены).

Проведем решение задачи (1) на основе принципа максимума [3], который в данном случае не является, вообще говоря, достаточным условием оптимальности (невыпуклая задача за счет произведений ux , u ² x ). Поэтому для полного решения задачи дополнительно к принципу максимума будем использовать достаточные условия оптимальности в наиболее приемлемом варианте, который представлен, например, в [7].

• 2    Аналитическое решение задачи

Пусть u e V. Соответствующее решение фазового уравнения имеет вид (формула Коши)

( t*           ^

x ( t , u ) = x 0 exp

-2 Ju2(T)d- t e[0, T ].

V 0         7

Отсюда получаем свойство положительности фазовых траекторий: x ( t , u ) >  0, что соответствует их содержательному смыслу.

Для задачи (1) образуем функцию Понтрягина

H ( у , x , u , t ) = q ( t ) ux

1      2

- у У^и x

и рассмотрим сопряженное уравнение

у = ууи

Введем обозначение

— q ( t ) u ,

у( т ) = 0.

T

A

s ( t , u ) = exp

—

¹ J u ²⁽ T ) d T , 2

V t

У

t e [0, T ].

Тогда

s ( t , u ) = —u² ( t ) s ( t , u ),        s ( T , u ) = 1.

Проверим следующую формулу для решения сопряженного уравнения

T 1

у ( t , u ) = s ( t , u ) -------- q ( t ) u ( t ) d T .

t s ( t , u )

Действительно, у ( Т , u ) = 0. При этом

• 1                  T 1                                     1

у ( t , u ) = — u ² ( t ) s ( t , u )[-------- q ( t ) u ( t ) d T — s ( t , u )------- q ( t ) u ( t ) =

• 2                J s ( t , u )                            s ( t , u )

1 = —u ( t ) у ( t , u ) — q ( t ) u ( t ).

Получили сопряженное уравнение, т. е. формула (2) справедлива. Из нее, в частности, получаем условие положительности сопряженных траекторий: у ( t , u ) >  0 для t е [0, T ], u е V \{0} ( у ( t , 0) = 0, t е [0, T ]).

Найдем экстремальное управление задачи (1).

Учитывая свойство положительности траекторий, сформулируем и решим задачу на максимум функции Понтрягина при условии x >  0, у >  0

• — —yxu + q ( t ) xu ^ max, u >  0

c

• — уy u + q ( t ) u ^ max,           u >  0.

Максимизирующее управление:

u (у, t ) = q ( t ),        у >  0, t е [0, T ].

У

Найдем теперь решение у ( t ) сопряженного уравнения для управления u ( у , t )

у = 2 y u ( у , t ) — q ( t ) u ( у , t ),        у( Т ) = 0.

После подстановки получаем

1 q ²( t ) v = -- ----.

2 v

Отсюда вдоль решения v ( t ) имеем

N ( t Ж t ) = - q ²( t )     О     d- v ²( t ) = - q ²( t ).

dt

Проинтегрируем по t e [ t , T ]

T v2(T) -v2T) —-Jq2(t)dt.

T

Следовательно,

1/ /2

T       )

v ^{( T} ) = jq ²⁽ t ) ^dt V T        J

Заменяя переменные, получаем итоговую формулу для решения

, .» — [ ( , ’...... |\

Ct        J

t e [0, T ].

В результате определяется экстремальное управление задачи (1)

u * ( t ) — u ( v * ( t ), t ) =

q ( t )

< t         >

J q ^{2( t} ) d^T

1/ , /2

t e [0, T ).

V t J

Отметим, что при t ^ T - 0 u * ( t ) ^ да .

Рассмотрим фазовое уравнение для управления u * ( t )

г— ¹ и^г(Ач — q ⁽ t ) x X —-- u * ( t ) X — ,

2                T

2 J q ² T )

x (0) — x o .

Введем обозначение

T

r ( t ) — J q ² ( t ) d T ,

t

Тогда / ^( t ) — - q ²( t ), и уравнение принимает вид

•    1 r ( t )          zm

.X ^— - —^x ,     ^{x (0) — x} 0 .

2 r ⁽ t )

Запишем решение по формуле Коши

t

к

1 г ( т )л x ⁽ t ) = x 0 exp - I— d^T .

² \ ^{r ( t} )

к

Проведем интегрирование в правой части f r-) —т = f—In r (t ) —т = In rt).

^{J r ( t} )       ^{J dt               r (0)}

Тогда

/        1/

I ПИ 1 ² к r (0) 7

.

f 1 , r (t) exp — ln—— к 2   r (0)

Таким образом, фазовая траектория, соответствующая управлению u * ( t ), выражается по формуле

x * ( t ) - x о

I T        1J q т) dr к t 7

f T

J q Чт ) d r к о

к 12 ,

t e [0, T ].

Отметим, что x * ( T ) - 0.

В результате экстремальный режим задачи (1) представляется следующими формулами в зависимости от параметров x 0 , T и дисконтированной функции цены q ( t )

,*(t)-I (,.,

q(t)

u * ⁽ t ) ^-    тт,      ^x * ⁽ t ) ^{- x} 0               t ^{e [0,} T ^].

^*( t)

Рассмотрим вопрос об оптимальности управления u * ( t ) в задаче (1). С этой целью используем условие оптимальности из [7], которое применительно к управлению u * ( t ) в линейной по состоянию задаче (1) имеет вид u * ( t ) - arg max H ( ^ * ( t ), x ( t , v ), u , t ),      t e [0, T ), v e V .    (4)

u > 0

Это свойство сильной экстремальности для управления u * ( t ): условие максимума функции H для любой фазовой траектории x ( t , v ) .

В нашем случае управление u * ( t ) является решением задачи

- "^t)t ) u + q ( t ) u ^ max,     u >  0.

Поскольку x ( t , v ) >  0, v е V , t е [0, T ), то выполняется условие

( 1          2          ^

u*(t) - argmaxi—^*(t)u + q(t)u Ix(t,v),     v е V, u > о V 2                 )

которое совпадает с условием сильной экстремальности (4).

Учитывая формулы (3), подсчитаем значение функционала

TT

Ф ( u * ) - [ q ( t ) u * ( t ) x * ( t ) dt = —⁰— [ q ²( t ) dt = x о ^ * (0).

,                        " ■■"

Сформулируем итоговое утверждение.

Теорема. Управление u * ( t ), t е [0, T ) является оптимальным в задаче

(1), причем Ф ( u * ) = x * (0) ^ * (0).

Замечание 1. Согласно формулам (3), оптимальная программа реализации продукта включает его «обнуление» в конечный момент времени: x* (T) - 0. Это достигается за счет неограниченного роста управляющей функции на финишном участке реализации: u*(t) ^ да при t ^ T - 0 .

Замечание 2. Выделим частный вариант задачи (1), когда цена на сырье постоянна: p(t) = c, t е [0, T]. В этом случае оптимальное управление выражается по формуле е-9t u *( t) =-----e------1

( t J e - V t )

и не зависит от c .

Интересно отметить, что

• ₂              e

u* (t) - 2^ —2^t   -2^Tf • e    - e

Следовательно, при T -да (задача с бесконечным горизонтом) получаем простейшую формулу для оптимального управления : u *² ( t ) ^ 29, t е [ t о, T ].

Заключение

Рассмотренная модель является хорошим методическим примером прикладной задачи, которая элегантно решается в глобальном исполнении на основе известных результатов математической теории оптимального управления. Дальнейший анализ и решение подобного типа задач могут быть связаны, например, с биологическими моделями [8].